E 7 (matemáticas)

Estructura algebraica → Teoría de grupos Teoría de grupos
Nociones basicas Subgrupo Subgrupo normal Grupo cociente Producto (semi) directo Homomorfismos de grupo núcleo imagen suma directa producto de corona sencillo finito infinito continuo multiplicativo aditivo cíclico abeliano diedro nilpotente soluble Glosario de teoría de grupos Lista de temas de teoría de grupos
Grupos finitos Clasificación de grupos simples finitos cíclico alterno Tipo de mentira esporádico Teorema de Cauchy Teorema de lagrange Teoremas de Sylow Teorema de Hall grupo p Grupo abeliano elemental Grupo Frobenius Multiplicador de Schur Grupo simétrico S n Klein de cuatro grupos V Grupo diedro D n Grupo de cuaterniones Q Grupo dicíclico Dic n
Grupos discretos Celosías Enteros ( Z ) Grupo libre Grupos modulares PSL (2, Z ) SL (2, Z ) Grupo aritmético Enrejado Grupo hiperbólico
Grupos topológicos y de mentira Solenoide Circulo GL lineal general ( n ) SL lineal especial ( n ) Ortogonal O ( n ) Euclidiana E ( n ) SO ortogonal especial ( n ) Unitario U ( n ) SU unitario especial ( n ) Simpléctica Sp ( n ) G 2 F 4 E 6 E 7 E 8 Lorentz Poincaré Conformal Difeomorfismo Círculo Grupo de mentiras de dimensión infinita O (∞) SU (∞) Sp (∞)
Grupos algebraicos Grupo algebraico lineal Grupo reductivo Variedad abeliana Curva elíptica
v t mi

Grupos de mentiras
Grupos clásicos GL lineal general ( n ) SL lineal especial ( n ) Ortogonal O ( n ) SO ortogonal especial ( n ) Unitario U ( n ) SU unitario especial ( n ) Simpléctica Sp ( n )
Grupos de Simple Lie Clásico A n B n C n D n Excepcional G 2 F 4 E 6 E 7 E 8
Otros grupos de Lie Circulo Lorentz Poincaré Grupo conformal Difeomorfismo Círculo Euclidiana
Álgebras de mentira Correspondencia entre grupos de mentiras y álgebra de mentiras Mapa exponencial Representación adjunta Forma de matanza Índice Simetría del punto de mentira Álgebra de mentira simple
Álgebra de mentira semimple Diagramas Dynkin Subálgebra de cartan Sistema raíz Grupo Weyl Forma real Complejificación Álgebra de mentira dividida Álgebra de mentira compacta
Teoría de la representación Representación de grupos de mentiras Representación del álgebra de mentiras Teoría de representación de álgebras de Lie semisimple Representaciones de grupos de Lie clásicos Teorema del mayor peso Teorema de Borel-Weil-Bott
Grupos de mentiras en física Física de partículas y teoría de la representación Representaciones del grupo Lorentz Representaciones del grupo Poincaré Representaciones del grupo galileo
Científicos Sophus Lie Henri Poincaré Wilhelm matando Élie Cartan Hermann Weyl Claude Chevalley Harish-Chandra Armand Borel
Glosario Grupos de Tabla de mentiras
v t mi

En matemáticas , E ₇ es el nombre de varios grupos de Lie estrechamente relacionados , grupos algebraicos lineales o sus álgebras de Lie e ₇ , todos los cuales tienen dimensión 133; la misma notación E ₇ se usa para el enrejado de la raíz correspondiente , que tiene rango  7. La designación E ₇ proviene de la clasificación de Cartan-Killing de las álgebras de Lie simples complejas , que caen en cuatro series infinitas etiquetadas A _n , B _n , C _n , D _n ycinco casos excepcionales denominados E 6 , E ₇ , E 8 , F 4 y G 2 . El álgebra E ₇ es, por tanto, uno de los cinco casos excepcionales.

El grupo fundamental de la forma compleja (adjunta), la forma real compacta o cualquier versión algebraica de E ₇ es el grupo cíclico Z / 2 Z , y su grupo de automorfismo externo es el grupo trivial . La dimensión de su representación fundamental es 56.

Formas reales y complejas

Existe un álgebra de Lie compleja única de tipo E ₇ , correspondiente a un grupo complejo de dimensión compleja 133. El grupo de Lie complejo adjunto E ₇ de dimensión compleja 133 se puede considerar como un grupo de Lie real simple de dimensión real 266. Esto tiene fundamental grupo Z / 2 Z , tiene un subgrupo compacto máximo de la forma compacta (ver más abajo) de E ₇ , y tiene un grupo de automorfismo externo de orden 2 generado por conjugación compleja.

Además del grupo complejo de Lie de tipo E ₇ , hay cuatro formas reales del álgebra de Lie y, en consecuencia, cuatro formas reales del grupo con centro trivial (todas las cuales tienen una doble cobertura algebraica, y tres de las cuales tienen más no -cubiertas algebraicas, dando más formas reales), todas de dimensión real 133, como sigue:

• La forma compacta (que suele ser la indicada si no se da otra información), que tiene un grupo fundamental Z / 2 Z y un grupo de automorfismo externo trivial.
• La forma dividida, EV (o E _{7 (7)} ), que tiene un subgrupo compacto máximo SU (8) / {± 1}, un grupo fundamental cíclico de orden 4 y un grupo de automorfismo externo de orden 2.
• EVI (o E _{7 (-5)} ), que tiene un subgrupo compacto máximo SU (2) · SO (12) / (centro), un grupo fundamental no cíclico de orden 4 y un grupo de automorfismo externo trivial.
• EVII (o E _{7 (-25)} ), que tiene un subgrupo compacto máximo SO (2) · E ₆ / (centro), un grupo fundamental cíclico infinito y un grupo de automorfismo externo de orden 2.

Para obtener una lista completa de formas reales de álgebras de Lie simples, consulte la lista de grupos de Lie simples .

La forma real compacta de E ₇ es el grupo de isometría del espacio simétrico Riemanniano compacto excepcional de 64 dimensiones EVI (en la clasificación de Cartan ). Se conoce informalmente como el " plano proyectivo cuateroctoniónico " porque se puede construir utilizando un álgebra que es el producto tensorial de los cuaterniones y octoniones , y también se conoce como plano proyectivo de Rosenfeld , aunque no obedece a los axiomas habituales de un plano proyectivo. Esto se puede ver sistemáticamente usando una construcción conocida como el cuadrado mágico , debido a Hans Freudenthal y Jacques Tits..

La construcción de Tits-Koecher produce formas del álgebra de E ₇ Lie a partir de álgebras de Albert , álgebras de Jordan excepcionales de 27 dimensiones .

E ₇ como grupo algebraico

Mediante una base de Chevalley para el álgebra de Lie, se puede definir E ₇ como un grupo algebraico lineal sobre los enteros y, en consecuencia, sobre cualquier anillo conmutativo y en particular sobre cualquier campo: esto define el llamado split (a veces también conocido como "sin torcer") forma adjunta de E ₇ . Sobre un campo algebraicamente cerrado, ésta y su doble cubierta son las únicas formas; sin embargo, en otros campos, a menudo hay muchas otras formas, o "giros" de E ₇ , que se clasifican en el marco general de la cohomología de Galois (sobre un campo perfecto k ) por el conjunto H ¹ ( k , Aut (E ₇)) que, debido a que el diagrama de Dynkin de E ₇ (ver más abajo ) no tiene automorfismos, coincide con H ¹ ( k , E _{7, ad} ). ^[1]

Sobre el campo de los números reales, el componente real de la identidad de estas formas algebraicamente retorcidas de E ₇ coincide con los tres grupos de Lie reales mencionados anteriormente , pero con una sutileza en cuanto al grupo fundamental: todas las formas adjuntas de E ₇ tienen grupo fundamental Z / 2 Z en el sentido de geometría algebraica, lo que significa que admiten exactamente una doble cobertura; las otras formas de grupo de Lie reales no compactas de E _{7 no} son, por tanto, algebraicas y no admiten representaciones de dimensión finita fieles.

Sobre campos finitos, el teorema de Lang-Steinberg implica que H ¹ ( k , E ₇ ) = 0, lo que significa que E ₇ no tiene formas retorcidas: ver más abajo .

Álgebra

Diagrama de Dynkin

El diagrama de Dynkin para E ₇ viene dado por .

Sistema de raíces

Los 126 vértices del politopo 2 31 representan los vectores raíz de E ₇ , como se muestra en este diagrama de
Coxeter-Dynkin de proyección del plano de Coxeter :

Se muestra en proyección 3D usando los vectores base [u, v, w] dando simetría H3:
u = (1, φ , 0, -1, φ , 0,0)
v = ( φ , 0, 1, φ , 0, -1,0)
w = (0, 1, φ , 0, -1, φ , 0)
Los 2 31 vértices politopos proyectados se ordenan y cuentan por su norma 3D generando los cascos cada vez más transparentes de cada conjunto de normas contadas. Estos muestran:
1) 2 puntos en el origen
2) 2 icosaedros
3) 1 icosadodecaedro
4) 2 dodecaedros
5) 1 icosadodecaedro
para un total de 126 vértices.

Aunque las raíces abarcan un espacio de 7 dimensiones, es más simétrico y conveniente representarlas como vectores que se encuentran en un subespacio de 7 dimensiones de un espacio vectorial de 8 dimensiones.

Las raíces son todas las permutaciones de 8 × 7 de (1, −1,0,0,0,0,0,0) y todas las permutaciones de (½, ½, ½, ½, −½, −½, −½ , −½)${\displaystyle {\begin{pmatrix}8\\4\end{pmatrix}}}$

Tenga en cuenta que el subespacio de 7 dimensiones es el subespacio donde la suma de las ocho coordenadas es cero. Hay 126 raíces.

Las raíces simples son

(0, −1,1,0,0,0,0,0)

(0,0, −1,1,0,0,0,0)

(0,0,0, −1,1,0,0,0)

(0,0,0,0, −1,1,0,0)

(0,0,0,0,0, −1,1,0)

(0,0,0,0,0,0, −1,1)

(½, ½, ½, ½, −½, −½, −½, −½)

Se enumeran de modo que sus nodos correspondientes en el diagrama de Dynkin estén ordenados de izquierda a derecha (en el diagrama que se muestra arriba) con el nodo lateral al final.

Una descripción alternativa

Una descripción alternativa (7-dimensional) del sistema de raíces, que es útil al considerar E ₇ × SU (2) como un subgrupo de E ₈ , es la siguiente:

Todas las permutaciones de (± 1, ± 1,0,0,0,0,0) conservando el cero en la última entrada, todas las raíces siguientes con un número par de + ½${\displaystyle 4\times {\begin{pmatrix}6\\2\end{pmatrix}}}$

${\displaystyle \left(\pm {1 \over 2},\pm {1 \over 2},\pm {1 \over 2},\pm {1 \over 2},\pm {1 \over 2},\pm {1 \over 2},\pm {1 \over {\sqrt {2}}}\right)}$

y las dos siguientes raíces

${\displaystyle \left(0,0,0,0,0,0,\pm {\sqrt {2}}\right).}$

Así, los generadores consisten en una subálgebra so (12) de 66 dimensiones , así como 64 generadores que se transforman como dos espinores Weyl autoconjugados de espín (12) de quiralidad opuesta, y su generador de quiralidad, y otros dos generadores de quiralidades .${\displaystyle \pm {\sqrt {2}}}$

Dada la matriz de Cartan E ₇ (abajo) y un orden de nodo del diagrama de Dynkin de:

una opción de raíces simples viene dada por las filas de la siguiente matriz:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&-1&0&0&0&0&0\\0&1&-1&0&0&0&0\\0&0&1&-1&0&0&0\\0&0&0&1&-1&0&0\\0&0&0&0&1&1&0\\-{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2}}&{\frac {\sqrt {2}}{2}}\\0&0&0&0&1&-1&0\\\end{bmatrix}}.}$

Grupo Weyl

El grupo de Weyl de E ₇ es de orden 2903040: es el producto directo del grupo cíclico de orden 2 y el grupo simple único de orden 1451520 (que se puede describir como PSp ₆ (2) o PSΩ ₇ (2)). ^[2]

Matriz de Cartan

Diagrama Hasse de poset raíz E7 con etiquetas de borde que identifican la posición raíz simple agregada

${\displaystyle {\begin{bmatrix}2&-1&0&0&0&0&0\\-1&2&-1&0&0&0&0\\0&-1&2&-1&0&0&0\\0&0&-1&2&-1&0&-1\\0&0&0&-1&2&-1&0\\0&0&0&0&-1&2&0\\0&0&0&-1&0&0&2\end{bmatrix}}.}$

Subálgebras y representaciones importantes

E ₇ tiene una subálgebra SU (8), como es evidente al señalar que en la descripción de 8 dimensiones del sistema de raíces, el primer grupo de raíces es idéntico a las raíces de SU (8) (con la misma subálgebra de Cartan que en el E ₇ ).

Además de la representación adjunta de 133 dimensiones, hay una representación de "vector" de 56 dimensiones , que se encuentra en la representación adjunta E ₈ .

Los caracteres de las representaciones de dimensión finita de las álgebras de Lie reales y complejas y los grupos de Lie vienen dados por la fórmula de caracteres de Weyl . Las dimensiones de las representaciones irreductibles más pequeñas son (secuencia A121736 en la OEIS ):

1 , 56, 133 , 912, 1463 , 1539 , 6480, 7371 , 8645 , 24320, 27664, 40755 , 51072, 86184, 150822 , 152152 , 238602 , 253935 , 293930 , 320112, 362880, 365750 , 573440 , 617253 , 861840, 885248, 915705 , 980343 , 2273920, 2282280, 2785552, 3424256 , 3635840 ...

Los términos subrayados en la secuencia anterior son las dimensiones de aquellas representaciones irreductibles poseídas por la forma adjunta de E ₇ (de manera equivalente, aquellos cuyos pesos pertenecen al retículo raíz de E ₇ ), mientras que la secuencia completa da las dimensiones de las representaciones irreductibles de la forma simplemente conectada de E ₇ . Existe una representación irreducible no isomórfica de las dimensiones 1903725824, 16349520330, etc.

Las representaciones fundamentales son aquellas con dimensiones 133, 8645, 365750, 27664, 1539, 56 y 912 (correspondientes a los siete nodos en el diagrama de Dynkin en el orden elegido para la matriz de Cartan anterior, es decir, los nodos se leen en los seis cadena de nodos primero, con el último nodo conectado al tercero).

E ₇ polinomios invariantes

E ₇ es el grupo de automorfismos del siguiente par de polinomios en 56 variables no conmutativas. Dividimos las variables en dos grupos de 28, ( p , P ) y ( Q , Q ), donde p y q son variables reales y P y Q son 3 × 3 octonión matrices hermitianos. Entonces, el primer invariante es el invariante simpléctico de Sp (56, R ):

${\displaystyle C_{1}=pq-qp+Tr[PQ]-Tr[QP]}$

El segundo invariante más complicado es un polinomio cuártico simétrico :

${\displaystyle C_{2}=(pq+Tr[P\circ Q])^{2}+pTr[Q\circ {\tilde {Q}}]+qTr[P\circ {\tilde {P}}]+Tr[{\tilde {P}}\circ {\tilde {Q}}]}$

Donde y el operador de círculo binario está definido por .${\displaystyle {\tilde {P}}\equiv \det(P)P^{-1}}$${\displaystyle A\circ B=(AB+BA)/2}$

Un invariante polinomio cuartico alternativo construido por Cartan utiliza dos matrices antisimétricas de 8x8, cada una con 28 componentes.

${\displaystyle C_{2}=Tr[(XY)^{2}]-{\dfrac {1}{4}}Tr[XY]^{2}+{\frac {1}{96}}\epsilon _{ijklmnop}\left(X^{ij}X^{kl}X^{mn}X^{op}+Y^{ij}Y^{kl}Y^{mn}Y^{op}\right)}$

Grupos de Chevalley de tipo E ₇

Los puntos sobre un campo finito con q elementos del grupo algebraico (dividido) E ₇ (ver arriba ), ya sea de la forma adjunta (sin centros) o simplemente conectada (su cobertura universal algebraica), dan un grupo Chevalley finito . Esto está estrechamente relacionado con el grupo escrito E ₇ ( q ), sin embargo, hay ambigüedad en esta notación, que puede representar varias cosas:

• el grupo finito que consiste en los puntos sobre F _q de la forma simplemente conectada de E ₇ (para mayor claridad, esto se puede escribir E _{7, sc} ( q ) y se conoce como el grupo Chevalley “universal” de tipo E ₇ sobre F _q ),
• (raramente) el grupo finito que consiste en los puntos sobre F _q de la forma adjunta de E ₇ (para mayor claridad, esto se puede escribir E _{7, ad} ( q ), y se conoce como el grupo Chevalley “adjunto” de tipo E ₇ sobre F _q ), o
• el grupo finito que es la imagen del mapa natural del primero al segundo: esto es lo que será denotado por E ₇ ( q ) a continuación, como es más común en los textos que tratan de grupos finitos.

Desde la perspectiva de los grupos finitos, la relación entre estos tres grupos, que es bastante análoga a la que existe entre SL ( n , q ), PGL ( n , q ) y PSL ( n , q ), se puede resumir de la siguiente manera: E ₇ ( q ) es simple para cualquier q , E _{7, sc} ( q ) es su cobertura de Schur , y E _{7, ad} ( q ) se encuentra en su grupo de automorfismos; además, cuando q es una potencia de 2, los tres coinciden, y en caso contrario (cuando q es impar), el multiplicador de Schur de E ₇ (q ) es 2 y E ₇ ( q ) es de índice 2 en E _{7, ad} ( q ), lo que explica por qué E _{7, sc} ( q ) y E _{7, ad} ( q ) a menudo se escriben como 2 · E ₇ ( q ) y E ₇ ( q ) · 2. Desde la perspectiva del grupo algebraico, es menos común que E ₇ ( q ) se refiera al grupo simple finito, porque este último no es de forma natural el conjunto de puntos de un grupo algebraico sobre F _{q a} diferencia de E _{7, sc} ( q ) y E _{7, ad} (q ).

Como se mencionó anteriormente, E ₇ ( q ) es simple para cualquier q , ^{[3] [4]} y constituye una de las infinitas familias abordadas por la clasificación de grupos finitos simples . Su número de elementos viene dado por la fórmula (secuencia A008870 en la OEIS ):

${\displaystyle {\frac {1}{\mathrm {gcd} (2,q-1)}}q^{63}(q^{18}-1)(q^{14}-1)(q^{12}-1)(q^{10}-1)(q^{8}-1)(q^{6}-1)(q^{2}-1)}$

El orden de E _{7, sc} ( q ) o E _{7, ad} ( q ) (ambos son iguales) se puede obtener eliminando el factor de división mcd (2, q −1) (secuencia A008869 en la OEIS ). El multiplicador de Schur de E ₇ ( q ) es mcd (2, q −1), y su grupo de automorfismo externo es el producto del grupo de automorfismo diagonal Z / mcd (2, q −1) Z (dado por la acción de E _{7, ad} ( q )) y el grupo de automorfismos de campo (es decir, cíclico de orden f si q = p^f donde p es primo).

Importancia en física

La supergravedad N = 8 en cuatro dimensiones, que es una reducción dimensional de la supergravedad de 11 dimensiones, admite una simetría global bosónica E ₇ y una simetría local bosónica SU (8) . Los fermiones están en representaciones de SU (8), los campos de calibre están en una representación de E ₇ y los escalares están en una representación de ambos (los gravitones son singletes con respecto a ambos). Los estados físicos están en representaciones de la clase lateral E ₇ / SU (8) .

En la teoría de cuerdas , E ₇ aparece como parte del grupo de calibres de una de las versiones (inestable y no supersimétrica ) de la cuerda heterótica . También puede aparecer en el grupo de calibre ininterrumpido E ₈ × E ₇ en compactaciones de seis dimensiones de la teoría de cuerdas heteróticas, por ejemplo, en la superficie de cuatro dimensiones K3 .

Ver también

• En (álgebra de mentiras)
• Clasificación ADE
• Lista de grupos de mentiras simples

Notas

1. Platonov, Vladimir; Rapinchuk, Andrei (1994) [1991], Grupos algebraicos y teoría de números , Matemáticas puras y aplicadas, 139 , Boston, MA: Academic Press , ISBN 978-0-12-558180-6, MR  1278263(versión original: Платонов, Владимир П .; Рапинчук, Андрей С. (1991). Алгебраические группы и теория чисел . Наука. ISBN 5-02-014191-7.), §2.2.4
2. Conway, John Horton ; Curtis, Robert Turner; Norton, Simon Phillips ; Parker, Richard A ; Wilson, Robert Arnott (1985). Atlas de grupos finitos : subgrupos máximos y caracteres ordinarios para grupos simples . Prensa de la Universidad de Oxford. pag. 46. ISBN 0-19-853199-0.
3. Carter, Roger W. (1989). Grupos simples de tipo mentira . Biblioteca de clásicos de Wiley. John Wiley e hijos. ISBN 0-471-50683-4.
4. Wilson, Robert A. (2009). Los grupos simples finitos . Textos de Posgrado en Matemáticas . 251 . Springer-Verlag . ISBN 1-84800-987-9.

Referencias

• Adams, J. Frank (1996), Conferencias sobre grupos de mentiras excepcionales , Conferencias de Matemáticas de Chicago , University of Chicago Press , ISBN 978-0-226-00526-3, MR  1428422
• John Baez , The Octonions , Sección 4.5: E ₇ , Bull. Amer. Matemáticas. Soc. 39 (2002), 145-205 . Versión HTML en línea en http://math.ucr.edu/home/baez/octonions/node18.html .
• E. Cremmer y B. Julia, La teoría de la supergravedad N = 8 . 1. The Lagrangian , Phys.Lett.B80: 48, 1978. Versión digitalizada en línea en http://ac.els-cdn.com/0370269378903039/1-s2.0-0370269378903039-main.pdf?_tid=79273f80-539d-11e4-a133-00000aab0f6c&acdnat=1413289833_5f3539a6365149b108dd .