Espacio energético

En matemáticas , más precisamente en análisis funcional , un espacio energético es, intuitivamente, un subespacio de un espacio real de Hilbert dado equipado con un nuevo producto interior "energético" . La motivación del nombre proviene de la física , ya que en muchos problemas físicos la energía de un sistema se puede expresar en términos del producto energético interno. Se dará un ejemplo de esto más adelante en el artículo.

Espacio energético

Formalmente, considere un espacio real de Hilbert con el producto interno y la norma . Sea un subespacio lineal de y sea ​​un operador lineal simétrico fuertemente monótono , es decir, un operador lineal que satisface ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle (\cdot |\cdot )}$ ${\displaystyle \|\cdot \|}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle X}$${\displaystyle B:Y\to X}$

• ${\displaystyle (Bu|v)=(u|Bv)\,}$para todos en${\displaystyle u,v}$${\displaystyle Y}$
• ${\displaystyle (Bu|u)\geq c\|u\|^{2}}$por alguna constante y todo en${\displaystyle c>0}$${\displaystyle u}$${\displaystyle Y.}$

El producto interior energético se define como

${\displaystyle (u|v)_{E}=(Bu|v)\,}$para todos en${\displaystyle u,v}$${\displaystyle Y}$

y la norma energética es

${\displaystyle \|u\|_{E}=(u|u)_{E}^{\frac {1}{2}}\,}$para todos en${\displaystyle u}$${\displaystyle Y.}$

El conjunto junto con el producto interior energético es un espacio anterior a Hilbert . El espacio energético se define como la terminación de la norma energética. puede considerarse un subconjunto del espacio de Hilbert original, ya que cualquier secuencia de Cauchy en la norma energética también es Cauchy en la norma de (esto se sigue de la propiedad de fuerte monotonicidad de ). ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X_{E}}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle X_{E}}$${\displaystyle X,}$${\displaystyle X}$${\displaystyle B}$

El producto interior energético se extiende de a por${\displaystyle Y}$${\displaystyle X_{E}}$

${\displaystyle (u|v)_{E}=\lim _{n\to \infty }(u_{n}|v_{n})_{E}}$

donde y son secuencias en Y que convergen a puntos en la norma energética.${\displaystyle (u_{n})}$${\displaystyle (v_{n})}$${\displaystyle X_{E}}$

Extensión energética

El operador admite una extensión energética${\displaystyle B}$ ${\displaystyle B_{E}}$

${\displaystyle B_{E}:X_{E}\to X_{E}^{*}}$

definido con valores en el espacio dual que viene dado por la fórmula ${\displaystyle X_{E}}$ ${\displaystyle X_{E}^{*}}$

${\displaystyle \langle B_{E}u|v\rangle _{E}=(u|v)_{E}}$para todos en${\displaystyle u,v}$${\displaystyle X_{E}.}$

Aquí, denota el paréntesis de dualidad entre y así denota realmente ${\displaystyle \langle \cdot |\cdot \rangle _{E}}$${\displaystyle X_{E}^{*}}$${\displaystyle X_{E},}$${\displaystyle \langle B_{E}u|v\rangle _{E}}$${\displaystyle (B_{E}u)(v).}$

Si y son elementos del subespacio original, entonces${\displaystyle u}$${\displaystyle v}$${\displaystyle Y,}$

${\displaystyle \langle B_{E}u|v\rangle _{E}=(u|v)_{E}=(Bu|v)=\langle u|B|v\rangle }$

por la definición del producto interior energético. Si uno ve cuál es un elemento en como un elemento en el dual a través del teorema de representación de Riesz , entonces también estará en el dual (por la fuerte propiedad de monotonicidad de ). A través de estas identificaciones, se deduce de la fórmula anterior que, en otras palabras, el operador original puede verse como un operador y luego es simplemente la extensión de la función de desde a${\displaystyle Bu,}$${\displaystyle X,}$${\displaystyle X^{*}}$${\displaystyle Bu}$${\displaystyle X_{E}^{*}}$${\displaystyle B}$${\displaystyle B_{E}u=Bu.}$${\displaystyle B:Y\to X}$${\displaystyle B:Y\to X_{E}^{*},}$${\displaystyle B_{E}:X_{E}\to X_{E}^{*}}$${\displaystyle B}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle X_{E}.}$

Un ejemplo de la física

Una cuerda con extremos fijos bajo la influencia de una fuerza que apunta hacia abajo.

Considere una cadena cuyos extremos están fijos en dos puntos de la línea real (aquí se ve como una línea horizontal). Sea la densidad de fuerza exterior vertical en cada punto de la cuerda , donde es un vector unitario apuntando verticalmente y Sea la desviación de la cuerda en el punto bajo la influencia de la fuerza. Suponiendo que la deflexión es pequeña, la energía elástica de la cuerda es ${\displaystyle a<b}$${\displaystyle x}$ ${\displaystyle (a\leq x\leq b)}$${\displaystyle f(x)\mathbf {e} }$${\displaystyle \mathbf {e} }$${\displaystyle f:[a,b]\to \mathbb {R} .}$${\displaystyle u(x)}$${\displaystyle x}$

${\displaystyle {\frac {1}{2}}\int _{a}^{b}\!u'(x)^{2}\,dx}$

y la energía potencial total de la cuerda es

${\displaystyle F(u)={\frac {1}{2}}\int _{a}^{b}\!u'(x)^{2}\,dx-\int _{a}^{b}\!u(x)f(x)\,dx.}$

La deflexión que minimiza la energía potencial satisfará la ecuación diferencial${\displaystyle u(x)}$

${\displaystyle -u''=f\,}$

con condiciones de contorno

${\displaystyle u(a)=u(b)=0.\,}$

Para estudiar esta ecuación, considere el espacio , es decir, el espacio Lp de todas las funciones cuadradas integrables con respecto a la medida de Lebesgue . Este espacio es Hilbert con respecto al producto interior.${\displaystyle X=L^{2}(a,b),}$ ${\displaystyle u:[a,b]\to \mathbb {R} }$

${\displaystyle (u|v)=\int _{a}^{b}\!u(x)v(x)\,dx,}$

con la norma dada por

${\displaystyle \|u\|={\sqrt {(u|u)}}.}$

Sea el conjunto de todas las funciones dos veces continuamente diferenciables con las condiciones de contorno Entonces es un subespacio lineal de${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle u:[a,b]\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle u(a)=u(b)=0.}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle X.}$

Considere el operador dado por la fórmula${\displaystyle B:Y\to X}$

${\displaystyle Bu=-u'',\,}$

entonces la deflexión satisface la ecuación Usando la integración por partes y las condiciones de contorno, se puede ver que ${\displaystyle Bu=f.}$

${\displaystyle (Bu|v)=-\int _{a}^{b}\!u''(x)v(x)\,dx=\int _{a}^{b}u'(x)v'(x)=(u|Bv)}$

for any y en Por lo tanto, es un operador lineal simétrico. ${\displaystyle u}$${\displaystyle v}$${\displaystyle Y.}$${\displaystyle B}$

${\displaystyle B}$también es fuertemente monótono, ya que, por la desigualdad de Friedrichs

${\displaystyle \|u\|^{2}=\int _{a}^{b}u^{2}(x)\,dx\leq C\int _{a}^{b}u'(x)^{2}\,dx=C\,(Bu|u)}$

para algunos ${\displaystyle C>0.}$

El espacio energético con respecto al operador es entonces el espacio de Sobolev Vemos que la energía elástica de la cuerda que motivó este estudio es ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle H_{0}^{1}(a,b).}$

${\displaystyle {\frac {1}{2}}\int _{a}^{b}\!u'(x)^{2}\,dx={\frac {1}{2}}(u|u)_{E},}$

por lo que es la mitad del producto interior energético de consigo mismo. ${\displaystyle u}$

Para calcular la deflexión minimizando la energía potencial total de la cuerda, se escribe este problema en la forma ${\displaystyle u}$${\displaystyle F(u)}$

${\displaystyle (u|v)_{E}=(f|v)\,}$para todos en .${\displaystyle v}$${\displaystyle X_{E}}$

A continuación, uno generalmente se aproxima por algunos , una función en un subespacio de dimensión finita del verdadero espacio solución. Por ejemplo, se podría dejar que sea ​​una función lineal continua por partes en el espacio energético, lo que da el método de los elementos finitos . La aproximación se puede calcular resolviendo un sistema de ecuaciones lineales .${\displaystyle u}$${\displaystyle u_{h}}$${\displaystyle u_{h}}$${\displaystyle u_{h}}$

La norma energética resulta ser la norma natural en la que medir el error entre y , ver el lema de Céa .${\displaystyle u}$${\displaystyle u_{h}}$

Ver también

• Espacio de producto interior
• Núcleo positivo definido

Referencias

• Zeidler, Eberhard (1995). Análisis funcional aplicado: aplicaciones a la física matemática . Nueva York: Springer-Verlag. ISBN 0-387-94442-7.

• Johnson, Claes (1987). Solución numérica de ecuaciones diferenciales parciales por el método de elementos finitos . Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN 0-521-34514-6.