Espacio de producto interior

Generalización del producto escalar; utilizado para definir los espacios de Hilbert

Interpretación geométrica del ángulo entre dos vectores definidos mediante un producto interno

Los espacios de productos escalares, sobre cualquier campo, tienen "productos escalares" que son simétricos y lineales en el primer argumento. Los espacios de productos hermitianos están restringidos al campo de los números complejos y tienen "productos hermitianos" que son conjugados-simétricos y lineales en el primer argumento. Los espacios de productos internos pueden definirse sobre cualquier campo, con "productos internos" que son lineales en el primer argumento, simétricos conjugados y definidos positivos. A diferencia de los productos internos, los productos escalares y los productos Hermitian no tienen por qué ser positivos definidos.

En matemáticas , un espacio de producto interno o un espacio de Hausdorff anterior a Hilbert ^{[1] [2]} es un espacio vectorial con una operación binaria llamada producto interno. Esta operación asocia cada par de vectores en el espacio con una cantidad escalar conocida como el producto interno de los vectores, a menudo denotado usando paréntesis angulares (como en${\displaystyle \langle a,b\rangle }$). ^[3] Los productos internos permiten la introducción rigurosa de nociones geométricas intuitivas, como la longitud de un vector o el ángulo entre dos vectores. También proporcionan los medios para definir la ortogonalidad entre vectores (producto interno cero). Los espacios de producto interno generalizan los espacios euclidianos (en los que el producto interno es el producto escalar , ^[4] también conocido como producto escalar) a espacios vectoriales de cualquier dimensión (posiblemente infinita) , y se estudian en el análisis funcional . Los espacios de productos internos sobre el campo de números complejos a veces se denominan espacios unitarios.. El primer uso del concepto de espacio vectorial con un producto interno se debe a Giuseppe Peano , en 1898. ^[5]

Un producto interno induce naturalmente una norma asociada , (${\displaystyle |x|}$ y ${\displaystyle |y|}$ son las normas de ${\displaystyle x}$ y ${\displaystyle y}$en la imagen), que canónicamente convierte cada espacio de producto interno en un espacio vectorial normalizado . Si este espacio normado también está completo (es decir, un espacio de Banach ), entonces el espacio interior del producto se denomina espacio de Hilbert . ^[1] Si un espacio de producto interior${\displaystyle (H,\langle \,\cdot \,,\,\cdot \,\rangle )}$ no es un espacio de Hilbert, entonces se puede "extender" a un espacio de Hilbert ${\displaystyle \left({\overline {H}},\langle \,\cdot \,,\,\cdot \,\rangle _{\overline {H}}\right),}$llamado finalización . Explícitamente, esto significa que${\displaystyle H}$está incrustado lineal e isométricamente en un subespacio vectorial denso de${\displaystyle {\overline {H}}}$ y que el producto interior ${\displaystyle \langle \,\cdot \,,\,\cdot \,\rangle _{\overline {H}}}$ en ${\displaystyle {\overline {H}}}$ es la extensión continua única del producto interior original ${\displaystyle \langle \,\cdot \,,\,\cdot \,\rangle }$. ^{[1] [6]}

Definición

En este artículo, el campo de los escalares denotado${\displaystyle \mathbb {F} }$es el campo de los números reales ${\displaystyle \mathbb {R} }$o el campo de los números complejos ${\displaystyle \mathbb {C} }$.

Formalmente, un espacio de producto interno es un espacio vectorial ${\displaystyle V}$ sobre el campo ${\displaystyle \mathbb {F} }$ junto con un mapa

$${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle :V\times V\to \mathbb {F} }$$

llamado producto interno que satisface las siguientes condiciones (1), (2) y (3) ^[1] para todos los vectores${\displaystyle x,y,z\in V}$ y todos los escalares ${\displaystyle s\in \mathbb {F} }$: ^{[7] [8] [9]}

1. Linealidad en el primer argumento: ^{[nota 1]}

   ${\displaystyle \langle sx,y\rangle =s\langle x,y\rangle }$

   ( Homogeneidad en el 1er argumento )

   ${\displaystyle \langle x+y,z\rangle =\langle x,z\rangle +\langle y,z\rangle }$

   ( Aditividad en el primer argumento )

   • Si la condición (1) se cumple y si ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$también es antilineal (también llamado, conjugado lineal ) en su segundo argumento ^{[nota 2]} entonces${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$se llama forma sesquilínea . ^[1]
   • Cada una de estas dos propiedades implica ${\displaystyle \langle \mathbf {0} ,x\rangle =0}$ para cada vector ${\displaystyle x.}$^{[prueba 1]}
2. Simetría conjugada o simetría hermitiana : ^{[nota 3]}

   ${\displaystyle \langle x,y\rangle ={\overline {\langle y,x\rangle }}}$

   ( Simetría conjugada )

   • Las condiciones (1) y (2) son las propiedades definitorias de una forma hermitiana , que es un tipo especial de forma sesquilínea. ^[1] Una forma sesquilínea es hermitiana si y solo si${\displaystyle \langle x,x\rangle }$ es real para todos ${\displaystyle x.}$^[1] En particular, la condición (2) implica ^{[prueba 2]} que${\displaystyle \langle x,x\rangle }$ es un número real para todos ${\displaystyle x.}$
3. Definición positiva : ^[1]

   ${\displaystyle \langle x,x\rangle >0\quad {\text{ if }}x\neq \mathbf {0} }$

   ( Definición positiva )

Las tres condiciones anteriores son las propiedades definitorias de un producto interno, razón por la cual un producto interno a veces se define (de manera equivalente) como una forma hermitiana definida positiva . Un producto interno se puede definir de manera equivalente como una forma sesquilínea definida positiva. ^{[1] [nota 4]}

Suponiendo que (1) se cumple, la condición (3) se mantendrá si y solo si ambas condiciones (4) y (5) a continuación se cumplen: ^{[6] [1]}

4. Semi-definicin positiva o no-definicin negativa : ^[1]

   ${\displaystyle \langle x,x\rangle \geq 0\quad {\text{ for every }}x}$

   ( Semidefinición positiva )

   • Las condiciones (1), (2) y (4) son las propiedades definitorias de una forma hermitiana semidefinida positiva , que permite la definición de una seminorma canónica en${\displaystyle V}$ dada por ${\displaystyle x\mapsto {\sqrt {\langle x,x\rangle }}.}$Esta seminorma es una norma si y solo si se cumple la condición (5) .
5. Separación de puntos o definición :

   ${\displaystyle \langle x,x\rangle =0\quad {\text{ implies }}\quad x=\mathbf {0} .}$

   ( Separación de puntos )

Cada producto interior satisface las condiciones (1) a (5).

Propiedades elementales

La definición positiva asegura que:

$${\displaystyle \langle x,x\rangle =0\quad {\text{ implies }}\quad x=\mathbf {0} }$$

tiempo ${\displaystyle \langle \mathbf {0} ,x\rangle =0}$está garantizado tanto por la homogeneidad en el primer argumento como por la aditividad en el primer argumento . ^{[prueba 1]}

Por cada vector ${\displaystyle x,}$ garantías de simetría conjugada${\displaystyle \langle x,x\rangle ={\overline {\langle x,x\rangle }},}$ lo que implica que ${\displaystyle \langle x,x\rangle }$es un número real. También garantiza que para todos los vectores${\displaystyle x}$ y ${\displaystyle y,}$

$${\displaystyle \langle x,y\rangle +\langle y,x\rangle =\langle x,y\rangle +{\overline {\langle x,y\rangle }}=2\operatorname {Re} \langle x,y\rangle =2\operatorname {Re} \langle y,x\rangle }$$

donde ${\displaystyle \operatorname {Re} z}$denota la parte real de un escalar${\displaystyle z.}$

La simetría y linealidad conjugadas en la primera variable implican ^{[prueba 3]} linealidad conjugada , también conocida como antilinealidad , en el segundo argumento; explícitamente, esto significa que para cualquier vector${\displaystyle x,y,z}$ y cualquier escalar ${\displaystyle s,}$

${\displaystyle \langle x,sy\rangle ={\overline {s}}\langle x,y\rangle \qquad {\text{ and }}\qquad \langle x,y+z\rangle =\langle x,y\rangle +\langle x,z\rangle .}$

( Antilinealidad en el segundo argumento )

Esto muestra que cada producto interno es también una forma sesquilínea y que los productos internos son aditividad en cada argumento, lo que significa que para todos los vectores${\displaystyle x,y,z:}$

${\displaystyle {\begin{alignedat}{4}&{\text{Additivity in the 1st argument: }}&&\quad \langle x+y,z\rangle &&=\langle x,z\rangle +\langle y,z\rangle \\&{\text{Additivity in the 2nd argument: }}&&\quad \langle x,y+z\rangle &&=\langle x,y\rangle +\langle x,z\rangle \end{alignedat}}}$

La aditividad en cada argumento implica la siguiente generalización importante de la familiar expansión del cuadrado:

$${\displaystyle {\begin{alignedat}{4}\langle x+y,x+y\rangle &=\langle x,x\rangle +\langle x,y\rangle +\langle y,x\rangle +\langle y,y\rangle \\&=\|x\|^{2}+\|y\|^{2}+2\operatorname {Re} \langle x,y\rangle \\&=\|x\|^{2}+\|y\|^{2}+2\operatorname {Re} \langle y,x\rangle \\\end{alignedat}}}$$

donde ${\displaystyle \|x\|^{2}:=\langle x,x\rangle .}$

En el caso de ${\displaystyle \mathbb {F} =\mathbb {R} ,}$ simetría conjugada ${\displaystyle \langle x,y\rangle ={\overline {\langle y,x\rangle }}}$ se reduce a la simetría ${\displaystyle \langle x,y\rangle =\langle y,x\rangle }$y así la sesquilinealidad se reduce a bilinealidad . Por tanto, un producto interno en un espacio vectorial real es una forma bilineal simétrica definida positiva . Eso es cuando${\displaystyle \mathbb {F} =\mathbb {R} }$ luego

${\displaystyle \langle x,y\rangle =\langle y,x\rangle }$

( Simetría )

y la expansión binomial se convierte en:

$${\displaystyle \langle x+y,x+y\rangle =\langle x,x\rangle +2\langle x,y\rangle +\langle y,y\rangle .}$$

Definiciones, notaciones y comentarios alternativos

Un caso especial común del producto interno, el producto escalar o producto punto , se escribe con un punto centrado${\displaystyle a\cdot b.}$

Algunos autores, especialmente en física y álgebra matricial , prefieren definir el producto interno y la forma sesquilínea con linealidad en el segundo argumento en lugar del primero. Entonces, el primer argumento se vuelve lineal conjugado, en lugar del segundo. En esas disciplinas, escribiríamos el producto interno${\displaystyle \langle x,y\rangle }$ como ${\displaystyle \langle y\ |\ x\rangle }$(la notación bra-ket de la mecánica cuántica ), respectivamente${\displaystyle y^{\dagger }x}$ (producto escalar como un caso de la convención de formar el producto de matriz ${\displaystyle AB,}$ como los productos escalares de filas de ${\displaystyle A}$ con columnas de ${\displaystyle B}$). Aquí, las kets y las columnas se identifican con los vectores de${\displaystyle V,}$y los sujetadores y filas con los funcionales lineales (covectors) del espacio dual ${\displaystyle V^{*},}$con conjugación asociada con la dualidad. Este orden inverso ahora se sigue ocasionalmente en la literatura más abstracta, ^[10] tomando${\displaystyle \langle x,y\rangle }$ ser conjugado lineal en ${\displaystyle x}$ en vez de ${\displaystyle y.}$ En cambio, unos pocos encuentran un término medio reconociendo tanto ${\displaystyle \langle \,\cdot \,,\,\cdot \,\rangle }$ y ${\displaystyle \langle \,\cdot \ |\ \cdot \,\rangle }$ como notaciones distintas, que sólo difieren en qué argumento es lineal conjugado.

Hay varias razones técnicas por las que es necesario restringir el campo base a ${\displaystyle \mathbb {R} }$ y ${\displaystyle \mathbb {C} }$en la definición. Brevemente, el campo base debe contener un subcampo ordenado para que la no negatividad tenga sentido, ^[11] y por lo tanto debe tener una característica igual a 0 (ya que cualquier campo ordenado debe tener dicha característica). Esto excluye inmediatamente los campos finitos. El campo base debe tener una estructura adicional, como un automorfismo distinguido . Más generalmente, cualquier subcampo cerrado cuadráticamente de${\displaystyle \mathbb {R} }$ o ${\displaystyle \mathbb {C} }$será suficiente para este propósito (por ejemplo, números algebraicos , números construibles ). Sin embargo, en los casos en que se trata de un subcampo adecuado (es decir, ni${\displaystyle \mathbb {R} }$ ni ${\displaystyle \mathbb {C} }$), incluso los espacios de producto internos de dimensión finita no serán métricamente completos. Por el contrario, todos los espacios de producto internos de dimensión finita sobre${\displaystyle \mathbb {R} }$ o ${\displaystyle \mathbb {C} ,}$como los que se utilizan en la computación cuántica , son automáticamente métricamente completos (y por lo tanto los espacios de Hilbert ).

En algunos casos, es necesario considerar no negativos semi-definidas formas sesquilinear. Esto significa que${\displaystyle \langle x,x\rangle }$solo se requiere que no sea negativo. El tratamiento para estos casos se ilustra a continuación.

Algunos ejemplos

Números reales y complejos

Entre los ejemplos más simples de espacios de productos internos se encuentran ${\displaystyle \mathbb {R} }$ y ${\displaystyle \mathbb {C} .}$ Los números reales ${\displaystyle \mathbb {R} }$ son un espacio vectorial sobre ${\displaystyle \mathbb {R} }$que se convierte en un espacio de producto interno real cuando se le dota de la multiplicación estándar como su producto interno real: ^[4]

$${\displaystyle \langle x,y\rangle :=xy\quad {\text{ for }}x,y\in \mathbb {R} .}$$

Los números complejos ${\displaystyle \mathbb {C} }$ son un espacio vectorial sobre ${\displaystyle \mathbb {C} }$ que se convierte en un complejo espacio de producto interno cuando se le dota del complejo producto interno

$${\displaystyle \langle x,y\rangle :=x{\overline {y}}\quad {\text{ for }}x,y\in \mathbb {C} .}$$

A diferencia de los números reales, la asignación ${\displaystyle (x,y)\mapsto xy}$hace no definir un producto interior complejo en${\displaystyle \mathbb {C} .}$

Espacio vectorial euclidiano

De manera más general, lo real n {\ Displaystyle n} -espacio ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$con el producto escalar es un espacio de producto interno, ^[4] un ejemplo de un espacio vectorial euclidiano .

${\displaystyle \left\langle {\begin{bmatrix}x_{1}\\\vdots \\x_{n}\end{bmatrix}},{\begin{bmatrix}y_{1}\\\vdots \\y_{n}\end{bmatrix}}\right\rangle =x^{\textsf {T}}y=\sum _{i=1}^{n}x_{i}y_{i}=x_{1}y_{1}+\cdots +x_{n}y_{n},}$

donde ${\displaystyle x^{\operatorname {T} }}$es la transposición de${\displaystyle x.}$

Espacio de coordenadas complejo

La forma general de un producto interior en ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$se conoce como la forma hermitiana y viene dada por

$${\displaystyle \langle x,y\rangle =y^{\dagger }\mathbf {M} x={\overline {x^{\dagger }\mathbf {M} y}},}$$

donde ${\displaystyle M}$es cualquier matriz hermitiana positiva-definida y${\displaystyle y^{\dagger }}$es la transposición conjugada de${\displaystyle y.}$Para el caso real, esto corresponde al producto escalar de los resultados del escalado direccionalmente diferente de los dos vectores, con factores de escala positivos y direcciones de escalado ortogonales. Es una versión de suma ponderada del producto escalar con pesos positivos, hasta una transformación ortogonal.

Espacio de Hilbert

El artículo sobre espacios de Hilbert tiene varios ejemplos de espacios de productos internos, en los que la métrica inducida por el producto interno produce un espacio métrico completo . Un ejemplo de un espacio de producto interno que induce una métrica incompleta es el espacio${\displaystyle C([a,b])}$ de funciones continuas complejas valoradas ${\displaystyle f}$ y ${\displaystyle g}$ en el intervalo ${\displaystyle [a,b].}$ El producto interior es

$${\displaystyle \langle f,g\rangle =\int _{a}^{b}f(t){\overline {g(t)}}\,\mathrm {d} t.}$$

Este espacio no está completo; considere, por ejemplo, para el intervalo [−1, 1] la secuencia de funciones de "paso" continuas,${\displaystyle \{f_{k}\}_{k},}$ definido por:

$${\displaystyle f_{k}(t)={\begin{cases}0&t\in [-1,0]\\1&t\in \left[{\tfrac {1}{k}},1\right]\\kt&t\in \left(0,{\tfrac {1}{k}}\right)\end{cases}}}$$

Esta secuencia es una secuencia de Cauchy para la norma inducida por el producto interno anterior, que no converge a una función continua .

Variables aleatorias

Para variables aleatorias reales ${\displaystyle X}$ y ${\displaystyle Y,}$el valor esperado de su producto

$${\displaystyle \langle X,Y\rangle =\operatorname {E} (XY)}$$

es un producto interior. ^{[12] [13] [14]} En este caso,${\displaystyle \langle X,X\rangle =0}$ si y solo si ${\displaystyle \Pr(X=0)=1}$ (eso es, ${\displaystyle X=0}$ casi seguro ), donde${\displaystyle \Pr }$denota la probabilidad del evento. Esta definición de expectativa como producto interno también puede extenderse a vectores aleatorios .

Matrices reales

Para matrices cuadradas reales del mismo tamaño, ${\displaystyle \langle A,B\rangle :=\operatorname {tr} \left(AB^{\textsf {T}}\right)}$ con transponer como conjugación

$${\displaystyle \left(\langle A,B\rangle =\left\langle B^{\textsf {T}},A^{\textsf {T}}\right\rangle \right)}$$

es un producto interior.

Espacios vectoriales con formas

En un espacio de producto interno, o más generalmente un espacio vectorial con una forma no degenerada (de ahí un isomorfismo${\displaystyle V\to V^{*}}$), los vectores pueden enviarse a covectores (en coordenadas, mediante transposición), de modo que se puede tomar el producto interno y el producto externo de dos vectores, no simplemente de un vector y un covector.

Resultados básicos, terminología y definiciones

Norma

Cada espacio de producto interno induce una norma , llamada sunorma canónica , definida por ^[4]

$${\displaystyle \|x\|={\sqrt {\langle x,x\rangle }}.}$$

Con esta norma, cada espacio de producto interno se convierte en un espacio vectorial normalizado .

Como para todo espacio vectorial normado, un espacio de producto interno es un espacio métrico , para la distancia definida por

$${\displaystyle d(x,y)=\|y-x\|.}$$

Los axiomas del producto interno garantizan que el mapa de arriba forma una norma, que tendrá las siguientes propiedades.

Homogeneidad

Por un vector ${\displaystyle x\in V}$ y un escalar ${\displaystyle s}$

$${\displaystyle \|sx\|=|s|\,\|x\|.}$$

Desigualdad triangular

Para vectores ${\displaystyle x,y\in V}$

$${\displaystyle \|x+y\|\leq \|x\|+\|y\|.}$$

Estas dos propiedades muestran que uno tiene una norma.

Desigualdad de Cauchy-Schwarz

Para vectores ${\displaystyle x,y\in V}$

$${\displaystyle |\langle x,y\rangle |\leq \|x\|\,\|y\|}$$

con igualdad si y solo si ${\displaystyle x}$ y ${\displaystyle y}$son linealmente dependientes . En la literatura matemática rusa, esta desigualdad también se conoce como desigualdad de Cauchy-Bunyakovsky o desigualdad de Cauchy-Bunyakovsky-Schwarz .

Similitud de coseno

Cuándo ${\displaystyle \langle x,y\rangle }$ es un número real, entonces la desigualdad de Cauchy-Schwarz garantiza que ${\displaystyle {\frac {\langle x,y\rangle }{\|x\|\,\|y\|}}\in [-1,1]}$se encuentra en el dominio de la función trigonométrica inversa arccos : [ − 1 , 1 ] → [ 0 , π ] {\ Displaystyle \ arccos: [- 1,1] \ a [0, \ pi]} y así el ángulo (no orientado) entre${\displaystyle x}$ y ${\displaystyle y}$ Puede ser definido como:

$${\displaystyle \angle (x,y)=\arccos {\frac {\langle x,y\rangle }{\|x\|\,\|y\|}},}$$

donde

$${\displaystyle 0\leq \;\angle (x,y)\;\leq \pi .}$$

Identidad de polarización

El producto interno se puede recuperar de la norma mediante la identidad de polarización.

$${\displaystyle \|x+y\|^{2}=\|x\|^{2}+\|y\|^{2}+2\operatorname {Re} \langle x,y\rangle ,}$$

que es una forma de la ley de los cosenos .

Ortogonalidad

Dos vectores ${\displaystyle x}$ y ${\displaystyle y}$ son llamados ortogonal , escrito${\displaystyle x\perp y,}$ si su producto interno es cero: ${\displaystyle \langle x,y\rangle =0.}$ Esto sucede si y solo si ${\displaystyle \|x\|\leq \|x+sy\|}$ para todos los escalares ${\displaystyle s.}$^[15] Además, para${\displaystyle y\neq 0,}$ el escalar ${\displaystyle s_{0}:=-{\frac {\overline {\langle x,y\rangle }}{\|y\|^{2}}}}$ minimiza ${\displaystyle f(s):=\left\|x+sy\right\|^{2}-\|x\|^{2}}$ con valor ${\displaystyle f\left(s_{0}\right)=-{\frac {|\langle x,y\rangle |^{2}}{\|y\|^{2}}}.}$ Para un espacio de producto interno complejo, pero no real${\displaystyle H,}$ un operador lineal ${\displaystyle T:V\to V}$ es idénticamente ${\displaystyle 0}$ si y solo si ${\displaystyle x\perp Tx}$ para cada ${\displaystyle x\in V.}$^[15]

Complemento ortogonal

El complemento ortogonal de un subconjunto${\displaystyle C\subseteq V}$ es el set ${\displaystyle C^{\bot }}$ de todos los vectores ${\displaystyle y\in V}$ tal que ${\displaystyle y}$ y ${\displaystyle c}$ son ortogonales para todos ${\displaystyle c\in C}$; es decir, es el conjunto

$${\displaystyle C^{\bot }:=\left\{\,y\in V:\langle y,c\rangle =0{\text{ for all }}c\in C\,\right\}.}$$

Este conjunto ${\displaystyle C^{\bot }}$ es siempre un subespacio vectorial cerrado de ${\displaystyle V}$y si el cierre ${\displaystyle \operatorname {cl} _{V}C}$ de ${\displaystyle C}$ en ${\displaystyle V}$ es un subespacio vectorial entonces ${\displaystyle \operatorname {cl} _{V}C=\left(C^{\bot }\right)^{\bot }.}$

Teorema de pitágoras

Cuando sea ${\displaystyle x,y\in V}$ y ${\displaystyle \langle x,y\rangle =0}$ luego

$${\displaystyle \|x\|^{2}+\|y\|^{2}=\|x+y\|^{2}.}$$

La prueba de la identidad requiere solo expresar la definición de norma en términos del producto interno y multiplicar, utilizando la propiedad de aditividad de cada componente. El nombre teorema de Pitágoras surge de la interpretación geométrica en la geometría euclidiana .

La identidad de Parseval

Una inducción del teorema de Pitágoras produce: si${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}}$son vectores ortogonales (lo que significa que${\displaystyle \left\langle x_{j},x_{k}\right\rangle =0}$ para índices distintos ${\displaystyle j\neq k}$) luego

$${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}\|x_{i}\|^{2}=\left\|\sum _{i=1}^{n}x_{i}\right\|^{2}.}$$

Ley del paralelogramo

Para todos ${\displaystyle x,y\in V,}$

$${\displaystyle \|x+y\|^{2}+\|x-y\|^{2}=2\|x\|^{2}+2\|y\|^{2}.}$$

La ley del paralelogramo es, de hecho, una condición necesaria y suficiente para la existencia de un producto interno correspondiente a una norma dada.

La desigualdad de Ptolomeo

Para todos ${\displaystyle x,y,z\in V,}$

$${\displaystyle \|x-y\|\|z\|+\|y-z\|\|x\|\geq \|x-z\|\|y\|.}$$

La desigualdad de Ptolomeo es, de hecho, una condición necesaria y suficiente para la existencia de un producto interno correspondiente a una norma dada. En detalle, Isaac Jacob Schoenberg demostró en 1952 que, dado cualquier espacio seminormado real, si su seminorma es ptolemaico, entonces el seminorma es la norma asociada con un producto interno. ^[dieciséis]

Partes reales y complejas de productos internos

Suponer que ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$ es un producto interior en ${\displaystyle V}$(por lo que es antilineal en su segundo argumento). La identidad de polarización muestra que la parte real del producto interno es

$${\displaystyle \operatorname {Re} \langle x,y\rangle ={\frac {1}{4}}\left(\|x+y\|^{2}-\|x-y\|^{2}\right).}$$

Si ${\displaystyle V}$ es un espacio vectorial real entonces

$${\displaystyle \langle x,y\rangle =\operatorname {Re} \langle x,y\rangle ={\frac {1}{4}}\left(\|x+y\|^{2}-\|x-y\|^{2}\right)}$$

y la parte imaginaria (también llamada parte compleja ) de${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$siempre es 0 .

Suponga para el resto de esta sección que ${\displaystyle V}$es un espacio vectorial complejo. La identidad de polarización para espacios vectoriales complejos muestra que

${\displaystyle {\begin{alignedat}{4}\langle x,\ y\rangle &={\frac {1}{4}}\left(\|x+y\|^{2}-\|x-y\|^{2}+i\|x+iy\|^{2}-i\|x-iy\|^{2}\right)\\&=\operatorname {Re} \langle x,y\rangle +i\operatorname {Re} \langle x,iy\rangle .\\\end{alignedat}}}$

El mapa definido por ${\displaystyle \langle x\mid y\rangle =\langle y,x\rangle }$ para todos ${\displaystyle x,y\in V}$satisface los axiomas del producto interno excepto que es antilineal en su primer argumento, más que en el segundo. La parte real de ambos${\displaystyle \langle x\mid y\rangle }$ y ${\displaystyle \langle x,y\rangle }$ son iguales a ${\displaystyle \operatorname {Re} \langle x,y\rangle }$ pero los productos internos difieren en su parte compleja:

${\displaystyle {\begin{alignedat}{4}\langle x\mid y\rangle &={\frac {1}{4}}\left(\|x+y\|^{2}-\|x-y\|^{2}-i\|x+iy\|^{2}+i\|x-iy\|^{2}\right)\\&=\operatorname {Re} \langle x,y\rangle -i\operatorname {Re} \langle x,iy\rangle .\\\end{alignedat}}}$

La última igualdad es similar a la fórmula que expresa un funcional lineal en términos de su parte real.

Productos internos reales frente a complejos

Dejar ${\displaystyle V_{\mathbb {R} }}$ denotar ${\displaystyle V}$considerado como un espacio vectorial sobre los números reales en lugar de números complejos. La parte real del complejo producto interior.${\displaystyle \langle x,y\rangle }$ es el mapa ${\displaystyle \langle x,y\rangle _{\mathbb {R} }=\operatorname {Re} \langle x,y\rangle ~:~V_{\mathbb {R} }\times V_{\mathbb {R} }\to \mathbb {R} ,}$ que necesariamente forma un producto interno real en el espacio vectorial real ${\displaystyle V_{\mathbb {R} }.}$Cada producto interno en un espacio vectorial real es un mapa bilineal y simétrico .

Por ejemplo, si ${\displaystyle V=\mathbb {C} }$ con producto interior ${\displaystyle \langle x,y\rangle =x{\overline {y}},}$ donde ${\displaystyle V}$ es un espacio vectorial sobre el campo ${\displaystyle \mathbb {C} ,}$ luego ${\displaystyle V_{\mathbb {R} }=\mathbb {R} ^{2}}$ es un espacio vectorial sobre ${\displaystyle \mathbb {R} }$ y ${\displaystyle \langle x,y\rangle _{\mathbb {R} }}$es el producto escalar ${\displaystyle x\cdot y,}$ donde ${\displaystyle x=a+ib\in V=\mathbb {C} }$ se identifica con el punto ${\displaystyle (a,b)\in V_{\mathbb {R} }=\mathbb {R} ^{2}}$ (y de manera similar para ${\displaystyle y}$). Tambien tiene${\displaystyle \langle x,y\rangle }$en cambio, se ha definido como el mapa simétrico ${\displaystyle \langle x,y\rangle =xy}$ (en lugar del mapa simétrico conjugado habitual ${\displaystyle \langle x,y\rangle =x{\overline {y}}}$) entonces es parte real ${\displaystyle \langle x,y\rangle _{\mathbb {R} }}$que no sea el producto de punto; además, sin el conjugado complejo, si${\displaystyle x\in \mathbb {C} }$ pero ${\displaystyle x\not \in \mathbb {R} }$ luego ${\displaystyle \langle x,x\rangle =xx=x^{2}\not \in [0,\infty )}$ entonces la tarea ${\displaystyle x\mapsto {\sqrt {\langle x,x\rangle }}}$ no define una norma.

Los siguientes ejemplos muestran que aunque los productos internos reales y complejos tienen muchas propiedades y resultados en común, no son del todo intercambiables. Por ejemplo, si${\displaystyle \langle x,y\rangle =0}$ luego ${\displaystyle \langle x,y\rangle _{\mathbb {R} }=0,}$pero el siguiente ejemplo muestra que lo contrario en general no es cierto. Dado cualquier${\displaystyle x\in V,}$ el vector ${\displaystyle ix}$ (que es el vector ${\displaystyle x}$ girado 90 °) pertenece a ${\displaystyle V}$ y también pertenece a ${\displaystyle V_{\mathbb {R} }}$ (aunque la multiplicación escalar de ${\displaystyle x}$ por ${\displaystyle i={\sqrt {-1}}}$ no está definido en ${\displaystyle V_{\mathbb {R} },}$ sigue siendo cierto que el vector en ${\displaystyle V}$ denotado por ${\displaystyle ix}$ es un elemento de ${\displaystyle V_{\mathbb {R} }}$). Para el producto interior complejo,${\displaystyle \langle x,ix\rangle =-i\|x\|^{2},}$ mientras que para el producto interior real el valor es siempre ${\displaystyle \langle x,ix\rangle _{\mathbb {R} }=0.}$

Si ${\displaystyle V=\mathbb {C} }$ tiene el producto interno mencionado anteriormente, luego el mapa ${\displaystyle A:V\to V}$ definido por ${\displaystyle Ax=ix}$ es un mapa lineal distinto de cero (lineal para ambos ${\displaystyle V}$ y ${\displaystyle V_{\mathbb {R} }}$) que denota rotación por ${\displaystyle 90^{\circ }}$en el avión. Este mapa satisface${\displaystyle \langle x,Ax\rangle _{\mathbb {R} }=0}$ para todos los vectores ${\displaystyle x\in V_{\mathbb {R} },}$ donde este producto interno hubiera sido complejo en lugar de real, entonces esto habría sido suficiente para concluir que este mapa lineal ${\displaystyle A}$ es idénticamente ${\displaystyle 0}$ (es decir, que ${\displaystyle A=0}$), cuya rotación ciertamente no lo es. Por el contrario, para todos los distintos de cero${\displaystyle x\in V,}$ el mapa ${\displaystyle A}$ satisface ${\displaystyle \langle x,Ax\rangle =-i\|x\|^{2}\neq 0.}$

Secuencias ortonormales

Dejar ${\displaystyle V}$ ser un producto interior de dimensión finita espacio de dimensión ${\displaystyle n.}$Recuerde que todas las bases de${\displaystyle V}$ consiste exactamente en ${\displaystyle n}$vectores linealmente independientes. Usando el proceso de Gram-Schmidt podemos comenzar con una base arbitraria y transformarla en una base ortonormal. Es decir, en una base en la que todos los elementos son ortogonales y tienen norma unitaria. En símbolos, una base${\displaystyle \{e_{1},\ldots ,e_{n}\}}$ es ortonormal si ${\displaystyle \langle e_{i},e_{j}\rangle =0}$ para cada ${\displaystyle i\neq j}$ y ${\displaystyle \langle e_{i},e_{i}\rangle =\|e_{a}\|^{2}=1}$ para cada índice ${\displaystyle i.}$

Esta definición de base ortonormal se generaliza al caso de espacios de productos internos de dimensión infinita de la siguiente manera. Dejar${\displaystyle V}$ser cualquier espacio de producto interior. Entonces una colección

$${\displaystyle E=\left\{e_{\alpha }\right\}_{\alpha \in A}}$$

es una base para${\displaystyle V}$ si el subespacio de ${\displaystyle V}$ generado por combinaciones lineales finitas de elementos de ${\displaystyle E}$ es denso en ${\displaystyle V}$(en la norma inducida por el producto interno). Dilo${\displaystyle E}$es una base ortonormal para${\displaystyle V}$ si es una base y

$${\displaystyle \left\langle e_{\alpha },e_{\beta }\right\rangle =0}$$

Si ${\displaystyle a\neq b}$ y ${\displaystyle \langle e_{a},e_{a}\rangle =\|e_{a}\|^{2}=1}$ para todos ${\displaystyle a,b\in A.}$

Usando un análogo de dimensión infinita del proceso de Gram-Schmidt, se puede mostrar:

Teorema. Cualquier espacio interior de producto separable tiene una base ortonormal.

Utilizando el principio máximo de Hausdorff y el hecho de que en un espacio de producto interno completo la proyección ortogonal sobre subespacios lineales está bien definida, también se puede demostrar que

Teorema. Cualquier espacio interior de producto completo tiene una base ortonormal.

Los dos teoremas anteriores plantean la cuestión de si todos los espacios de productos internos tienen una base ortonormal. La respuesta resulta negativa. Este es un resultado no trivial y se demuestra a continuación. La siguiente prueba está tomada del Libro de problemas espaciales de A Hilbert de Halmos (véanse las referencias). ^{[ cita requerida ]}

Prueba

Recall that the dimension of an inner product space is the cardinality of a maximal orthonormal system that it contains (by Zorn's lemma it contains at least one, and any two have the same cardinality). An orthonormal basis is certainly a maximal orthonormal system but the converse need not hold in general. If ${\displaystyle G}$ is a dense subspace of an inner product space ${\displaystyle V,}$ then any orthonormal basis for ${\displaystyle G}$ is automatically an orthonormal basis for ${\displaystyle V.}$ Thus, it suffices to construct an inner product space ${\displaystyle V}$ with a dense subspace ${\displaystyle G}$ whose dimension is strictly smaller than that of ${\displaystyle V.}$ Let ${\displaystyle K}$ be a Hilbert space of dimension ℵ 0 . {\displaystyle \aleph _{0}.} (for instance, ${\displaystyle K=\ell ^{2}(\mathbb {N} )}$). Let ${\displaystyle E}$ be an orthonormal basis of ${\displaystyle K,}$ so ${\displaystyle |E|=\aleph _{0}.}$ Extend ${\displaystyle E}$ to a Hamel basis ${\displaystyle E\cup F}$ for ${\displaystyle K,}$where ${\displaystyle E\cap F=\varnothing .}$ Since it is known that the Hamel dimension of ${\displaystyle K}$ is ${\displaystyle c,}$ the cardinality of the continuum, it must be that ${\displaystyle |F|=c.}$ Let ${\displaystyle L}$ be a Hilbert space of dimension ${\displaystyle c}$ (for instance, ${\displaystyle L=\ell ^{2}(\mathbb {R} )}$). Let ${\displaystyle B}$ be an orthonormal basis for ${\displaystyle L}$ and let ${\displaystyle \varphi :F\to B}$ be a bijection. Then there is a linear transformation ${\displaystyle T:K\to L}$ such that ${\displaystyle Tf=\varphi (f)}$ for ${\displaystyle f\in F,}$ and ${\displaystyle Te=0}$ for ${\displaystyle e\in E}$. Let ${\displaystyle V=K\oplus L}$ and let ${\displaystyle G=\{(k,Tk):k\in K\}}$ be the graph of ${\displaystyle T.}$ Let ${\displaystyle {\overline {G}}}$ be the closure of ${\displaystyle G}$ in ${\displaystyle V}$; we will show ${\displaystyle {\overline {G}}=V.}$ Since for any ${\displaystyle e\in E}$ we have ${\displaystyle (e,0)\in G,}$ it follows that ${\displaystyle K\oplus 0\subseteq {\overline {G}}.}$ Next, if ${\displaystyle b\in B,}$ then ${\displaystyle b=Tf}$ for some ${\displaystyle f\in F\subseteq K,}$ so ${\displaystyle (f,b)\in G\subseteq {\overline {G}}}$; since ${\displaystyle (f,0)\in {\overline {G}}}$ as well, we also have ${\displaystyle (0,b)\in {\overline {G}}.}$ It follows that ${\displaystyle 0\oplus L\subseteq {\overline {G}},}$ so ${\displaystyle {\overline {G}}=V,}$ and ${\displaystyle G}$ is dense in ${\displaystyle V.}$ Finally, ${\displaystyle \{(e,0):e\in E\}}$ is a maximal orthonormal set in ${\displaystyle G}$; if $${\displaystyle 0=\langle (e,0),(k,Tk)\rangle =\langle e,k\rangle +\langle 0,Tk\rangle =\langle e,k\rangle }$$ for all ${\displaystyle e\in E}$ then ${\displaystyle k=0,}$ so ${\displaystyle (k,Tk)=(0,0)}$ is the zero vector in ${\displaystyle G.}$ Hence the dimension of ${\displaystyle G}$ is ${\displaystyle |E|=\aleph _{0},}$ whereas it is clear that the dimension of ${\displaystyle V}$ is ${\displaystyle c.}$ This completes the proof.

La identidad de Parseval conduce inmediatamente al siguiente teorema:

Teorema. Dejar${\displaystyle V}$ ser un espacio de producto interior separable y ${\displaystyle \left\{e_{k}\right\}_{k}}$ una base ortonormal de ${\displaystyle V.}$ Entonces el mapa

$${\displaystyle x\mapsto {\bigl \{}\langle e_{k},x\rangle {\bigr \}}_{k\in \mathbb {N} }}$$

es un mapa lineal isométrico ${\displaystyle V\mapsto \ell ^{2}}$ con una imagen densa.

Este teorema se puede considerar como una forma abstracta de la serie de Fourier , en la que una base ortonormal arbitraria juega el papel de la secuencia de polinomios trigonométricos . Tenga en cuenta que el conjunto de índices subyacente puede tomarse como cualquier conjunto contable (y de hecho cualquier conjunto, siempre que${\displaystyle \ell ^{2}}$se define adecuadamente, como se explica en el artículo Espacio de Hilbert ). En particular, obtenemos el siguiente resultado en la teoría de series de Fourier:

Teorema. Dejar${\displaystyle V}$ ser el espacio interior del producto ${\displaystyle C[-\pi ,\pi ].}$ Luego, la secuencia (indexada en el conjunto de todos los enteros) de funciones continuas

$${\displaystyle e_{k}(t)={\frac {e^{ikt}}{\sqrt {2\pi }}}}$$

es una base ortonormal del espacio ${\displaystyle C[-\pi ,\pi ]}$ con el ${\displaystyle L^{2}}$producto Interno. El mapeo

$${\displaystyle f\mapsto {\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\left\{\int _{-\pi }^{\pi }f(t)e^{-ikt}\,\mathrm {d} t\right\}_{k\in \mathbb {Z} }}$$

es un mapa lineal isométrico con una imagen densa.

Ortogonalidad de la secuencia ${\displaystyle \{e_{k}\}_{k}}$ se deduce inmediatamente del hecho de que si ${\displaystyle k\neq j,}$ luego

$${\displaystyle \int _{-\pi }^{\pi }e^{-i(j-k)t}\,\mathrm {d} t=0.}$$

La normalidad de la secuencia es por diseño, es decir, los coeficientes se eligen de modo que la norma resulte en 1. Finalmente, el hecho de que la secuencia tenga un intervalo algebraico denso, en la norma del producto interno , se sigue del hecho de que la secuencia tiene un intervalo algebraico denso, esta vez en el espacio de funciones periódicas continuas en${\displaystyle [-\pi ,\pi ]}$con la norma uniforme. Este es el contenido del teorema de Weierstrass sobre la densidad uniforme de polinomios trigonométricos.

Operadores en espacios de productos internos

Varios tipos de mapas lineales${\displaystyle A:V\to W}$ entre los espacios interiores del producto ${\displaystyle V}$ y ${\displaystyle W}$ son de relevancia:

• Mapas lineales continuos :${\displaystyle A:V\to W}$ es lineal y continua con respecto a la métrica definida anteriormente, o de manera equivalente, ${\displaystyle A}$ es lineal y el conjunto de reales no negativos ${\displaystyle \{\|Ax\|:\|x\|\leq 1\},}$ donde ${\displaystyle x}$ rangos sobre la unidad cerrada bola de ${\displaystyle V,}$ está ligado.
• Operadores lineales simétricos :${\displaystyle A:V\to W}$ es lineal y ${\displaystyle \langle Ax,y\rangle =\langle x,Ay\rangle }$ para todos ${\displaystyle x,y\in V.}$
• Isometrías :${\displaystyle A:V\to W}$ es lineal y ${\displaystyle \langle Ax,Ay\rangle =\langle x,y\rangle }$ para todos ${\displaystyle x,y\in V,}$ o equivalente, ${\displaystyle A}$ es lineal y ${\displaystyle \|Ax\|=\|x\|}$ para todos ${\displaystyle x\in V.}$Todas las isometrías son inyectivas . Las isometrías son morfismos entre espacios de productos internos, y los morfismos de espacios de productos internos reales son transformaciones ortogonales (compárese con la matriz ortogonal ).
• Isomorfismos isométricos :${\displaystyle A:V\to W}$es una isometría que es sobreyectiva (y por tanto biyectiva ). Los isomorfismos isométricos también se conocen como operadores unitarios (compárese con la matriz unitaria ).

Desde el punto de vista de la teoría del espacio de producto interno, no es necesario distinguir entre dos espacios que son isométricamente isomórficos. El teorema espectral proporciona una forma canónica para operadores simétricos, unitarios y más generalmente normales en espacios de producto internos de dimensión finita. Una generalización del teorema espectral es válida para los operadores normales continuos en los espacios de Hilbert.

Generalizaciones

Cualquiera de los axiomas de un producto interno puede debilitarse, dando lugar a nociones generalizadas. Las generalizaciones más cercanas a los productos internos ocurren donde se retienen la bilinealidad y la simetría conjugada, pero se debilita la definición positiva.

Productos internos degenerados

Si ${\displaystyle V}$ es un espacio vectorial y ${\displaystyle \langle \,\cdot \,,\,\cdot \,\rangle }$ una forma sesquilínea semidefinida, luego la función:

$${\displaystyle \|x\|={\sqrt {\langle x,x\rangle }}}$$

tiene sentido y satisface todas las propiedades de la norma excepto que ${\displaystyle \|x\|=0}$ No implica ${\displaystyle x=0}$(Este tipo de funcional se denomina entonces semi-norma ). Podemos producir un espacio de producto interno considerando el cociente${\displaystyle W=V/\{x:\|x\|=0\}.}$ La forma sesquilínea ${\displaystyle \langle \,\cdot \,,\,\cdot \,\rangle }$ factores a través de ${\displaystyle W.}$

Esta construcción se utiliza en numerosos contextos. La construcción Gelfand-Naimark-Segal es un ejemplo particularmente importante del uso de esta técnica. Otro ejemplo es la representación de núcleos semidefinidos en conjuntos arbitrarios.

Formas simétricas conjugadas no generadas

Alternativamente, se puede requerir que el emparejamiento sea una forma no degenerada , lo que significa que para todos los${\displaystyle x\neq 0}$ existe algo ${\displaystyle y}$ tal que ${\displaystyle \langle x,y\rangle \neq 0,}$ sin embargo ${\displaystyle y}$ no necesita ser igual ${\displaystyle x}$; en otras palabras, el mapa inducido al espacio dual${\displaystyle V\to V^{*}}$es inyectable. Esta generalización es importante en la geometría diferencial : una variedad cuyos espacios tangentes tienen un producto interno es una variedad de Riemann , mientras que si está relacionada con una forma simétrica conjugada no degenerada, la variedad es una variedad pseudo-Riemanniana . Según la ley de inercia de Sylvester , así como cada producto interno es similar al producto escalar con pesos positivos en un conjunto de vectores, cada forma simétrica conjugada no degenerada es similar al producto escalar con pesos distintos de cero en un conjunto de vectores, y el número de las ponderaciones positivas y negativas se denominan respectivamente índice positivo e índice negativo. Producto de vectores en el espacio de Minkowskies un ejemplo de producto interior indefinido, aunque, técnicamente hablando, no es un producto interior según la definición estándar anterior. El espacio de Minkowski tiene cuatro dimensiones y los índices 3 y 1 (la asignación de "+" y "-" a ellos difiere según las convenciones ).

Los enunciados puramente algebraicos (los que no usan positividad) generalmente solo se basan en la no degeneración (el homomorfismo inyectivo ${\displaystyle V\to V^{*}}$) y, por lo tanto, se mantienen de manera más general.

Productos relacionados

El término "producto interno" se opone al producto externo , que es un opuesto ligeramente más general. Simplemente, en coordenadas, el producto interno es el producto de un${\displaystyle 1\times n}$ Covector con un${\displaystyle n\times 1}$ vector, produciendo un ${\displaystyle 1\times 1}$ matriz (un escalar), mientras que el producto externo es el producto de un ${\displaystyle m\times 1}$ vector con un ${\displaystyle 1\times n}$ Covector, produciendo un ${\displaystyle m\times n}$matriz. Tenga en cuenta que el producto exterior se define para diferentes dimensiones, mientras que el producto interior requiere la misma dimensión. Si las dimensiones son las mismas, entonces el producto interno es la traza del producto externo (la traza solo se define correctamente para matrices cuadradas). En un resumen informal: "interior es horizontal por vertical y se encoge, exterior es vertical por horizontal y se expande".

De manera más abstracta, el producto externo es el mapa bilineal ${\displaystyle W\times V^{*}\to \hom(V,W)}$enviar un vector y un covector a una transformación lineal de rango 1 ( tensor simple de tipo (1, 1)), mientras que el producto interno es el mapa de evaluación bilineal${\displaystyle V^{*}\times V\to F}$dado evaluando un covector en un vector; el orden de los espacios vectoriales de dominio aquí refleja la distinción entre el vector y el covector.

El producto interior y el producto exterior no deben confundirse con el producto interior y el producto exterior , que son operaciones en campos vectoriales y formas diferenciales , o más generalmente en el álgebra exterior .

Como complicación adicional, en álgebra geométrica el producto interno y el producto externo (Grassmann) se combinan en el producto geométrico (el producto de Clifford en un álgebra de Clifford ) - el producto interno envía dos vectores (1-vectores) a un escalar (a 0-vector), mientras que el producto exterior envía dos vectores a un bivector (2-vector), y en este contexto, el producto exterior generalmente se denomina producto exterior (alternativamente, producto de cuña ). El producto interno se llama más correctamente un producto escalar en este contexto, ya que la forma cuadrática no degenerada en cuestión no necesita ser definida positiva (no necesita ser un producto interno).

Ver también

• Forma  bilineal: función bilineal con valores escalares
• Sistema biortogonal
• Espacio dual: espacio  vectorial de funciones lineales de vectores que devuelven escalares; generalizando el producto escalar
• Espacio energético
• Producto semi-interno en L  - Generalización de productos internos que se aplica a todos los espacios normativos
• Distancia de Minkowski
• Complemento ortogonal

Notas

1. Al combinar lapropiedad lineal en el primer argumento con lapropiedad de simetría conjugada , se obtiene conjugada lineal en el segundo argumento :${\textstyle \langle x,by\rangle =\langle x,y\rangle {\overline {b}}.}$ Así es como se definió originalmente el producto interno y todavía se usa en algunas comunidades matemáticas de la vieja escuela. Sin embargo, toda la ingeniería y la informática, y la mayor parte de la física y las matemáticas modernas ahora definen el producto interno como lineal en el segundo argumento y conjugado-lineal en el primer argumento porque esto es más compatible con varias otras convenciones en matemáticas. En particular, para cualquier producto interno, hay una matriz hermitiana , positiva-definida${\textstyle M}$ tal que ${\textstyle \langle x,y\rangle =x^{*}My.}$ (Aquí, ${\textstyle x^{*}}$es la transposición conjugada de${\textstyle x.}$)
2. Esto significa que${\displaystyle \langle x,y+z\rangle =\langle x,y\rangle +\langle x,z\rangle }$ y ${\displaystyle \langle x,sy\rangle ={\overline {s}}\langle x,y\rangle }$ para todos los vectores ${\displaystyle x,y,z}$ y todos los escalares ${\displaystyle s.}$
3. Una barra sobre una expresión denota una conjugación compleja; por ejemplo,${\textstyle {\overline {x}}}$ es la conjugación compleja de ${\textstyle x.}$ Por valores reales, ${\textstyle x={\overline {x}}}$y la simetría conjugada es equivalente a la simetría .
4. Esto se debe a que la condición (1) (es decir, la linealidad en el primer argumento) y la definición positiva implica que${\displaystyle \langle x,x\rangle }$es siempre un número real. Y como se mencionó antes, una forma sesquilínea es hermitiana si y solo si${\displaystyle \langle x,x\rangle }$ es real para todos ${\displaystyle x.}$

Pruebas

1. homogeneidad en el primer argumento implica${\displaystyle \langle \mathbf {0} ,x\rangle =\langle 0x,x\rangle =0\langle x,x\rangle =0.}$ ${\displaystyle \blacksquare }$ La aditividad en el primer argumento implica${\displaystyle \langle \mathbf {0} ,x\rangle =\langle \mathbf {0} +\mathbf {0} ,x\rangle =\langle \mathbf {0} ,x\rangle +\langle \mathbf {0} ,x\rangle }$ así que agregando ${\displaystyle -\langle \mathbf {0} ,x\rangle }$ a ambos lados prueba ${\displaystyle \langle \mathbf {0} ,x\rangle =0.}$ ${\displaystyle \blacksquare }$
2. Un número complejo${\displaystyle c}$ es un número real si y solo si ${\displaystyle c={\overline {c}}.}$ Utilizando ${\displaystyle y=x}$en condición (2) da${\displaystyle \langle x,x\rangle ={\overline {\langle x,x\rangle }},}$ lo que implica que ${\displaystyle \langle x,x\rangle }$ es un número real. ${\displaystyle \blacksquare }$
3. Deje${\displaystyle x,y,z}$ ser vectores y dejar ${\displaystyle s}$ser un escalar. Luego${\displaystyle \langle x,sy\rangle ={\overline {\langle sy,x\rangle }}={\overline {s}}{\overline {\langle y,x\rangle }}={\overline {s}}\langle x,y\rangle }$ y ${\displaystyle \langle x,y+z\rangle ={\overline {\langle y+z,x\rangle }}={\overline {\langle y,x\rangle }}+{\overline {\langle z,x\rangle }}=\langle x,y\rangle +\langle x,z\rangle .}$ ${\displaystyle \blacksquare }$

Referencias

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