en la teoría de categorías , un functor enriquecido es la generalización apropiada de la noción de un funtor a categorías enriquecidas . Los functores enriquecidos son entonces mapas entre categorías enriquecidas que respetan la estructura enriquecida.
Definición
Si C y D son categorías M (es decir, categorías enriquecidas sobre la categoría monoidal M ), un funtor enriquecido M T : C → D es un mapa que asigna a cada objeto de C un objeto de D y para cada par de objetos una y b en C proporciona un morfismo en M
- T ab : C ( a , b ) → D ( T ( a ), T ( b ))
entre los hom-objetos de C y D (que son objetos en M ), satisfaciendo versiones enriquecidas de los axiomas de un funtor, es decir, la preservación de la identidad y la composición.
Dado que los hom-objetos no necesitan ser conjuntos en una categoría enriquecida, no se puede hablar de un morfismo particular. Ya no hay noción de un morfismo identitario, ni de una composición particular de dos morfismos. En cambio, los morfismos de la unidad a un hom-objeto deben considerarse como la selección de una identidad, y los morfismos del producto monoidal deben considerarse como composición. Los axiomas functoriales habituales se reemplazan con los diagramas conmutativos correspondientes que involucran estos morfismos. En detalle, uno tiene eso:
- Preservación de la identidad: si I es el objeto unitario de M e id a , id T ( a ) denota las identidades de C y D, el diagrama
- conmuta, lo que equivale a la ecuación T aa ∘ id a = id T ( a ) . Esto es análogo a la regla F (id a ) = id F ( a ) para functores ordinarios.
- Conservación de la composición: además, se exige que el diagrama
- conmuta, que es análoga a la regla F ( f ∘ g ) = F ( f ) ∘ F ( g ) para los functores ordinarios.
Fuerza
Funtores enriquecidos también se llaman funtores fuertes (que no debe confundirse con fuertes funtores monoidales ) y el mapa de T ab se llama entonces una fuerza de T .
Las fortalezas son siempre transformaciones binatural desde el funtor identidad a T . [1]
Fuerza Tensorial
Como toda categoría monoidal cerrada M puede interpretarse como una categoría enriquecida sobre sí misma, un functor monoidal T : M → M junto con una fuerza T ab : M ( a , b ) → M ( T ( a ), T ( b )) como se describe en la definición anterior puede verse como un funtor enriquecido en M. Si T es un funtor monoidal simétrico , existe una noción alternativa pero equivalente [2] de una fuerza llamada fuerza tensorial , dada por una transformación binatural
- t ab : a ⊗ T ( b ) → T ( a ⊗ b )
de id ⊗ T a T satisfaciendo las siguientes condiciones.
- Coherencia de la unidad izquierda: el siguiente diagrama conmuta.
- Coherencia de asociatividad: el siguiente diagrama conmuta.
Se puede encontrar una equivalencia entre t ab y T ab haciendo que los siguientes diagramas conmuten.
- Dado T ab , obtenga t ab de
- Dado t ab , obtenga T ab de
Nociones alternativas
Dado que M es una categoría monoidal simétrica , t ab da lugar a una fuerza de coste tensorial
t ' ab : T ( a ) ⊗ b → T ( a ⊗ b )
Satisfacer la coherencia de asociatividad y la coherencia de unidad correcta :
haciendo el siguiente diagrama de conmutación:
En la programación funcional , una fuerza tensorial para un funtor monoidal simétrica se da generalmente por una transformación natural pura una : un → T ( un ) desde el funtor identidad a T . La correspondencia entre ambas nociones se ilustra mediante los siguientes diagramas conmutativos:
Referencias
- ^ Eilenberg, Samuel; Kelly, G. (enero de 1966). "Categorías cerradas" . Proc. Conf. Álgebra categórica . doi : 10.1007 / 978-3-642-99902-4_22 .
- ^ Kock, Anders. "Fuertes functores y mónadas monoidales" . Archiv der Mathematik . 23 : 113–120. doi : 10.1007 / BF01304852 .