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En la teoría de categorías , una rama de las matemáticas , una categoría enriquecida generaliza la idea de una categoría reemplazando hom-sets con objetos de una categoría monoidal general . Está motivado por la observación de que, en muchas aplicaciones prácticas, el hom-set a menudo tiene una estructura adicional que debe respetarse, por ejemplo, la de ser un espacio vectorial de morfismos o un espacio topológico de morfismos. En una categoría enriquecida, el conjunto de morfismos (el hom-set) asociado con cada par de objetos es reemplazado por un objeto.en alguna categoría monoidal fija de "hom-objetos". Para emular la composición (asociativa) de morfismos en una categoría ordinaria, la categoría hom debe tener un medio de componer hom-objetos de una manera asociativa: es decir, debe haber una operación binaria sobre objetos que nos dé al menos la estructura de una categoría monoidal , aunque en algunos contextos la operación también puede necesitar ser conmutativa y quizás también tener un adjunto derecho (es decir, hacer que la categoría sea monoidal simétrica o incluso monoidal cerrada simétrica , respectivamente). [ cita requerida ]
Así pues, la teoría de categorías enriquecida engloba dentro del mismo marco una amplia variedad de estructuras que incluyen
En el caso de que la categoría hom-objeto sea la categoría de conjuntos con el producto cartesiano habitual, las definiciones de categoría enriquecida, functor enriquecido, etc ... se reducen a las definiciones originales de la teoría de categorías ordinarias.
Una categoría enriquecido con HOM-objetos de la categoría monoidal M se dice que es una categoría enriquece respecto de M o una categoría enriquecido en M , o simplemente una categoría M . Debido a la preferencia de Mac Lane por la letra V en referencia a la categoría monoidal, categorías enriquecidos también se refieren a veces generalmente como V-categorías .
Sea ( M , ⊗, I , α , λ , ρ ) una categoría monoidal . Luego, una categoría C enriquecida (alternativamente, en situaciones en las que la elección de la categoría monoidal debe ser explícita, una categoría enriquecida sobre M , o M - categoría ), consiste en
El primer diagrama expresa la asociatividad de la composición:
Es decir, el requisito de la asociatividad es ahora asumida por el asociador de la categoría monoidal M .
Para el caso de que M es la categoría de conjuntos y (⊗, I , α , λ , ρ ) es la estructura monoidal (×, {•},…) dada por el producto cartesiano , el conjunto terminal de un solo punto y el isomorfismos canónicos que inducen, entonces cada C ( a , b ) es un conjunto cuyos elementos pueden considerarse como "morfismos individuales" de C , mientras que °, ahora una función, define cómo se componen los morfismos consecutivos. En este caso, cada camino que conduce a C ( a , d )en el primer diagrama corresponde a una de las dos formas de componer tres morfismos individuales consecutivos a → b → c → d , es decir, elementos de C ( a , b ) , C ( b , c ) y C ( c , d ) . La conmutatividad del diagrama es entonces simplemente la afirmación de que ambos órdenes de composición dan el mismo resultado, exactamente como se requiere para las categorías ordinarias.
Lo nuevo aquí es que lo anterior expresa el requisito de asociatividad sin ninguna referencia explícita a morfismos individuales en la categoría enriquecida C ; nuevamente, estos diagramas son para morfismos en la categoría monoidal M , y no en C , lo que hace que el concepto de asociatividad de composición significativa en el caso general donde los hom-objetos C ( a , b ) son abstractos, y el propio C ni siquiera necesita tener ninguna noción de morfismo individual.
La noción de que una categoría ordinaria debe tener morfismos de identidad es reemplazada por el segundo y tercer diagramas, que expresan la identidad en términos de unitarios de izquierda y derecha :
y
Volviendo al caso donde M es la categoría de conjuntos con producto cartesiano, los morfismos id a : I → C ( a , a ) se convierten en funciones del conjunto de un punto I y deben entonces, para cualquier objeto dado a , identificar un determinado elemento de cada conjunto C ( a , a ) , algo en lo que podemos pensar como el "morfismo de identidad para a en CLa conmutatividad de los dos últimos diagramas es entonces la afirmación de que las composiciones (definidas por las funciones °) que involucran estos "morfismos de identidad en C " individuales distinguidos se comportan exactamente según las reglas de identidad para categorías ordinarias.
Tenga en cuenta que aquí se hace referencia a varias nociones distintas de "identidad":
Si hay un funtor monoidal de una categoría monoidal M a una categoría monoidal N , entonces cualquier categoría enriquecido más de M puede ser reinterpretados como una categoría enriquecido sobre N . Cada categoría monoidal M tiene un functor monoidal M ( I , -) para la categoría de conjuntos, por lo que cualquier categoría enriquecida tiene una categoría ordinaria subyacente. En muchos ejemplos (como los anteriores) este functor es fiel , por lo que una categoría enriquecida sobre M puede describirse como una categoría ordinaria con cierta estructura o propiedades adicionales.
Un funtor enriquecido es la generalización adecuada de la noción de funtor a categorías enriquecidas. Los functores enriquecidos son entonces mapas entre categorías enriquecidas que respetan la estructura enriquecida.
Si C y D son categorías M (es decir, categorías enriquecidas sobre la categoría monoidal M ), un funtor enriquecido M T : C → D es un mapa que asigna a cada objeto de C un objeto de D y para cada par de objetos una y b en C proporciona un morfismo en M T ab : C ( un , b ) → D ( T ( un ),T ( b )) entre los hom-objetos de C y D (que son objetos en M ), satisfaciendo versiones enriquecidas de los axiomas de un funtor, es decir, la preservación de la identidad y la composición.
Dado que los hom-objetos no necesitan ser conjuntos en una categoría enriquecida, no se puede hablar de un morfismo particular. Ya no hay noción de un morfismo identitario, ni de una composición particular de dos morfismos. En cambio, los morfismos de la unidad a un hom-objeto deben considerarse como la selección de una identidad, y los morfismos del producto monoidal deben considerarse como composición. Los axiomas functoriales habituales se reemplazan con los diagramas conmutativos correspondientes que involucran estos morfismos.
En detalle, se tiene que el diagrama
conmuta, lo que equivale a la ecuación
donde I es el objeto de unidad de M . Esto es análogo a la regla F (id a ) = id F ( a ) para functores ordinarios. Además, se exige que el diagrama
conmutar, que es análoga a la regla F ( fg ) = F ( f ) F ( g ) para los functores ordinarios.