La destilación por entrelazamiento (también llamada protocolos de purificación por entrelazamiento ) es la transformación de N copias de un estado entrelazado arbitrario en un número de pares Bell aproximadamente puros , utilizando solo operaciones locales y comunicación clásica (LOCC).
La destilación por entrelazamiento cuántico puede de esta manera superar la influencia degenerativa de los canales cuánticos ruidosos [ verificación fallida ] transformando pares menos entrelazados previamente compartidos en un número menor de pares entrelazados al máximo .
Historia
Los límites para la dilución y destilación por entrelazamiento se deben a CH Bennett , H. Bernstein, S. Popescu y B. Schumacher, [1] quienes presentaron los primeros protocolos de destilación para estados puros en 1996; Bennett, Brassard, Popescu, Schumacher, Smolin y Wootters [2] introdujeron protocolos de destilación por entrelazamiento para estados mixtos el mismo año. Bennett, DiVincenzo, Smolin y Wootters [3] establecieron la conexión con la corrección de errores cuánticos en un artículo innovador publicado en agosto de 1996, también en la revista Physical Review, que ha estimulado muchas investigaciones posteriores.
Cuantificando el entrelazamiento
Un sistema de dos qubit se puede escribir como una superposición de posibles estados qubit de base computacional:, cada uno con un coeficiente complejo asociado :
Como en el caso de un solo qubit, la probabilidad de medir un estado de base computacional particular es el cuadrado del módulo de su amplitud, o coeficiente asociado, , sujeto a la condición de normalización . La condición de normalización garantiza que la suma de las probabilidades sume 1, lo que significa que al medir, se observará uno de los estados.
El estado de Bell es un ejemplo particularmente importante de un estado de dos qubit:
Los estados de Bell poseen la propiedad de que los resultados de medición en los dos qubits están correlacionados. Como puede verse en la expresión anterior, los dos posibles resultados de la medición son cero y uno, ambos con una probabilidad del 50%. Como resultado, una medición del segundo qubit siempre da el mismo resultado que la medición del primer qubit.
Los estados de campana se pueden utilizar para cuantificar el entrelazamiento. Sea m el número de copias de alta fidelidad de un estado Bell que se pueden producir usando LOCC. Dado un gran número de estados de Bell, la cantidad de entrelazamiento presente en un estado puro Entonces se puede definir como la relación de , [ aclaración necesaria ] llamado entrelazamiento destilable de un estado particular, [ aclaración necesaria ] que da una medida cuantificada de la cantidad de entrelazamiento presente en un sistema dado. El proceso de destilación por entrelazamiento tiene como objetivo saturar esta relación limitante. El número de copias de un estado puro que puede convertirse en un estado entrelazado máximo es igual a la entropía de von Neumann.del estado, que es una extensión del concepto de entropía clásica para sistemas cuánticos. Matemáticamente, para una matriz de densidad dada, la entropía de von Neumann es . El entrelazamiento se puede cuantificar como la entropía del entrelazamiento, que es la entropía de von Neumann de cualquiera o como:
Que va de 0 para un estado de producto a para un estado de entrelazado máximo (si el es reemplazado por entonces el máximo entrelazado tiene un valor de 1).
Motivación
Suponga que a dos partes, Alice y Bob , les gustaría comunicar información clásica a través de un canal cuántico ruidoso. Se puede transmitir información clásica o cuántica a través de un canal cuántico codificando la información en un estado cuántico. Con este conocimiento, Alice codifica la información clásica que pretende enviar a Bob en un estado de producto (cuántico), como un producto tensorial de matrices de densidad reducida. .... donde cada uno es diagonal y solo se puede utilizar como entrada única para un canal en particular .
La fidelidad del canal cuántico ruidoso es una medida de qué tan cerca se parece la salida de un canal cuántico a la entrada y, por lo tanto, es una medida de qué tan bien un canal cuántico conserva la información. Si un estado puro se envía a un canal cuántico emerge como el estado representado por la matriz de densidad , la fidelidad de la transmisión se define como .
El problema que enfrentan ahora Alice y Bob es que la comunicación cuántica a grandes distancias depende de la distribución exitosa de estados cuánticos altamente entrelazados y, debido al ruido inevitable en los canales de comunicación cuántica, la calidad de los estados entrelazados generalmente disminuye exponencialmente con la longitud del canal en función de la fidelidad del canal. La destilación por entrelazamiento aborda este problema de mantener un alto grado de entrelazamiento entre estados cuánticos distribuidos mediante la transformación de N copias de un estado entrelazado arbitrario. en aproximadamente Pares de campanas, usando solo operaciones locales y comunicación clásica. El objetivo es compartir qubits fuertemente correlacionados entre partes distantes (Alice y Bob) para permitir la teletransportación cuántica confiable o la criptografía cuántica .
Concentración de enredos
Estados puros
Dadas n partículas en el estado singlete compartido entre Alice y Bob, las acciones locales y la comunicación clásica serán suficientes para preparar m copias arbitrariamente buenas de con un rendimiento
- que se acerca como .
Deje un estado enredado tienen una descomposición de Schmidt :
donde los coeficientes p (x) forman una distribución de probabilidad y, por lo tanto, se valoran positivamente y suman la unidad . El producto tensorial de este estado es entonces,
Ahora, omitiendo todos los términos que no forman parte de ninguna secuencia que pueda ocurrir con alta probabilidad, conocida como el conjunto típico : el nuevo estado es
Y renormalizando,
Entonces la fidelidad
- como .
Supongamos que Alice y Bob están en posesión de m copias de . Alice puede realizar una medición en el conjunto típico subconjunto de , convirtiendo el estado con alta fidelidad. El teorema de las secuencias típicas nos muestra entonces que es la probabilidad de que la secuencia dada sea parte del conjunto típico, y pueda hacerse arbitrariamente cercana a 1 para m suficientemente grande, y por lo tanto los coeficientes de Schmidt del estado de Bell renormalizado será como mucho un factor más grande. Alice y Bob ahora pueden obtener un conjunto más pequeño de n estados Bell realizando LOCC en el estado con el que pueden superar el ruido de un canal cuántico para comunicarse con éxito.
Estados mixtos
Se han desarrollado muchas técnicas para realizar la destilación por entrelazado para estados mixtos, dando límites más bajos al valor del entrelazado destilable para clases específicas de estados .
Un método común implica que Alice no use el canal ruidoso para transmitir estados de origen directamente, sino que prepare una gran cantidad de estados de Bell, enviando la mitad de cada par de Bell a Bob. El resultado de la transmisión a través del canal ruidoso es crear el estado entrelazado mixto, para que Alice y Bob terminen compartiendo Copias de . Alice y Bob luego realizan una destilación entrelazada, produciendo estados casi perfectamente entrelazados de los estados entrelazados mixtos realizando operaciones y mediciones unitarias locales en los pares entrelazados compartidos, coordinando sus acciones a través de mensajes clásicos y sacrificando algunos de los pares entrelazados para aumentar la pureza de los restantes. Alice ahora puede preparar un qubit y teletransportarlo a Bob usando el Pares de campanas que comparten con alta fidelidad. Lo que Alice y Bob lograron de manera efectiva es haber simulado un canal cuántico silencioso utilizando uno ruidoso, con la ayuda de acciones locales y comunicación clásica.
Dejar ser un estado mixto general de dos partículas de espín-1/2 que podrían haber resultado de la transmisión de un estado singlete inicialmente puro
a través de un canal ruidoso entre Alice y Bob, que se utilizará para destilar un enredo puro. La fidelidad de M
es una expresión conveniente de su pureza en relación con una camiseta perfecta. Supongamos que M ya es un estado puro de dos partículas. para algunos . El enredo para, como ya se estableció, es la entropía de von Neumann dónde
- ,
y lo mismo para , representan las matrices de densidad reducida para cualquier partícula. A continuación, se utiliza el siguiente protocolo: [2]
- Realizar una rotación bilateral aleatoria en cada par compartido, elegir una rotación SU (2) aleatoria de forma independiente para cada par y aplicarla localmente a ambos miembros del par transforma el estado mixto general inicial de dos espines M en una mezcla rotacionalmente simétrica del singlete. Expresar y los tres estados triplete y :
El estado de Werner tiene la misma pureza F que el estado mixto inicial M del que se derivó debido a la invariancia del singlete bajo rotaciones bilaterales. - A continuación, cada uno de los dos pares actúa mediante una rotación unilateral, que podemos llamar , que tiene el efecto de convertirlos principalmente Werner afirma principalmente estados con un gran componente de mientras que los componentes de los otros tres estados de Bell son iguales.
- Los dos impuros los estados son luego activados por un XOR bilateral , y luego el par objetivo se mide localmente a lo largo del eje z. El par fuente no medido se mantiene si los giros del par objetivo salen en paralelo, como en el caso de que ambas entradas sean verdaderas.estados; y se descarta en caso contrario.
- Si el par de fuentes no se ha descartado, se convierte de nuevo a un predominantemente Estado por un unilateral rotación, y simétrica rotacionalmente por una rotación bilateral aleatoria.
La repetición del protocolo descrito anteriormente destilará los estados de Werner cuya pureza puede elegirse para ser arbitrariamente alta a partir de una colección M de estados de pureza mixtos de entrada pero con un rendimiento que tiende a cero en el límite . Al realizar otra operación XOR bilateral, esta vez en un número variable de pares de fuentes, en contraposición a 1, en cada par de destino antes de medirlo, se puede hacer que el rendimiento se acerque a un límite positivo como . Este método se puede combinar con otros para obtener un rendimiento aún mayor.
Método de Procusto
El método de Procusto de concentración por entrelazamiento se puede utilizar para tan solo un par parcialmente entrelazado, siendo más eficiente que el método de proyección de Schmidt para entrelazar menos de 5 pares, [1] y requiere que Alice y Bob conozcan el sesgo () de los n pares por adelantado. El método deriva su nombre de Procrustes porque produce un estado perfectamente entrelazado al eliminar la probabilidad adicional asociada con el término más grande en el entrelazamiento parcial de los estados puros:
Suponiendo una colección de partículas para las cuales se conoce como menor o mayor que El método de Procusto puede llevarse a cabo manteniendo todas las partículas que, cuando pasan a través de un absorbedor dependiente de la polarización o un reflector dependiente de la polarización, que absorben o reflejan una fracción del resultado más probable, no se absorben ni se desvían. Por lo tanto, si Alice posee partículas para las cuales, puede separar las partículas que es más probable que se midan en la base de arriba / abajo, y dejarlas con partículas en estado de mezcla máxima de giro hacia arriba y hacia abajo. Este tratamiento corresponde a un POVM (medida valorada por el operador positivo). Para obtener un estado perfectamente entrelazado de dos partículas, Alice informa a Bob del resultado de su medición generalizada, mientras que Bob no mide su partícula en absoluto, sino que descarta la suya si Alice descarta la suya.
Protocolo estabilizador
El propósito de un El protocolo de destilación por entrelazamiento es destilar ebits puros deebits ruidosos donde. El rendimiento de tal protocolo es. Luego, dos partes pueden usar los ebits silenciosos para protocolos de comunicación cuántica .
Las dos partes establecen un conjunto de ebits ruidosos compartidos de la siguiente manera. El remitente Alice se prepara primero Estados de campana en la zona. Ella envía el segundo qubit de cada par a través de un canal cuántico ruidoso a un receptor Bob. Dejar ser el estado reorganizado para que todos los qubits de Alice estén a la izquierda y todos los qubits de Bob estén a la derecha. El canal cuántico ruidoso aplica un error de Pauli en el conjunto de errores al conjunto de qubits enviados por el canal. El remitente y el receptor comparten un conjunto deebits ruidosos de la forma donde la identidad actúa sobre los qubits de Alice yes un operador de Pauli enactuando sobre los qubits de Bob .
Un protocolo de destilación por entrelazamiento de estabilizador unidireccional utiliza un código de estabilizador para el procedimiento de destilación. Suponga que el estabilizador por un el código cuántico de corrección de errores tiene generadores. El procedimiento de destilación comienza con Alice midiendo el generadores en . Dejar ser el conjunto de la proyectores que se proyectan en el subespacios ortogonales correspondientes a los generadores en . Los proyectos de medición aleatoriamente en uno de los subespacios. Cada conmuta con el operador ruidoso del lado de Bob para que
La siguiente identidad de matriz de estado de Bell importante se cumple para una matriz arbitraria:
Entonces la expresión anterior es igual a la siguiente:
Por lo tanto, cada uno de los proyectores de Alice proyecta los qubits de Bob en un subespacio correspondiente al subespacio proyectado de Alice . Alice restaura sus qubits al + 1- eigenspace simultáneo de los generadores en. Envía los resultados de sus mediciones a Bob. Bob mide los generadores en. Bob combina sus medidas con las de Alice para determinar un síndrome del error. Realiza una operación de recuperación en sus qubits para revertir el error. Restaura sus qubits . Alice y Bob realizan la decodificación unitaria correspondiente al estabilizador para convertir su ebits lógicos aebits físicos .
Código de estabilizador asistido por enredo
Luo y Devetak proporcionaron una extensión sencilla del protocolo anterior (Luo y Devetak 2007). Su método convierte un código estabilizador asistido por entrelazado en un protocolo de destilación por entrelazado asistido por entrelazado.
Luo y Devetak forman un protocolo de destilación de enredos que cuenta con la ayuda de enredos de algunos ebits silenciosos . La suposición crucial para un protocolo de destilación de entrelazamiento asistido por entrelazamiento es que Alice y Bob poseenebits silenciosos además de susebits ruidosos . El estado total de los ebits ruidosos y silenciosos es
dónde es el matriz de identidad que actúa sobre los qubits de Alice y el ruidoso operador de Pauli afecta la primera de Bob qubits solamente. Así el último Los ebits son silenciosos, y Alice y Bob tienen que corregir los errores en la primera ebits solamente.
El protocolo procede exactamente como se describe en la sección anterior. La única diferencia es que Alice y Bob miden los generadores en un código estabilizador asistido por entrelazamiento . Cada generador se extiende sobre qubits donde el ultimo los qubits son silenciosos.
Comentamos sobre el rendimiento de este protocolo de destilación por entrelazamiento asistido por entrelazamiento. Un código asistido por entrelazamiento ha generadores que cada uno tiene Entradas de Pauli. Estos parámetros implican que el protocolo de destilación por entrelazamiento produceebits. Pero el protocolo consumeebits iniciales silenciosos como catalizador para la destilación. Por tanto, el rendimiento de este protocolo es.
Dilución por enredo
El proceso inverso de la destilación por entrelazamiento es la dilución por entrelazamiento, donde grandes copias del estado de Bell se convierten en estados menos entrelazados utilizando LOCC con alta fidelidad. El objetivo del proceso de dilución por entrelazamiento, entonces, es saturar la relación inversa de n am, definida como el entrelazado destilable.
Aplicaciones
Además de su importante aplicación en la comunicación cuántica, la purificación por entrelazamiento también juega un papel crucial en la corrección de errores para la computación cuántica , porque puede aumentar significativamente la calidad de las operaciones lógicas entre diferentes qubits. El papel de la destilación por entrelazamiento se analiza brevemente para las siguientes aplicaciones.
Corrección de errores cuánticos
Los protocolos de destilación por entrelazamiento para estados mixtos se pueden utilizar como un tipo de corrección de errores para los canales de comunicaciones cuánticas entre dos partes, Alice y Bob, lo que permite a Alice enviar de manera confiable mD (p) qubits de información a Bob, donde D (p) es el destilable entrelazamiento de p, el estado que resulta cuando la mitad de un par de Bell se envía a través del canal ruidoso conectando a Alice y Bob.
En algunos casos, la destilación por entrelazamiento puede funcionar cuando fallan las técnicas convencionales de corrección de errores cuánticos. Se conocen protocolos de destilación por entrelazamiento que pueden producir una tasa de transmisión D (p) distinta de cero para canales que no permiten la transmisión de información cuántica debido a la propiedad de que los protocolos de destilación por entrelazamiento permiten la comunicación clásica entre las partes en oposición a la corrección de errores convencional. que lo prohíbe.
Criptografía cuántica
El concepto de resultados de medición correlacionados y entrelazamiento es fundamental para el intercambio de claves cuánticas y, por lo tanto, la capacidad de realizar con éxito la destilación por entrelazamiento para obtener estados de entrelazamiento máximo es esencial para la criptografía cuántica.
Si un par de partículas entrelazadas se comparte entre dos partes, cualquiera que intercepte cualquiera de las partículas alterará el sistema general, lo que permitirá que se determine su presencia (y la cantidad de información que han obtenido) siempre que las partículas estén en un estado de entrelazado máximo. Además, para compartir una cadena de clave secreta, Alice y Bob deben realizar las técnicas de amplificación de la privacidad y reconciliación de información para destilar una cadena de clave secreta compartida. La reconciliación de información es la corrección de errores a través de un canal público que reconcilia los errores entre las cadenas de bits clásicas aleatorias correlacionadas compartidas por Alice y Bob, al tiempo que limita el conocimiento que un posible espía puede tener Eve sobre las claves compartidas. Después de que se utiliza la reconciliación de información para reconciliar posibles errores entre las claves compartidas que Alice y Bob poseen y limitar la posible información que Eve podría haber obtenido, la técnica de amplificación de la privacidad se usa para destilar un subconjunto más pequeño de bits maximizando la incertidumbre de Eve sobre la clave.
Teletransportación cuántica
En la teletransportación cuántica, un emisor desea transmitir un estado cuántico arbitrario de una partícula a un receptor posiblemente distante. La teletransportación cuántica es capaz de lograr una transmisión fiel de información cuántica sustituyendo la comunicación clásica y el entrelazamiento previo por un canal cuántico directo. Usando la teletransportación, un qubit desconocido arbitrario se puede transmitir fielmente a través de un par de qubits entrelazados al máximo compartidos entre el remitente y el receptor, y un mensaje clásico de 2 bits del remitente al receptor. La teletransportación cuántica requiere un canal cuántico silencioso para compartir partículas perfectamente entrelazadas y, por lo tanto, la destilación por entrelazamiento satisface este requisito al proporcionar el canal cuántico silencioso y los qubits entrelazados al máximo.
Ver también
- Canal cuántico
- Criptografía cuántica
- Entrelazamiento cuántico
- Estado cuántico
- Teletransportación cuántica
- LOCC
notas y referencias
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