Dados dos operadores de densidad y , la fidelidad se define generalmente como la cantidad . En el caso especial donde y representan estados cuánticos puros , a saber, y , la definición se reduce a la superposición cuadrada entre los estados: . Si bien no es obvio a partir de la definición general, la fidelidad es simétrica:.
Dada una medida clásica de la distinguibilidad de dos distribuciones de probabilidad , se puede motivar una medida de distinguibilidad de dos estados cuánticos de la siguiente manera. Si un experimentador está intentando determinar si un estado cuántico es una de dos posibilidades o , La medida posible en general más que pueden hacer en el estado es un POVM , que se describe mediante un conjunto de hermitianos semidefinida positiva operadores. Si el estado dado al experimentador es, ellos serán testigos del resultado con probabilidad , e igualmente con probabilidad por . Su capacidad para distinguir entre los estados cuánticos. y es entonces equivalente a su capacidad para distinguir entre las distribuciones de probabilidad clásicas y . Naturalmente, el experimentador elegirá el mejor POVM que pueda encontrar, por lo que esto motiva a definir la fidelidad cuántica como el coeficiente de Bhattacharyya al cuadrado cuando se excede de todos los POVM posibles.:
Fuchs y Caves demostraron que esta definición manifiestamente simétrica es equivalente a la fórmula asimétrica simple dada en la siguiente sección. [1]
Definición
Dadas dos matrices de densidad ρ y σ , la fidelidad se define por [2]
Algunas de las propiedades importantes de la fidelidad del estado cuántico son:
Simetría ..
Valores acotados . Para cualquier y , , y .
Coherencia con la fidelidad entre distribuciones de probabilidad . Si y conmutar , la definición se simplifica a
dónde son los valores propios de , respectivamente. Para ver esto, recuerda que sientonces se pueden diagonalizar en la misma base :
así que eso
Expresiones simplificadas para estados puros . Sies puro ,, luego . Esto se sigue de
Si ambos y son puros, y , luego . Esto se sigue inmediatamente de la expresión anterior para puro.
Expresión equivalente .
Se puede escribir una expresión equivalente para la fidelidad, utilizando la norma de seguimiento.
donde el valor absoluto de un operador se define aquí como.
Expresión explícita para qubits .
Si y son estados qubit , la fidelidad se puede calcular como [2] [3]
El estado de Qubit significa que y están representados por matrices bidimensionales. Este resultado sigue notando quees un operador semidefinito positivo , por lo tanto, dónde y son los autovalores (no negativos) de . Si (o ) es puro, este resultado se simplifica aún más para desde para estados puros.
Definición alternativa
Algunos autores utilizan una definición alternativa y llamamos fidelidad a esta cantidad. [4] La definición desin embargo, es más común. [5] [6] [7] Para evitar confusiones,podría llamarse "fidelidad de raíz cuadrada". En todo caso conviene aclarar la definición adoptada siempre que se emplee la fidelidad.
Otras propiedades
Invariancia unitaria
El cálculo directo muestra que la fidelidad se conserva por evolución unitaria , es decir
Vimos que para dos estados puros, su fidelidad coincide con la superposición. El teorema de Uhlmann [8] generaliza este enunciado a estados mixtos, en términos de sus purificaciones:
Teorema Sean ρ y σ matrices de densidad que actúan sobre C n . Sea ρ 1 ⁄ 2 la única raíz cuadrada positiva de ρ y
ser una purificación de ρ (por lo tanto es una base ortonormal), entonces se cumple la siguiente igualdad:
dónde es una purificación de σ. Por tanto, en general, la fidelidad es el máximo solapamiento entre purificaciones.
Boceto de prueba
Se puede esbozar una prueba simple de la siguiente manera. Dejar denotar el vector
Pero en general, para cualquier matriz cuadrada A y unitaria U , es cierto que | tr ( AU ) | ≤ tr (( A * A )1 ⁄ 2 ). Por otra parte, la igualdad se logra siT*es el operador unitario en ladescomposición polardeA. De esto se sigue directamente el teorema de Uhlmann.
Prueba con descomposiciones explícitas
Aquí proporcionaremos una forma alternativa y explícita de demostrar el teorema de Uhlmann.
Dejar y ser purificaciones de y , respectivamente. Para empezar, demostremos que.
La forma general de las purificaciones de los estados es:
fueron son los autovectores de , y son bases ortonormales arbitrarias. La superposición entre las purificaciones es
donde la matriz unitaria Se define como
Ahora se llega a la conclusión mediante el uso de la desigualdad :
Tenga en cuenta que esta desigualdad es la desigualdad del triángulo aplicada a los valores singulares de la matriz. De hecho, para una matriz genérica y unitario , tenemos
dónde son los valores singulares (siempre reales y no negativos) de , como en la descomposición de valores singulares . La desigualdad se satura y se convierte en igualdad cuando , Eso es cuando y por lo tanto . Lo anterior muestra que cuando las purificaciones y son tales que . Debido a que esta elección es posible independientemente de los estados, finalmente podemos concluir que
Consecuencias
Algunas consecuencias inmediatas del teorema de Uhlmann son
La fidelidad es simétrica en sus argumentos, es decir, F (ρ, σ) = F (σ, ρ). Tenga en cuenta que esto no es obvio a partir de la definición original.
F (ρ, σ) se encuentra en [0,1], por la desigualdad de Cauchy-Schwarz .
F (ρ, σ) = 1 si y solo si ρ = σ, ya que Ψ ρ = Ψ σ implica ρ = σ.
Entonces podemos ver que la fidelidad se comporta casi como una métrica. Esto se puede formalizar y hacer útil definiendo
Como el ángulo entre los estados y . De las propiedades anteriores se deduce que es no negativo, simétrico en sus entradas y es igual a cero si y solo si . Además, se puede demostrar que obedece a la desigualdad del triángulo, [4] por lo que este ángulo es una métrica en el espacio de estados: la métrica de Fubini-Study . [9]
Relación con la fidelidad entre las distribuciones de probabilidad correspondientes
Dejar ser una medida arbitraria positiva valorada por el operador (POVM); es decir, un conjunto de operadores satisfactorio . También puede ser una medida proyectiva arbitraria (PVM), lo que significa que es un POVM que también satisface y . Entonces, para cualquier par de estados y , tenemos
donde en el último paso denotamos con las distribuciones de probabilidad obtenidas midiendo con el POVM .
Esto muestra que la raíz cuadrada de la fidelidad entre dos estados cuánticos está delimitada por el coeficiente de Bhattacharyya entre las distribuciones de probabilidad correspondientes en cualquier POVM posible. De hecho, es más generalmente cierto que
dónde , y el mínimo se toma sobre todos los POVM posibles.
Prueba de desigualdad
Como se mostró anteriormente, la raíz cuadrada de la fidelidad se puede escribir como que es equivalente a la existencia de un operador unitario tal que
Recordando eso es válido para cualquier POVM, luego podemos escribir
donde en el último paso usamos la desigualdad de Cauchy-Schwarz como en .
Comportamiento bajo operaciones cuánticas
Se puede demostrar que la fidelidad entre dos estados nunca disminuye cuando una operación cuántica no selectiva se aplica a los estados: [10]
para cualquier mapa completamente positivo que conserve el rastro .
Relación con la distancia de rastreo
Podemos definir la distancia de seguimiento entre dos matrices A y B en términos de la norma de seguimiento por
Cuando A y B son ambos operadores de densidad, esta es una generalización cuántica de la distancia estadística . Esto es relevante porque la distancia de la traza proporciona límites superior e inferior en la fidelidad cuantificada por las desigualdades de Fuchs-van de Graaf , [11]
A menudo, la distancia de la traza es más fácil de calcular o delimitar que la fidelidad, por lo que estas relaciones son bastante útiles. En el caso de que al menos uno de los estados sea un estado puro Ψ, el límite inferior se puede ajustar.
Referencias
^ CA Fuchs, CM Caves: "Límites dependientes del conjunto para información accesible en mecánica cuántica" , Physical Review Letters 73, 3047 (1994)
^ a b R. Jozsa, Fidelity for Mixed Quantum States , J. Mod. Optar. 41 , 2315-2323 (1994). DOI: http://doi.org/10.1080/09500349414552171
^ M. Hübner, Cálculo explícito de la distancia de Bures para matrices de densidad , Phys. Letón. A 163 , 239--242 (1992). DOI: https://doi.org/10.1016/0375-9601%2892%2991004-B
↑ a b Nielsen, Michael A .; Chuang, Isaac L. (2000). Computación cuántica e información cuántica . Prensa de la Universidad de Cambridge. doi : 10.1017 / CBO9780511976667 . ISBN 978-0521635035.
^Bengtsson, Ingemar (2017). Geometría de los estados cuánticos: una introducción al entrelazamiento cuántico . Cambridge, Reino Unido Nueva York, NY: Cambridge University Press. ISBN 978-1-107-02625-4.
^Jaeger, Gregg (2007). Información cuántica: una descripción general . Nueva York Londres: Springer. ISBN 978-0-387-35725-6.
^Uhlmann, A. (1976). "La" probabilidad de transición "en el espacio de estados de un ∗ -álgebra" (PDF) . Informes de Física Matemática . 9 (2): 273–279. Código Bibliográfico : 1976RpMP .... 9..273U . doi : 10.1016 / 0034-4877 (76) 90060-4 . ISSN 0034-4877 .
^ K. Życzkowski, I. Bengtsson, Geometría de los estados cuánticos , Cambridge University Press, 2008, 131
^Nielsen, MA (13 de junio de 1996). "La fidelidad del entrelazamiento y la corrección de errores cuánticos". arXiv : quant-ph / 9606012 . Código Bibliográfico : 1996quant.ph..6012N . Cite journal requiere |journal=( ayuda )
^ CA Fuchs y J. van de Graaf, "Medidas de distinción criptográfica para estados mecánicos cuánticos", IEEE Trans. Inf. Teoría 45, 1216 (1999). arXiv: quant-ph / 9712042