Equidisección

6 equidisección de un cuadrado

En geometría , una equidisección es una partición de un polígono en triángulos de igual área . El estudio de las equidisecciones se inició a finales de la década de 1960 con el teorema de Monsky , que establece que un cuadrado no se puede dividir en equidistantes en un número impar de triángulos. ^[1] De hecho, la mayoría de los polígonos no se pueden dividir en forma equidistante. ^[2]

Gran parte de la literatura tiene como objetivo generalizar el teorema de Monsky a clases más amplias de polígonos. La pregunta general es: ¿Qué polígonos se pueden dividir en partes iguales? Se ha prestado especial atención a los trapezoides , cometas , polígonos regulares , polígonos centralmente simétricos , poliominos e hipercubos . ^[3]

Las equidisecciones no tienen muchas aplicaciones directas. ^[4] Se consideran interesantes porque los resultados son contradictorios al principio, y para un problema de geometría con una definición tan simple, la teoría requiere algunas herramientas algebraicas sorprendentemente sofisticadas. Muchos de los resultados se basan en extender las valoraciones p -ádicas a los números reales y extender el lema de Sperner a gráficos coloreados más generales . ^[5]

Visión general

Definiciones

Una disección de un polígono P es un conjunto finito de triángulos que no se solapan y cuya unión es todo P . Una disección en n triángulos se denomina n- disección, y se clasifica como disección par o impar según si n es par o impar . ^[5]

Una equidisección es una disección en la que cada triángulo tiene la misma área. Para un polígono P , el conjunto de todo n para el que existe una n- ecuación de P se llama espectro de P y se denota S ( P ). Un objetivo teórico general es calcular el espectro de un polígono dado. ^[6]

Una disección se llama simplicial si los triángulos se encuentran solo a lo largo de los bordes comunes. Algunos autores restringen su atención a las disecciones simpliciales, especialmente en la literatura secundaria, ya que son más fáciles de trabajar. Por ejemplo, el enunciado habitual del lema de Sperner se aplica sólo a las disecciones simpliciales. A menudo, las disecciones simpliciales se denominan triangulaciones , aunque los vértices de los triángulos no se limitan a los vértices o aristas del polígono. Por lo tanto, las equidisecciones simples también se denominan triangulaciones de áreas iguales . ^[7]

Los términos pueden extenderse a politopos de dimensiones superiores : una equidisección es un conjunto de símplex que tienen el mismo n- volumen. ^[8]

Preliminares

Es fácil encontrar una n -equidisección de un triángulo para todo n . Como resultado, si un polígono tiene una m -equidisección, entonces también tiene una mn -equidisección para todo n . De hecho, a menudo el espectro de un polígono consiste precisamente en los múltiplos de algún número m ; en este caso, tanto el espectro como el polígono se denominan principal y el espectro se denota . ^[2] Por ejemplo, el espectro de un triángulo es . Un ejemplo simple de un polígono no principal es el cuadrilátero con vértices (0, 0), (1, 0), (0, 1), (3/2, 3/2); su espectro incluye 2 y 3 pero no 1. ^[9] ${\ Displaystyle \ langle m \ rangle}$ ${\ Displaystyle \ langle 1 \ rangle}$

Las transformaciones afines del plano son útiles para estudiar equidisecciones, incluidas traslaciones , escalado uniforme y no uniforme , reflejos , rotaciones , cizalladuras y otras similitudes y mapas lineales . Dado que una transformación afín conserva líneas rectas y proporciones de áreas, envía equidisecciones a equidisecciones. Esto significa que uno es libre de aplicar cualquier transformación afín a un polígono que pueda darle una forma más manejable. Por ejemplo, es común elegir coordenadas tales que tres de los vértices de un polígono sean (0, 1), (0, 0) y (1, 0). ^[10]

El hecho de que las transformaciones afines preserven las equidisecciones también significa que ciertos resultados pueden generalizarse fácilmente. Todos los resultados indicados para un polígono regular también son válidos para polígonos afines-regulares ; en particular, los resultados relacionados con el cuadrado unitario también se aplican a otros paralelogramos, incluidos rectángulos y rombos . Todos los resultados indicados para polígonos con coordenadas enteras también se aplican a polígonos con coordenadas racionales o polígonos cuyos vértices caen en cualquier otro retículo . ^[11]

Mejores resultados

El teorema de Monsky establece que un cuadrado no tiene equidisecciones impares, por lo que su espectro sí lo es . ^[1] De manera más general, se sabe que los polígonos y poliominos simétricos centralmente no tienen equidisecciones impares. ^[12] Una conjetura de Sherman K. Stein propone que ningún polígono especial tiene una equidisección impar, donde un polígono especial es aquel cuyas clases de equivalencia de aristas paralelas suman cada una al vector cero . Los cuadrados, los polígonos centralmente simétricos , los poliominos y los polihexes son todos polígonos especiales. ^[13] ${\ Displaystyle \ langle 2 \ rangle}$

Para n > 4, el espectro de un n -gon regular es . ^[14] Para n > 1, el espectro de un cubo n- dimensional es , donde n ! es el factorial de n . ^[15] y el espectro de un n -dimensional politopo de cruce es . Este último sigue mutatis mutandis de la prueba del octaedro en ^[2] ${\ Displaystyle \ langle n \ rangle}$ ${\ Displaystyle \ langle n! \ rangle}$ ${\ Displaystyle \ langle 2 ^ {n-1} \ rangle}$

Sea T ( a ) un trapezoide donde a es la razón de las longitudes de los lados paralelos. Si a es un número racional , entonces T ( a ) es principal. De hecho, si r / s es una fracción en términos mínimos, entonces . ^[16] De manera más general, todos los polígonos convexos con coordenadas racionales pueden ser equidisccionados, ^[17] aunque no todos son principales; vea el ejemplo anterior de una cometa con un vértice en (3/2, 3/2). ${\ Displaystyle S (T (r / s)) = \ langle r + s \ rangle}$

En el otro extremo, si a es un número trascendental , entonces T ( a ) no tiene equidisección. De manera más general, ningún polígono cuyas coordenadas de vértice sean algebraicamente independientes tiene una sección equidistante. ^[18] Esto significa que casi todos los polígonos con más de tres lados no se pueden dividir en equidisección. Aunque la mayoría de los polígonos no se pueden cortar en triángulos de igual área, todos los polígonos se pueden cortar en cuadriláteros de igual área. ^[19]

Si a es un número irracional algebraico , entonces T ( a ) es un caso más complicado. Si a es algebraico de grado 2 o 3 ( cuadrático o cúbico), y todos sus conjugados tienen partes reales positivas , entonces S ( T ( a )) contiene todos los n suficientemente grandes para que n / (1 + a ) sea un entero algebraico . ^[20] Se conjetura que una condición similar que involucra polinomios establespuede determinar si el espectro está vacío o no para números algebraicos a de todos los grados. ^[21]

Historia

La idea de una equidisección parece el tipo de concepto geométrico elemental que debería ser bastante antiguo. Aigner y Ziegler (2010) comentan sobre el teorema de Monsky, "uno podría haber adivinado que seguramente la respuesta debe haber sido conocida durante mucho tiempo (si no para los griegos)". ^[22] Pero el estudio de las equidisecciones no comenzó hasta 1965, cuando Fred Richman estaba preparando un examen de maestría en la Universidad Estatal de Nuevo México .

Teorema de monsky

Richman quería incluir una pregunta sobre geometría en el examen, y notó que era difícil encontrar (lo que ahora se llama) una extraña sección equidistante de un cuadrado. Richman se demostró a sí mismo que era imposible para 3 o 5, que la existencia de una n -equidisección implica la existencia de una ( n + 2) -dissection, y que ciertos cuadriláteros arbitrariamente cercanos a ser cuadrados tienen equidisecciones impares. ^[23] Sin embargo, no resolvió el problema general de las equidisecciones impares de los cuadrados y lo dejó fuera del examen. El amigo de Richman, John Thomas, se interesó por el problema; en su recuerdo,

“Todos a quienes se les planteó el problema (incluido yo mismo) dijeron algo como 'esa no es mi área, pero la pregunta seguramente debe haber sido considerada y la respuesta probablemente sea bien conocida'. Algunos pensaron que lo habían visto, pero no recordaban dónde. Me interesó porque me recordó al Lema de Sperner en topología , que tiene una inteligente prueba de pares pares ". ^[24]

Thomas demostró que una equidisección impar era imposible si las coordenadas de los vértices son números racionales con denominadores impares. Envió esta prueba a Mathematics Magazine , pero fue suspendida:

"La reacción del árbitro fue predecible. Pensó que el problema podría ser bastante fácil (aunque no pudo resolverlo) y posiblemente era muy conocido (aunque no pudo encontrar ninguna referencia al mismo)". ^[25]

En cambio, la pregunta se presentó como un problema avanzado en el American Mathematical Monthly ( Richman y Thomas 1967 ). Cuando nadie más presentó una solución, la prueba se publicó en Mathematics Magazine ( Thomas 1968 ), tres años después de su redacción. Monsky (1970) se basó en el argumento de Thomas para demostrar que no hay equidisecciones extrañas de un cuadrado, sin supuestos de racionalidad. ^[25]

La demostración de Monsky se basa en dos pilares: un resultado combinatorio que generaliza el lema de Sperner y un resultado algebraico , la existencia de una valoración 2-ádica de los números reales. Una coloración inteligente del plano implica entonces que en todas las disecciones del cuadrado, al menos un triángulo tiene un área que equivale a un denominador par y, por lo tanto, todas las equidisecciones deben ser pares. La esencia del argumento ya se encuentra en Thomas (1968) , pero Monsky (1970) fue el primero en utilizar una valoración 2-ádica para cubrir disecciones con coordenadas arbitrarias. ^[26]

Generalizaciones

La primera generalización del teorema de Monsky fue Mead (1979) , quien demostró que el espectro de un cubo n- dimensional es . Bekker & Netsvetaev (1998) revisan la prueba . ${\ Displaystyle \ langle n! \ rangle}$

La generalización a polígonos regulares llegó en 1985, durante un seminario de geometría dirigido por GD Chakerian en UC Davis . Elaine Kasimatis , una estudiante de posgrado, "estaba buscando algún tema algebraico en el que pudiera meterse" en el seminario. ^[6] Sherman Stein sugirió disecciones del cuadrado y el cubo: "un tema que Chakerian admitió a regañadientes era geométrico". ^[6] Después de su charla, Stein preguntó acerca de los pentágonos regulares. Kasimatis respondió con Kasimatis (1989) , demostrando que para n > 5, el espectro de un n -gon regular es . Su prueba se basa en la prueba de Monsky, extendiendo la valoración p -ádica a los números complejos para cada divisor primo de ${\ Displaystyle \ langle n \ rangle}$ ny aplicando algunos resultados elementales de la teoría de campos ciclotómicos . También es la primera prueba que utiliza explícitamente una transformación afín para configurar un sistema de coordenadas conveniente. ^[27] Kasimatis & Stein (1990) luego enmarcaron el problema de encontrar el espectro de un polígono general, introduciendo los términos espectro y principal . ^[6] Demostraron que casi todos los polígonos carecen de equidisecciones y que no todos los polígonos son principales. ^[2]

Kasimatis & Stein (1990) iniciaron el estudio de los espectros de dos generalizaciones particulares de cuadrados: trapezoides y cometas. Los trapezoides han sido estudiados más a fondo por Jepsen (1996) , Monsky (1996) y Jepsen y Monsky (2008) . Las cometas han sido más estudiadas por Jepsen, Sedberry y Hoyer (2009) . Los cuadriláteros generales se han estudiado en Su & Ding (2003) . Se han escrito varios artículos en la Universidad Normal de Hebei , principalmente por el profesor Ding Ren y sus estudiantes Du Yatao y Su Zhanjun. ^[28]

El intento de generalizar los resultados para regulares n -gons incluso para n , Stein (1989) conjeturado que no polígono centralmente simétrica tiene un equidissection impar, y él demostrado la n = 6 y n = 8 casos. Monsky (1990) demostró la conjetura completa . Una década más tarde, Stein hizo lo que describe como "un avance sorprendente", conjeturando que ningún poliomino tiene una extraña equidisección. Demostró el resultado de un poliomino con un número impar de cuadrados en Stein (1999) . La conjetura completa se demostró cuando Praton (2002) trató el caso par.

El tema de las equidisecciones ha sido popularizado recientemente por tratamientos en The Mathematical Intelligencer ( Stein 2004 ), un volumen de Carus Mathematical Monographs ( Stein & Szabó 2008 ), y la cuarta edición de Proofs from THE BOOK ( Aigner & Ziegler 2010 ).

Problemas relacionados

Sakai, Nara y Urrutia (2005) consideran una variación del problema: dado un polígono convexo K , ¿cuánta de su área puede ser cubierta por n triángulos no superpuestos de igual área dentro de K ? La relación entre el área de la mejor cobertura posible y el área de K se denota t _n ( K ). Si K tiene una n -equidisección, entonces t _n ( K ) = 1; de lo contrario, es menor que 1. Los autores muestran que para un cuadrilátero K , t _n ( K ) ≥ 4 n / (4 n+ 1), con t ₂ ( K ) = 8/9 si y solo si K es afinamente congruente con el trapezoide T (2/3). Para un pentágono, t ₂ ( K ) ≥ 2/3, t ₃ ( K ) ≥ 3/4 y t _n ( K ) ≥ 2 n / (2 n + 1) para n ≥ 5.

Günter M. Ziegler preguntó el problema inverso en 2003: dada una disección de la totalidad de un polígono en n triángulos, ¿qué tan cerca pueden ser iguales las áreas de los triángulos? En particular, ¿cuál es la diferencia más pequeña posible entre las áreas de los triángulos más pequeño y más grande? Sea la diferencia más pequeña M ( n ) para un cuadrado y M ( a , n ) para el trapezoide T ( a ). Entonces M ( n ) es 0 para n par y mayor que 0 para n impar . Mansow (2003) dio el límite superior asintótico M (n ) = O (1 / n ² ) (ver notación Big O ). ^[29] Schulze (2011) mejora el límite a M ( n ) = O (1 / n ³ ) con una mejor disección, y demuestra que existen valores de a para los cuales M ( a , n ) decrece arbitrariamente rápidamente. Labbé, Rote & Ziegler (2018) obtienen un límite superior superpolinomial, derivado de una construcción explícita que utiliza la secuencia Thue-Morse .

Referencias

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Bibliografía

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Fuentes primarias

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enlaces externos

Wikimedia Commons tiene medios relacionados con Equidissections .

El lema de Sperner, el teorema del punto fijo de Brouwer y la subdivisión de cuadrados en triángulos - Notas de Akhil Mathew
Über die Zerlegung eines Quadrats en Dreiecke gleicher Fläche - Notas de Moritz W. Schmitt (idioma alemán)
Mosaico de polígonos por triángulos de igual área - Notas de AlexGhitza
Diseccionar trapezoides en triángulos de igual área - MathOverflow

[FOOTNOTEMonsky1970-1] Monsky, 1970 .

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[FOOTNOTESteinSzabó2008108–109-4] Stein y Szabó 2008 , págs. 108-109.

[FOOTNOTEStein200417-5] Stein , 2004 , p. 17.

[FOOTNOTESteinSzabó2008120-6] Stein y Szabó , 2008 , p. 120.

[FOOTNOTESchulze2011-7] Schulze, 2011 .

[FOOTNOTEMead1979302-8] Mead 1979 , p. 302.

[FOOTNOTESteinSzabó2008126-9] Stein y Szabó 2008 , p. 126.

[FOOTNOTESteinSzabó2008121,_128,_131-10] Stein y Szabó 2008 , págs. 121, 128, 131.

[FOOTNOTEStein200412–20-11] Stein 2004 , págs. 12-20.

[12] Monsky 1990 ; Praton 2002

[FOOTNOTEStein200420-13] Stein 2004 , p. 20.

[FOOTNOTEKasimatis1989-14] Kasimatis 1989 .

[FOOTNOTEMead1979-15] Mead 1979 .

[FOOTNOTESteinSzabó2008122-16] Stein y Szabó 2008 , p. 122.

[FOOTNOTESuDing2003-17] Su y Ding 2003 .

[18] Ver Su & Ding (2003) para declaraciones más precisas de este principio.

[FOOTNOTEHalesStraus198242-19] Hales y Straus 1982 , p. 42.

[FOOTNOTEJepsenMonsky2008-20] Jepsen y Monsky 2008 .

[21] Stein 2004 , p. 21; Jepsen y Monsky 2008 , pág. 3

[FOOTNOTEAignerZiegler2010131-22] Aigner y Ziegler 2010 , p. 131.

[FOOTNOTEThomas1968187-23] Thomas 1968 , p. 187.

[FOOTNOTESteinSzabó2008107-24] Stein y Szabó 2008 , p. 107.

[FOOTNOTESteinSzabó2008108-25] Stein y Szabó , 2008 , p. 108.

[26] Monsky 1970 , p. 251; Bekker y Netsvetaev 1998 , pág. 3492

[FOOTNOTEStein200418-27] Stein 2004 , p. 18.

[28] Su y Ding 2003 ; Du y Ding 2005

[FOOTNOTESchulze20112-29] Schulze , 2011 , p. 2.

[1]