En geometría, un zonogon es un polígono convexo centralmente simétrico . [1] De manera equivalente, es un polígono convexo cuyos lados se pueden agrupar en pares paralelos con longitudes iguales y orientaciones opuestas.
Ejemplos de
Un polígono regular es un zonogon si y solo si tiene un número par de lados. [2] Por lo tanto, el cuadrado, el hexágono regular y el octágono regular son todos zonogonos. Los zonogonos de cuatro lados son el cuadrado, los rectángulos , los rombos y los paralelogramos .
Azulejos y equidisección
Los zonogones de cuatro y seis lados son paralelogones , capaces de enlosar el plano mediante copias traducidas de sí mismos, y todos los paralelogones convexos tienen esta forma. [3]
Cada -el zonogon de lados puede ser embaldosado por Zonogon de cuatro lados. [4] En este mosaico, hay un zonogon de cuatro lados para cada par de pendientes de lados en el-Zonogon de caras. Al menos tres de los vértices del zonogon deben ser vértices de solo uno de los zonogon de cuatro lados en cualquier mosaico de este tipo. [5] Por ejemplo, el octágono regular puede tener dos cuadrados y cuatro rombos de 45 °. [6]
En una generalización del teorema de Monsky , Paul Monsky ( 1990 ) demostró que ningún zonogon tiene una equidisección en un número impar de triángulos de igual área. [7] [8]
Otras propiedades
En un zonogon de lados, como máximo los pares de vértices pueden estar a una distancia unitaria entre sí. Allí existe-Zonogonos de lados con pares unidad-distancia. [9]
Formas relacionadas
Los zonogonos son los análogos bidimensionales de los zonoedros tridimensionales y los zonótopos de dimensiones superiores. Como tal, cada zonogon se puede generar como la suma de Minkowski de una colección de segmentos de línea en el plano. [1] Si no hay dos de los segmentos de línea generadores paralelos, habrá un par de bordes paralelos para cada segmento de línea. Cada cara de un zonoedro es un zonogon, y cada zonogon es la cara de al menos un zonoedro, el prisma sobre ese zonogon. Además, cada sección transversal plana a través del centro de un poliedro simétrico centralmente (como un zonoedro) es un zonogon.
Referencias
- ↑ a b Boltyanski, Vladimir; Martini, Horst; Soltan, PS (2012), Excursiones en geometría combinatoria , Springer, p. 319, ISBN 9783642592379
- ^ Young, John Wesley; Schwartz, Albert John (1915), Geometría plana , H. Holt, pág. 121,
si un polígono regular tiene un número par de lados, su centro es un centro de simetría del polígono
- ^ Alexandrov, AD (2005), Convex Polyhedra , Springer, pág. 351 , ISBN 9783540231585
- ^ Beck, József (2014), Aproximación diofántica probabilística: Aleatoriedad en el conteo de puntos de celosía , Springer, p. 28, ISBN 9783319107417
- ^ Andreescu, Titu; Feng, Zuming (2000), Olimpíadas de matemáticas 1998-1999: Problemas y soluciones de todo el mundo , Cambridge University Press, p. 125, ISBN 9780883858035
- ^ Frederickson, Greg N. (1997), Disecciones: plano y fantasía , Cambridge University Press, Cambridge, p. 10 , doi : 10.1017 / CBO9780511574917 , ISBN 978-0-521-57197-5, MR 1735254
- ^ Monsky, Paul (1990), "Una conjetura de Stein sobre disecciones planas", Mathematische Zeitschrift , 205 (4): 583–592, doi : 10.1007 / BF02571264 , MR 1082876 CS1 maint: parámetro desalentado ( enlace )
- ^ Stein, Sherman ; Szabó, Sandor (1994), Algebra and Tiling: Homomorphisms in the Service of Geometry , Carus Mathematical Monographs, 25 , Cambridge University Press, p. 130 , ISBN 9780883850282
- ^ Ábrego, Bernardo M .; Fernández-Merchant, Silvia (2002), "El problema de la distancia unitaria para polígonos convexos centralmente simétricos", Geometría discreta y computacional , 28 (4): 467–473, doi : 10.1007 / s00454-002-2882-5 , MR 1949894