Relación de equivalencia

En matemáticas , una relación de equivalencia es una relación binaria reflexiva , simétrica y transitiva . La relación es igual a es el ejemplo canónico de una relación de equivalencia.

Cada relación de equivalencia proporciona una partición del conjunto subyacente en clases de equivalencia disjuntas . Dos elementos del conjunto dado son equivalentes entre sí si y solo si pertenecen a la misma clase de equivalencia.

En la literatura se utilizan diversas notaciones para denotar que dos elementos y de un conjunto son equivalentes con respecto a una relación de equivalencia, las más comunes son " " y " a ≡ b ", que se utilizan cuando es implícito, y variaciones de " ", " a ≡ _R b ", o " " para especificar explícitamente. La no equivalencia se puede escribir " a ≁ b " o " ".${\ estilo de visualización a}$${\ estilo de visualización b}$${\ estilo de visualización R;}$${\ estilo de visualización a \ sim b}$${\ estilo de visualización R}$${\ estilo de visualización a \ sim _ {R} b}$ ${\displaystyle {a\mahop {R} b}}$${\ estilo de visualización R}$${\displaystyle a\no \equiv b}$

Se dice que una relación binaria sobre un conjunto es una relación de equivalencia si y solo si es reflexiva, simétrica y transitiva. Es decir, para todos y en${\ estilo de visualización \, \ sim \,}$${\ estilo de visualización X}$${\ estilo de visualización a, b,}$${\ estilo de visualización c}$${\ estilo de visualización X:}$

${\ estilo de visualización X}$junto con la relación se llama setoide . La clase de equivalencia de debajo denotada se define como ^{[1] [2]}${\ estilo de visualización \, \ sim \,}$${\ estilo de visualización a}$${\ estilo de visualización \, \ sim,}$${\ estilo de visualización [a],}$${\displaystyle [a]=\{x\in X:x\sim a\}.}$

En el conjunto , la relación es una relación de equivalencia. Los siguientes conjuntos son clases de equivalencia de esta relación:${\displaystyle X=\{a,b,c\}}$${\displaystyle R=\{(a,a),(b,b),(c,c),(b,c),(c,b)\}}$

Las 52 relaciones de equivalencia en un conjunto de 5 elementos representadas como matrices lógicas (los campos coloreados, incluidos los de color gris claro, representan unos; los campos blancos representan ceros). Los índices de fila y columna de las celdas no blancas son los elementos relacionados, mientras que los diferentes los colores, distintos del gris claro, indican las clases de equivalencia (cada celda gris claro es su propia clase de equivalencia).${\ estilo de visualización 5 \ veces 5}$