En matemáticas , específicamente en la teoría de módulos , dado un anillo R y R - módulos M con un submódulo N , se dice que el módulo M es una extensión esencial de N (o se dice que N es un submódulo esencial o un submódulo grande de M ) si para cada submódulo H de M ,
- implica que
Como caso especial, un ideales esenciales izquierda de R es un ideal por la izquierda que es esencial como un sub-módulo de la izquierda del módulo R R . El ideal izquierda tiene no cero intersección con cualquier no-cero ideales izquierda de R . De forma análoga, y ideales esenciales derecha es exactamente un submódulo esencial del derecho R módulo R R .
Las notaciones habituales para extensiones esenciales incluyen las siguientes dos expresiones:
- ( Lam 1999 ) y ( Anderson y Fuller 1992 )
La noción dual de un submódulo esencial es la de submódulo superfluo (o submódulo pequeño ). Un submódulo N es superfluo si para cualquier otro submódulo H ,
- implica que .
Las notaciones habituales para submódulos superfluos incluyen:
- ( Lam 1999 ) y ( Anderson y Fuller 1992 )
Propiedades
Estas son algunas de las propiedades elementales de las extensiones esenciales, dadas en la notación introducida anteriormente. Sea M un módulo y K , N y H submódulos de M con K norte
- Claramente, M es un submódulo esencial de M , y el submódulo cero de un módulo distinto de cero nunca es esencial.
- si y solo si y
- si y solo si y
Usando el Lema de Zorn es posible probar otro hecho útil: para cualquier submódulo N de M , existe un submódulo C tal que
- .
Además, un módulo sin una extensión esencial adecuada (es decir, si el módulo es esencial en otro módulo, entonces es igual a ese módulo) es un módulo inyectivo . A continuación, es posible demostrar que cada módulo M tiene una extensión máxima esencial E ( M ), llamado el casco inyectiva de M . El casco inyectivo es necesariamente un módulo inyectivo y es único hasta el isomorfismo. El casco inyectivo también es mínimo en el sentido de que cualquier otro módulo inyectivo que contenga M contiene una copia de E ( M ).
Muchas propiedades se dualizan en submódulos superfluos, pero no todo. De nuevo, sea M un módulo, y K , N y H sean submódulos de M con K N .
- El submódulo cero es siempre superfluo, y un módulo M distinto de cero nunca es superfluo en sí mismo.
- si y solo si y
- si y solo si y .
Dado que cada módulo puede mapearse a través de un monomorfismo cuya imagen es esencial en un módulo inyectivo (su casco inyectivo), uno podría preguntarse si el enunciado dual es verdadero, es decir, para cada módulo M , ¿existe un módulo proyectivo P y un epimorfismo de P? en M cuyo núcleo es superfluo? (Tal P se llama cobertura proyectiva ). La respuesta es " No " en general, y la clase especial de anillos cuyos módulos derechos tienen cubiertas proyectivas es la clase de anillos perfectos correctos .
Una forma de lema de Nakayama es que J ( R ) M es un submódulo superfluo de M cuando M es un módulo de tipo finito-over R .
Generalización
Esta definición se puede generalizar a una categoría C abeliana arbitraria . Una extensión esencial es un monomorfismo u : M → E tal que para cada subobjeto s distinto de cero : N → E , el producto de fibra N × E M ≠ 0.
En una categoría general, un morfismo f : X → Y es esencial si cualquier morfismo g : Y → Z es un monomorfismo si y solo si g ° f es un monomorfismo ( Porst 1981 , Introducción). Tomar g como el morfismo de identidad de Y muestra que un morfismo esencial f debe ser un monomorfismo.
Si X tiene un casco inyectivo Y , entonces Y es la extensión esencial más grande de X ( Porst 1981 , Introducción ( v )). Pero la extensión esencial más grande puede no ser un casco inyectable. De hecho, en la categoría de espacios T 1 y mapas continuos, cada objeto tiene una extensión esencial única más grande, pero ningún espacio con más de un elemento tiene un casco inyectivo ( Hoffmann 1981 ).
Ver también
- Los submódulos densos son un tipo especial de submódulo esencial
Referencias
- Anderson, FW; Fuller, KR (1992), Anillos y categorías de módulos , Textos de posgrado en matemáticas , 13 (2a ed.), Springer-Verlag, ISBN 3-540-97845-3
- David Eisenbud , álgebra conmutativa con miras a la geometría algebraicaISBN 0-387-94269-6
- Hoffmann, Rudolf-E. (1981), "Extensiones esenciales de los espacios T 1 ", Canadian Mathematical Bulletin , 24 (2): 237-240
- Lam, Tsit-Yuen (1999), Conferencias sobre módulos y anillos , Textos de posgrado en matemáticas No. 189, Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-98428-5, MR 1653294
- Mitchell, Barry (1965). Teoría de categorías . Matemática pura y aplicada. 17 . Prensa académica. ISBN 978-0-124-99250-4. Señor 0202787 . Sección III.2
- Porst, Hans-E. (1981), "Caracterización de envolturas inyectables", Cahiers de topologie et géométrie différentielle catégoriques , 22 (4): 399–406