En el área del álgebra abstracta conocida como teoría de anillos , un anillo perfecto izquierdo es un tipo de anillo en el que todos los módulos de la izquierda tienen cubiertas proyectivas . El caso de la derecha se define por analogía y la condición no es simétrica de izquierda a derecha; es decir, existen anillos que son perfectos en un lado pero no en el otro. Los anillos perfectos se introdujeron en ( Bass 1960 ).
Un anillo semiperfecto es un anillo sobre el cual cada módulo izquierdo finamente generado tiene una cubierta proyectiva. Esta propiedad es simétrica de izquierda a derecha.
Anillo perfecto
Definiciones
Las siguientes definiciones equivalentes de un anillo perfecto a la izquierda R se encuentran en ( Anderson, Fuller y 1992, p.315 ) :
- Cada módulo R izquierdo tiene una cubierta proyectiva.
- R / J ( R ) es semisimple y J ( R ) se deja T-nilpotente (es decir, para cada secuencia infinita de elementos de J ( R ) hay una n tal que el producto de los primeros n términos es cero), donde J ( R ) es el radical Jacobson de R .
- ( Teorema de Bass P ) R satisface la condición de cadena descendente en los ideales rectos principales. (No hay error; esta condición en los ideales principales de la derecha es equivalente a que el anillo quede perfecto).
- Cada módulo R plano izquierdo es proyectivo .
- R / J ( R ) es semisimple y cada módulo R izquierdo distinto de cero contiene un submódulo máximo .
- R no contiene un conjunto ortogonal infinito de idempotentes , y cada módulo R derecho distinto de cero contiene un submódulo mínimo.
Ejemplos de
- Se sabe que los anillos artinianos derechos o izquierdos y los anillos semiprimarios son perfectos a derecha e izquierda.
- El siguiente es un ejemplo (debido a Bass) de un anillo local que es perfecto a la derecha pero no a la izquierda. Deje que F sea un campo, y considerar un cierto anillo de infinitas matrices de más de F .
- Tome el conjunto de matrices infinitas con entradas indexadas por ℕ × ℕ, y que solo tienen un número finito de entradas distintas de cero, todas ellas por encima de la diagonal, y denote este conjunto por . También toma la matriz con todos unos en la diagonal, y forma el conjunto
- Se puede demostrar que R es un anillo con la identidad, cuyo radical Jacobson es J . Además, R / J es un campo, por lo que R es local y R es perfecto a la derecha pero no a la izquierda. ( Lam y 2001, p . 345-346 )
Propiedades
Para un anillo perfecto izquierdo R :
- De las equivalencias anteriores, cada módulo R izquierdo tiene un submódulo máximo y una cubierta proyectiva, y los módulos R planos izquierdos coinciden con los módulos izquierdos proyectivos.
- Un análogo del criterio de Baer es válido para los módulos proyectivos. [ cita requerida ]
Anillo semiperfecto
Definición
Sea R el anillo. Entonces R es semiperfecto si se cumple alguna de las siguientes condiciones equivalentes:
- R / J ( R ) es semisimple y idempotentes levantar modulo J ( R ), donde J ( R ) es el radical Jacobson de R .
- R tiene un conjunto ortogonal completo e 1 , ..., e n de idempotentes con cada e i R e i un anillo local .
- Cada módulo R simple izquierdo (derecho) tiene una cubierta proyectiva .
- Cada módulo R izquierdo (derecho) generado de forma finita tiene una cubierta proyectiva.
- La categoría de proyectiva generada finitamente -módulos es Krull-Schmidt .
Ejemplos de
Ejemplos de anillos semiperfectos incluyen:
- Anillos perfectos a la izquierda (derecha).
- Anillos locales .
- Teorema de Kaplansky sobre módulos proyectivos
- Anillos artinianos a la izquierda (derecha) .
- Dimensional Finite k -álgebras .
Propiedades
Dado que un anillo R es semiperfecto si cada módulo R izquierdo simple tiene una cubierta proyectiva, cada anillo Morita equivalente a un anillo semiperfecto también es semiperfecto.
Referencias
- Anderson, Frank W; Batán; Kent R (1992), Anillos y categorías de módulos , Springer, págs. 312–322, ISBN 0-387-97845-3
- Bass, Hyman (1960), "Dimensión finitista y una generalización homológica de anillos semiprimarios", Transactions of the American Mathematical Society , 95 (3): 466–488, doi : 10.2307 / 1993568 , ISSN 0002-9947 , JSTOR 1993568 , MR 0157984
- Lam, TY (2001), A first course in non conmutative rings , Graduate Texts in Mathematics, 131 (2 ed.), Nueva York: Springer-Verlag, pp. Xx + 385, doi : 10.1007 / 978-1-4419-8616 -0 , ISBN 0-387-95183-0, Señor 1838439