En matemáticas , la identidad de ocho cuadrados de Degen establece que el producto de dos números, cada uno de los cuales es una suma de ocho cuadrados, es en sí mismo la suma de ocho cuadrados. A saber:
Descubierta por primera vez por Carl Ferdinand Degen alrededor de 1818, la identidad fue redescubierta de forma independiente por John Thomas Graves (1843) y Arthur Cayley (1845). Los dos últimos lo derivaron mientras trabajaban en una extensión de cuaterniones llamados octoniones . En términos algebraicos, la identidad significa que la norma de producto de dos octoniones es igual al producto de sus normas:. Declaraciones similares son verdaderas para los cuaterniones ( la identidad de cuatro cuadrados de Euler ), los números complejos (la identidad de dos cuadrados de Brahmagupta-Fibonacci ) y los números reales. En 1898, Adolf Hurwitz demostró que no existe una identidad bilineal similar para 16 cuadrados ( sedeniones ) o cualquier otro número de cuadrados excepto para 1, 2, 4 y 8. Sin embargo, en la década de 1960, H. Zassenhaus, W. Eichhorn y A. Pfister (independientemente) mostró que puede haber una identidad no bilineal para 16 cuadrados .
Tenga en cuenta que cada cuadrante se reduce a una versión de la identidad de cuatro cuadrados de Euler :
y de manera similar para los otros tres cuadrantes. Según el teorema de Pfister , se puede dar un tipo diferente de identidad de ocho cuadrados donde la, que se presentan a continuación, son funciones no bilineales y meramente racionales de la. Por lo tanto,
dónde,
y,
con,
Por cierto, el obedecer la identidad,