En geometría euclidiana , un cuadrilátero bicéntrico es un cuadrilátero convexo que tiene un círculo y un círculo circunferencial . Los radios y el centro de estos círculos se llaman inradio y circunradio , e incentro y circuncentro, respectivamente. De la definición se deduce que los cuadriláteros bicéntricos tienen todas las propiedades tanto de los cuadriláteros tangenciales como de los cuadriláteros cíclicos . Otros nombres para estos cuadriláteros son cuadrilátero acorde-tangente [1] ycuadrilátero inscrito y circunscrito . También rara vez se le ha llamado un cuadrilátero de círculo doble [2] y un cuadrilátero de doble trazo . [3]
Si dos círculos, uno dentro del otro, son la circunferencia y la circunferencia de un cuadrilátero bicéntrico, entonces cada punto de la circunferencia es el vértice de un cuadrilátero bicéntrico que tiene la misma circunferencia y circunferencia. [4] Este es un corolario del porismo de Poncelet , que fue probado por el matemático francés Jean-Victor Poncelet (1788-1867).
Casos especiales
Ejemplos de cuadriláteros bicéntricos son cuadrados , cometas rectos y trapezoides tangenciales isósceles .
Caracterizaciones
Un cuadrilátero convexo ABCD con lados a , b , c , d es bicéntrico si y solo si los lados opuestos satisfacen el teorema de Pitot para cuadriláteros tangenciales y la propiedad del cuadrilátero cíclico de que los ángulos opuestos son suplementarios ; es decir,
Otras tres caracterizaciones se refieren a los puntos donde el círculo en un cuadrilátero tangencial es tangente a los lados. Si el círculo es tangente a los lados AB , BC , CD , DA en W , X , Y , Z respectivamente, entonces un cuadrilátero tangencial ABCD también es cíclico si y solo si se cumple alguna de las siguientes tres condiciones: [5]
- WY es perpendicular a XZ
El primero de estos tres significa que el cuadrilátero de contacto WXYZ es un cuadrilátero ortodiagonal .
Si E , F , G , H son los puntos medios de WX , XY , YZ , ZW respectivamente, entonces el cuadrilátero tangencial ABCD también es cíclico si y solo si el cuadrilátero EFGH es un rectángulo . [5]
Según otra caracterización, si I es el incentro en un cuadrilátero tangencial donde las extensiones de lados opuestos se cruzan en J y K , entonces el cuadrilátero también es cíclico si y solo si JIK es un ángulo recto . [5]
Otra condición necesaria y suficiente es que un cuadrilátero tangencial ABCD sea cíclico si y solo si su línea de Newton es perpendicular a la línea de Newton de su cuadrilátero de contacto WXYZ . (La línea de Newton de un cuadrilátero es la línea definida por los puntos medios de sus diagonales). [5]
Construcción
Existe un método simple para construir un cuadrilátero bicéntrico:
Comienza con el círculo C r alrededor del centro I con el radio r y luego dibuja dos cuerdas perpendiculares WY y XZ entre sí en el círculo C r . En los puntos finales de los acordes dibujar las tangentes a , b , c y d a la circunferencia inscrita. Estos se cruzan en cuatro puntos A, B, C y D , que son los vértices de un cuadrilátero bicéntrico. [6] Para dibujar el círculo circunferencial, dibuja dos bisectrices perpendiculares p 1 y p 2 en los lados del cuadrilátero bicéntrico a respectivamente b . Las bisectrices perpendiculares p 1 y p 2 se cruzan en el centro O del círculo circunferencial C R con la distancia x al centro I del círculo circular C r . La circunferencia circunscrita puede extraerse alrededor del centro O .
La validez de esta construcción se debe a la caracterización de que, en un cuadrilátero tangencial ABCD , el cuadrilátero de contacto WXYZ tiene diagonales perpendiculares si y solo si el cuadrilátero tangencial también es cíclico .
Área
Fórmulas en términos de cuatro cantidades
El área K de un cuadrilátero bicéntrico se puede expresar en términos de cuatro cantidades del cuadrilátero de varias formas diferentes. Si los lados son a , b , c , d , entonces el área viene dada por [7] [8] [9] [10] [11]
Este es un caso especial de la fórmula de Brahmagupta . También se puede derivar directamente de la fórmula trigonométrica para el área de un cuadrilátero tangencial . Tenga en cuenta que lo contrario no se cumple: algunos cuadriláteros que no son bicéntricos también tienen un área[12] Un ejemplo de tal cuadrilátero es un rectángulo no cuadrado.
El área también se puede expresar en términos de las longitudes de las tangentes e , f , g , h como [8] : p.128
Una fórmula para el área del cuadrilátero bicéntrico ABCD con incentro I es [9]
Si un cuadrilátero bicéntrico tiene cuerdas de tangencia k , ly diagonales p , q , entonces tiene área [8] : p.129
Si k , l son los acordes de tangencia y m , n son los bimedianos del cuadrilátero, entonces el área se puede calcular usando la fórmula [9]
Esta fórmula no se puede utilizar si el cuadrilátero es una cometa derecha , ya que el denominador es cero en ese caso.
Si M y N son los puntos medios de las diagonales, y E y F son los puntos de intersección de las extensiones de lados opuestos, entonces el área de un cuadrilátero bicéntrico está dada por
donde yo es el centro del círculo. [9]
Fórmulas en términos de tres cantidades
El área de un cuadrilátero bicéntrico se puede expresar en términos de dos lados opuestos y el ángulo θ entre las diagonales según [9]
En términos de dos ángulos adyacentes y el radio r del círculo, el área está dada por [9]
El área se da en términos del radio circunferencia R y el radio interno r como
donde θ es cualquier ángulo entre las diagonales. [13]
Si M y N son los puntos medios de las diagonales, y E y F son los puntos de intersección de las extensiones de lados opuestos, entonces el área también se puede expresar como
donde Q es el pie de la perpendicular a la línea EF que pasa por el centro del círculo. [9]
Desigualdades
Si r y R son el radio interno y el radio circunferencial respectivamente, entonces el área K satisface las desigualdades [14]
Hay igualdad en ambos lados solo si el cuadrilátero es un cuadrado .
Otra desigualdad para el área es [15] : p.39, # 1203
donde r y R son el radio interno y el radio circunferencial respectivamente.
Una desigualdad similar que da un límite superior más agudo para el área que el anterior es [13]
con igualdad si y solo si el cuadrilátero es una cometa derecha .
Además, con los lados a, b, c, d y semiperímetro s :
- [15] : p . 39, n.º 1203
- [15] : p . 39, n.º 1203
- [15] : p . 39, n.º 1203
Fórmulas de ángulos
Si a , b , c , d son la longitud de los lados AB , BC , CD , DA respectivamente en un cuadrilátero bicéntrico ABCD , entonces sus ángulos de vértice se pueden calcular con la función tangente : [9]
Usando las mismas notaciones, para las funciones seno y coseno se cumplen las siguientes fórmulas: [16]
El ángulo θ entre las diagonales se puede calcular a partir de [10]
Inradius y circumradius
El radio interno r de un cuadrilátero bicéntrico está determinado por los lados a , b , c , d de acuerdo con [7]
El circunradio R se da como un caso especial de la fórmula de Parameshvara . Es [7]
El radio interno también se puede expresar en términos de las longitudes de tangentes consecutivas e , f , g , h de acuerdo con [17] : p. 41
Estas dos fórmulas son de hecho condiciones necesarias y suficientes para que un cuadrilátero tangencial con un radio r sea cíclico .
Los cuatro lados a , b , c , d de un cuadrilátero bicéntrico son las cuatro soluciones de la ecuación cuártica
donde s es el semiperímetro y r y R son el radio interno y el radio circunferencial, respectivamente. [18] : pág. 754
Si hay un cuadrilátero bicéntrico con un radio r cuyas longitudes de tangente son e , f , g , h , entonces existe un cuadrilátero bicéntrico con un radio r v cuyas longitudes de tangente son e v , f v , g v , h v , donde v puede sea cualquier número real . [19] : págs . 9-10
Un cuadrilátero bicéntrico tiene un radio mayor que cualquier otro cuadrilátero tangencial que tenga la misma secuencia de longitudes de lados. [20] : págs . 392–393
Desigualdades
El circunradio R y el radio interno r satisfacen la desigualdad
que fue probado por L. Fejes Tóth en 1948. [19] Se mantiene con igualdad sólo cuando los dos círculos son concéntricos (tienen el mismo centro entre sí); entonces el cuadrilátero es un cuadrado . La desigualdad se puede probar de varias formas diferentes, una usando la doble desigualdad para el área de arriba.
Una extensión de la desigualdad anterior es [2] [21] : p. 141
donde hay igualdad en ambos lados si y solo si el cuadrilátero es un cuadrado . [16] : pág. 81
El semiperímetro s de un cuadrilátero bicéntrico satisface [19] : p.13
donde r y R son el radio interno y el radio circunferencial respectivamente.
Además, [15] : p.39, # 1203
y
- [15] : p.62, # 1599
Distancia entre el incentro y el circuncentro
Teorema de Fuss
El teorema de Fuss da una relación entre el inradio r , el circunradio R y la distancia x entre el incentro I y el circuncentro O , para cualquier cuadrilátero bicéntrico. La relación es [1] [11] [22]
o equivalente
Fue derivado por Nicolaus Fuss (1755-1826) en 1792. Resolviendo para x se obtiene
El teorema de Fuss, que es el análogo del teorema de Euler para triángulos para cuadriláteros bicéntricos, dice que si un cuadrilátero es bicéntrico, entonces sus dos círculos asociados están relacionados según las ecuaciones anteriores. De hecho, lo contrario también se cumple: dados dos círculos (uno dentro del otro) con radios R y r y una distancia x entre sus centros que satisfacen la condición del teorema de Fuss, existe un cuadrilátero convexo inscrito en uno de ellos y tangente al otro [23] (y luego, según el teorema de cierre de Poncelet , existen infinitos de ellos).
Aplicando a la expresión del teorema de Fuss para x en términos de r y R es otra forma de obtener la desigualdad mencionada anteriormenteUna generalización es [19] : p.5
La identidad de Carlitz
Otra fórmula para la distancia x entre los centros de la circunferencia inscrita y la circunferencia circunscrita es debido al matemático estadounidense Leonard Carlitz (1907-1999). Afirma que [24]
donde r y R son el radio interno y el radio circunferencial respectivamente, y
donde a , b , c , d son los lados del cuadrilátero bicéntrico.
Desigualdades para las longitudes y los lados de las tangentes
Para las longitudes de tangente e , f , g , h se cumplen las siguientes desigualdades: [19] : p.3
y
donde r es el inradio, R es el circunradio yx es la distancia entre el incentro y el circuncentro. Los lados a , b , c , d satisfacen las desigualdades [19] : p.5
y
Otras propiedades del incentro
El circuncentro , el incentro y la intersección de las diagonales en un cuadrilátero bicéntrico son colineales . [25]
Existe la siguiente igualdad que relaciona las cuatro distancias entre el incentro I y los vértices de un cuadrilátero bicéntrico ABCD : [26]
donde r es el radio interno.
Si P es la intersección de las diagonales en un cuadrilátero bicéntrico ABCD con el incentro I , entonces [27]
Una desigualdad relativa al radio interno r y al radio circunferencial R en un cuadrilátero bicéntrico ABCD es [28]
donde yo es el incentro.
Propiedades de las diagonales
Las longitudes de las diagonales en un cuadrilátero bicéntrico se pueden expresar en términos de los lados o las longitudes tangentes , que son fórmulas que se mantienen en un cuadrilátero cíclico y un cuadrilátero tangencial respectivamente.
En un cuadrilátero bicéntrico con diagonales p y q , la siguiente identidad sostiene: [11]
donde r y R son el radio interno y el radio circunferencial respectivamente. Esta igualdad se puede reescribir como [13]
o, resolviéndolo como una ecuación cuadrática para el producto de las diagonales, en la forma
Una desigualdad para el producto de las diagonales p , q en un cuadrilátero bicéntrico es [14]
donde a , b , c , d son los lados. Esto fue probado por Murray S. Klamkin en 1967.
Cuatro incentros se encuentran en un círculo.
Sea ABCD un cuadrilátero bicéntrico y O el centro de su circunferencia. Luego, los incentros de los cuatro triángulos OAB , OBC , OCD , ODA se encuentran en un círculo. [29]
Ver también
- Polígono bicéntrico
- Cuadrilátero ex-tangencial
Referencias
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