Geometría absoluta
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La geometría absoluta es una geometría basada en un sistema de axiomas para la geometría euclidiana sin el postulado paralelo o cualquiera de sus alternativas. Tradicionalmente, esto ha significado usar solo los primeros cuatro postulados de Euclides , pero como estos no son suficientes como base de la geometría euclidiana , se usan otros sistemas, como los axiomas de Hilbert sin el axioma paralelo. [1] El término fue introducido por János Bolyai en 1832. [2] A veces se lo conoce como geometría neutra , [3] ya que es neutral con respecto al postulado paralelo.
Propiedades
Podría imaginarse que la geometría absoluta es un sistema bastante débil, pero ese no es el caso. De hecho, en los Elementos de Euclides , las primeras 28 Proposiciones y la Proposición 31 evitan el uso del postulado paralelo y, por lo tanto, son válidas en geometría absoluta. También se puede probar en geometría absoluta el teorema del ángulo exterior (un ángulo exterior de un triángulo es mayor que cualquiera de los ángulos remotos), así como el teorema de Saccheri-Legendre , que establece que la suma de las medidas de los ángulos en un triángulo tiene como máximo 180 °. [4]
La Proposición 31 es la construcción de una línea paralela a una línea dada a través de un punto que no está en la línea dada. [5] Como la demostración solo requiere el uso de la Proposición 27 (el Teorema del ángulo interior alternativo), es una construcción válida en geometría absoluta. Más precisamente, dada cualquier línea ly cualquier punto P que no esté en l , hay al menos una línea que pasa por P que es paralela a l . Esto se puede demostrar usando una construcción familiar: dada una línea ly un punto P que no está en l , deje caer la perpendicular m de P al , entonces erigir una perpendicular n a m a través de P . Según el teorema del ángulo interior alterno, l es paralelo an . (Los alternos teorema ángulo que si las líneas de un y b son cortadas por una transversal t de tal manera que hay un par de ángulos alternos congruentes, entonces un y b son paralelos.) La construcción anterior, y el interior teorema ángulo alterno, no dependen del postulado paralelo y, por tanto, son válidas en geometría absoluta. [6]
En geometría absoluta también se puede demostrar que dos líneas perpendiculares a la misma línea no pueden cruzarse [ cita requerida ] (lo que hace que las dos líneas sean paralelas por definición de líneas paralelas), lo que demuestra que los ángulos de la cima de un cuadrilátero de Saccheri no pueden ser obtusos , y que La geometría esférica no es una geometría absoluta.
Relación con otras geometrías
Los teoremas de la geometría absoluta se mantienen en la geometría hiperbólica , que es una geometría no euclidiana , así como en la geometría euclidiana . [7]
La geometría absoluta es inconsistente con la geometría elíptica : en esa teoría, no hay líneas paralelas en absoluto, pero es un teorema de geometría absoluta que las líneas paralelas existen. Sin embargo, es posible modificar el sistema de axiomas para que la geometría absoluta, tal como la define el sistema modificado, incluya geometrías esféricas y elípticas, que no tengan líneas paralelas. [8]
La geometría absoluta es una extensión de la geometría ordenada y, por lo tanto, todos los teoremas de la geometría ordenada se mantienen en la geometría absoluta. Lo contrario no es cierto. La geometría absoluta asume los primeros cuatro axiomas de Euclides (o sus equivalentes), para contrastarlos con la geometría afín , que no asume el tercer y cuarto axiomas de Euclides. (3: "Para describir un círculo con cualquier centro y radio de distancia ", 4: "Que todos los ángulos rectos son iguales entre sí"). La geometría ordenada es una base común tanto de la geometría absoluta como de la afín. [9]
La geometría de la relatividad especial se ha desarrollado a partir de nueve axiomas y once proposiciones de geometría absoluta. [10] [11] Los autores Edwin B. Wilson y Gilbert N. Lewis luego van más allá de la geometría absoluta cuando introducen la rotación hiperbólica como la transformación que relaciona dos marcos de referencia .
Aviones Hilbert
Un avión que satisface de Hilbert de incidencia , betweeness y congruencia axiomas se denomina plano de Hilbert . [12] Los planos de Hilbert son modelos de geometría absoluta. [13]
Incompletitud
La geometría absoluta es un sistema axiomático incompleto , en el sentido de que se pueden agregar axiomas independientes adicionales sin hacer que el sistema de axiomas sea inconsistente. Se puede extender la geometría absoluta agregando diferentes axiomas sobre líneas paralelas y obtener sistemas de axiomas incompatibles pero consistentes, dando lugar a geometría euclidiana o hiperbólica. Por tanto, todo teorema de geometría absoluta es un teorema de geometría hiperbólica y geometría euclidiana. Sin embargo, lo contrario no es cierto.
Ver también
- Geometría afín
- Programa Erlangen
- Fundamentos de la geometría
- Geometría de incidencia
- Geometría no euclidiana
Notas
- ^ Faber 1983 , pág. 131
- ^ En " Apéndice que exhibe la ciencia absoluta del espacio: independiente de la verdad o falsedad del Axioma XI de Euclides (de ninguna manera decidido previamente) " ( Faber 1983 , pág. 161)
- ↑ Greenberg cita a W. Prenowitz y M. Jordan (Greenberg, p. Xvi) por haber usado el término geometría neutra para referirse a esa parte de la geometría euclidiana que no depende del postulado paralelo de Euclides. Dice que la palabra absoluto en geometría absoluta implica engañosamente que todas las demás geometrías dependen de ella.
- ^ Uno ve la incompatibilidad de la geometría absoluta con la geometría elíptica, porque en la última teoría todos los triángulos tienen sumas de ángulos mayores de 180 °.
- ^ Faber 1983 , p. 296
- ^ Greenberg 2007 , p. 163
- ↑ De hecho, la geometría absoluta es de hecho la intersección de la geometría hiperbólica y la geometría euclidiana cuando se consideran conjuntos de proposiciones.
- ^ Ewald, G. (1971), Geometría: Introducción , Wadsworth
- ↑ Coxeter , 1969 , págs. 175–6.
- ^ Edwin B. Wilson y Gilbert N. Lewis (1912) "La variedad espacio-tiempo de la relatividad. La geometría no euclidiana de la mecánica y la electromagnética" Actas de la Academia Estadounidense de Artes y Ciencias 48: 387-507
- ↑ Synthetic Spacetime , un compendio de los axiomas usados y teoremas probados por Wilson y Lewis. Archivado por WebCite
- ^ Hartshorne 2005 , p. 97
- ↑ Greenberg , 2010 , p. 200
Referencias
- Coxeter, HSM (1969), Introducción a la geometría (2a ed.), Nueva York: John Wiley & Sons
- Faber, Richard L. (1983), Fundamentos de la geometría euclidiana y no euclidiana , Nueva York: Marcel Dekker, ISBN 0-8247-1748-1
- Greenberg, Marvin Jay (2007), geometrías euclidianas y no euclidianas: desarrollo e historia (4a ed.), Nueva York: WH Freeman, ISBN 0-7167-9948-0
- Greenberg, Marvin Jay (2010), "Viejos y nuevos resultados en los fundamentos de las geometrías euclidianas y no euclidianas del plano elemental" (PDF) , Asociación Matemática de América mensual , 117 : 198-219
- Hartshorne, Robin (2005), Geometry: Euclid and Beyond , Nueva York: Springer-Verlag, ISBN 0-387-98650-2
- Pambuccain, Victor Axiomatizaciones de geometrías hiperbólicas y absolutas , en: Geometrías no euclidianas (A. Prékopa y E. Molnár, eds.). Volumen memorial de János Bolyai. Artículos de la conferencia internacional sobre geometría hiperbólica, Budapest, Hungría, 6 al 12 de julio de 2002. Nueva York, NY: Springer, 119-153, 2006.
enlaces externos
- Medios relacionados con la geometría absoluta en Wikimedia Commons
- Weisstein, Eric W. "Geometría absoluta" . MathWorld .
- Geometría clásica
