En geometría , el porismo de Poncelet , a veces denominado teorema de cierre de Poncelet , establece que siempre que un polígono está inscrito en una sección cónica y circunscribe otra, el polígono debe ser parte de una familia infinita de polígonos que están inscritos y circunscriben el mismo. dos cónicas. [1] [2] Lleva el nombre del ingeniero y matemático francés Jean-Victor Poncelet , quien escribió sobre él en 1822; sin embargo, el caso triangular fue descubierto significativamente antes, en 1746 por William Chapple . [3]
El porismo de Ponughters puede probarse mediante un argumento que utiliza una curva elíptica , cuyos puntos representan una combinación de una línea tangente a una cónica y un punto de cruce de esa línea con la otra cónica.
Declaración
Sean C y D dos cónicas planas . Si es posible encontrar, para un n > 2 dado , un polígono de n lados que está inscrito simultáneamente en C (lo que significa que todos sus vértices se encuentran en C ) y circunscrito alrededor de D (lo que significa que todos sus bordes son tangentes a D ), entonces es posible encontrar infinitos de ellos. Cada punto de C o D es un vértice o tangencia (respectivamente) de uno de esos polígonos.
Si las cónicas son círculos , los polígonos que están inscritos en un círculo y circunscritos alrededor del otro se denominan polígonos bicéntricos , por lo que este caso especial del porismo de Ponughters puede expresarse de manera más concisa diciendo que cada polígono bicéntrico es parte de una familia infinita de bicéntricos. polígonos con respecto a los mismos dos círculos. [4] : pág. 94
Boceto de prueba
Vea C y D como curvas en el plano proyectivo complejo P 2 . Para simplificar, suponga que C y D se encuentran transversalmente (lo que significa que cada punto de intersección de los dos es un simple cruce). Luego, según el teorema de Bézout , la intersección C ∩ D de las dos curvas consta de cuatro puntos complejos. Para un punto arbitrario d en D , sea ℓ d la recta tangente a D en d . Sea X la subvariedad de C × D que consta de ( c , d ) tal que ℓ d pasa por c . Dado c , el número de d con ( c , d ) ∈ X es 1 si c ∈ C ∩ D y 2 en caso contrario. Por lo tanto, la proyección X → C ≃ P 1 presenta X como una cobertura de grado 2 ramificada por encima de 4 puntos, por lo que X es una curva elíptica (una vez que fijamos un punto base en X ). Dejarserá la involución de X enviando un general ( c , d ) al otro punto ( c , d ′) con la misma primera coordenada. Cualquier involución de una curva elíptica con un punto fijo, cuando se expresa en la ley de grupo, tiene la forma x → p - x para algún p , entoncestiene esta forma. De manera similar, la proyección X → D es un morfismo de grado 2 ramificado sobre los puntos de contacto en D de las cuatro líneas tangentes a C y D , y la involución correspondientetiene la forma x → q - x para algunos q . Así la composiciónes una traducción de X . Si un poder detiene un punto fijo, ese poder debe ser la identidad. Traducido de nuevo al lenguaje de C y D , esto significa que si un punto c ∈ C (equipado con una d correspondiente ) da lugar a una órbita que se cierra (es decir, da un n -gon), entonces también lo hace cada punto. Los casos degenerados en los que C y D no son transversales se siguen de un argumento límite.
Ver también
Referencias
- ^ Weisstein, Eric W. "Porismo de Poncelet". De MathWorld - Un recurso web de Wolfram. http://mathworld.wolfram.com/PonceletsPorism.html
- ^ Rey, Jonathan L. (1994). "Tres problemas en busca de una medida" . Amer. Matemáticas. Mensual . 101 : 609–628. doi : 10.2307 / 2974690 .
- ^ Del Centina, Andrea (2016), "El porismo de Poncelet: una larga historia de descubrimientos renovados, I", Archivo de Historia de las Ciencias Exactas , 70 (1): 1–122, doi : 10.1007 / s00407-015-0163-y , Señor 3437893
- ^ Johnson, Roger A., Geometría euclidiana avanzada , Publicaciones de Dover, 2007 (orig. 1960).
- Bos, HJM ; Kers, C .; Oort, F .; Cuervo, DW "Teorema de cierre de Poncelet". Expositiones Mathematicae 5 (1987), no. 4, 289–364.
enlaces externos
- David Speyer sobre el porismo de Pon
- D. Fuchs, S. Tabachnikov, Mathematical Omnibus: Treinta conferencias sobre matemáticas clásicas
- Applet interactivo de Michael Borcherds que muestra los casos n = 3, 4, 5, 6, 7, 8 (incluidos los casos convexos para n = 7, 8) realizado con GeoGebra .
- Applet interactivo de Michael Borcherds que muestra el porísmo de Poncelet para una elipse general y una parábola realizada con GeoGebra .
- Applet interactivo de Michael Borcherds que muestra el porismo de Poncelet para 2 elipses generales (orden 3) realizado con GeoGebra .
- Applet interactivo de Michael Borcherds que muestra el porismo de Poncelet para 2 elipses generales (orden 5) realizado con GeoGebra .
- Applet interactivo de Michael Borcherds que muestra el porísmo de Poncelet para 2 elipses generales (orden 6) realizado con GeoGebra .
- Applet de Java que muestra el caso exterior para n = 3 en la Universidad Nacional Tsing Hua.
- Artículo sobre el porismo de Poncelet en Mathworld.