En matemáticas , específicamente en topología algebraica , la clase de Euler es una clase característica de paquetes de vectores reales orientados . Al igual que otras clases de características, mide qué tan "retorcido" está el paquete de vectores. En el caso del haz tangente de una variedad suave , generaliza la noción clásica de característica de Euler . Lleva el nombre de Leonhard Euler debido a esto.
A lo largo de este artículo es un paquete de vector real orientado de rango sobre un espacio base .
Definicion formal
La clase Euler es un elemento del grupo de cohomología integral
construido de la siguiente manera. Una orientación de equivale a una elección continua de generador de la cohomología
de cada fibra relativo al complementode cero. Desde el isomorfismo de Thom , esto induce una clase de orientación
en la cohomología de relativo al complemento de la sección cero . Las inclusiones
dónde incluye en como la sección cero, inducir mapas
La clase de Euler e ( E ) es la imagen de u bajo la composición de estos mapas.
Propiedades
La clase de Euler satisface estas propiedades, que son axiomas de una clase característica:
- Functorialidad: Si es otro paquete de vectores reales orientado y es continuo y está cubierto por un mapa que conserva la orientación , luego . En particular,.
- Fórmula de la suma de Whitney : Sies otro conjunto de vectores reales orientados, entonces la clase de Euler de su suma directa viene dada por
- Normalización: Si posee una sección de ninguna parte cero, entonces .
- Orientación: Si es con la orientación opuesta, entonces .
Tenga en cuenta que la "normalización" es una característica distintiva de la clase Euler. La clase Euler obstruye la existencia de una sección que no desaparece en el sentido de que si luego no tiene una sección que no se desvanezca.
También a diferencia de otras clases de características, se concentra en un grado que depende del rango del paquete:. Por el contrario, las clases de Stiefel Whitney vivir en independiente del rango de . Esto refleja el hecho de que la clase de Euler es inestable , como se analiza a continuación.
Locus de desaparición de la sección genérica
La clase de Euler corresponde al lugar de fuga de una sección de de la siguiente manera. Suponer que es un colector liso orientado de dimensión . Dejarser una sección suave que interseque transversalmente la sección cero. Dejar ser el locus cero de . Luegoes una codimensión sub-colector de que representa una clase de homología y es el dual de Poincaré de.
Auto-intersección
Por ejemplo, si es una subvariedad compacta, entonces la clase de Euler del paquete normal de en se identifica naturalmente con la auto-intersección de en .
Relaciones con otros invariantes
En el caso especial en el que el paquete E en cuestión es el paquete tangente de una variedad r- dimensional compacta, orientada, la clase de Euler es un elemento de la cohomología superior de la variedad, que se identifica naturalmente con los números enteros mediante la evaluación de clases de cohomología. en la clase de homología fundamental . Bajo esta identificación, la clase de Euler del paquete tangente es igual a la característica de Euler de la variedad. En el lenguaje de los números característicos , la característica de Euler es el número característico correspondiente a la clase de Euler.
Por tanto, la clase de Euler es una generalización de la característica de Euler a conjuntos de vectores distintos de los conjuntos tangentes. A su vez, la clase de Euler es el arquetipo para otras clases características de paquetes de vectores, en el sentido de que cada clase característica "superior" es igual a la clase de Euler, como sigue.
Modificar por 2 induce un mapa
La imagen de la clase Euler debajo de este mapa es la clase superior Stiefel-Whitney w r ( E ). Uno puede ver esta clase de Stiefel-Whitney como "la clase de Euler, ignorando la orientación".
Cualquier conjunto de vectores complejos E de rango complejo d puede considerarse como un conjunto de vectores reales orientados E de rango real 2 d . La clase Euler de E viene dada por la clase Chern dimensional más alta
Cuadrados para encabezar la clase Pontryagin
La clase Pontryagin se define como la clase Chern de la complexificación de E :.
La complexificación es isomorfo como un paquete orientado a . Comparando las clases de Euler, vemos que
Si el rango r de E es par entonces dónde es la clase pontryagin dimensional superior de.
Inestabilidad
Una clase característica es estable si dónde es un paquete trivial de rango uno. A diferencia de la mayoría de las otras clases de características, la clase de Euler es inestable . De echo,.
La clase de Euler está representada por una clase de cohomología en el espacio de clasificación BSO ( k ) . La inestabilidad de la clase Euler muestra que no es el retroceso de una clase en bajo la inclusión .
Esto se puede ver intuitivamente en que la clase de Euler es una clase cuyo grado depende de la dimensión del paquete (o variedad, si es el paquete tangente): la clase de Euler es un elemento de dónde es la dimensión del paquete, mientras que las otras clases tienen una dimensión fija (por ejemplo, la primera clase Stiefel-Whitney es un elemento de ).
El hecho de que la clase de Euler sea inestable no debe verse como un "defecto": más bien, significa que la clase de Euler "detecta fenómenos inestables". Por ejemplo, el paquete tangente de una esfera de dimensión uniforme es establemente trivial pero no trivial (la inclusión habitual de la esfera tiene un paquete normal trivial, por lo tanto, el paquete tangente de la esfera más un paquete de línea trivial es el paquete tangente del espacio euclidiano, restringido a , que es trivial), por lo tanto, todas las demás clases características desaparecen para la esfera, pero la clase de Euler no desaparece para las esferas pares, lo que proporciona una invariante no trivial.
Ejemplos de
Esferas
La característica de Euler de la n -esfera S n es:
Por lo tanto, no hay una sección que no desaparezca del haz tangente de esferas pares (esto se conoce como el teorema de la bola peluda ). En particular, el paquete tangente de una esfera par no es trivial, es decir,no es una variedad paralelizable y no puede admitir una estructura de grupo de Lie .
Para esferas impares, S 2 n −1 ⊂ R 2 n , una sección de fuga en ninguna parte está dada por
lo que muestra que la clase Euler se desvanece; esto es solo n copias de la sección habitual sobre el círculo.
Como la clase de Euler para una esfera par corresponde a , podemos usar el hecho de que la clase de Euler de una suma de Whitney de dos paquetes es solo el producto de taza de la clase de Euler de los dos paquetes para ver que no hay subconjuntos no triviales del paquete tangente de una esfera par.
Dado que el haz tangente de la esfera es establemente trivial pero no trivial, todas las demás clases características se desvanecen en él, y la clase de Euler es la única clase de cohomología ordinaria que detecta la no trivialidad del haz tangente de esferas: para probar más resultados, uno debe utilizar operaciones de cohomología secundarias o K-teoría .
Circulo
El cilindro es un haz de líneas sobre el círculo, por la proyección natural . Es un haz de líneas trivial, por lo que posee una sección en ninguna parte cero, por lo que su clase de Euler es 0. También es isomorfo al haz tangente del círculo; el hecho de que su clase de Euler sea 0 corresponde al hecho de que la característica de Euler del círculo es 0.
Ver también
Otras clases
Referencias
- Bott, Raoul y Tu, Loring W. (1982). Formas diferenciales en topología algebraica . Springer-Verlag. ISBN 0-387-90613-4.CS1 maint: varios nombres: lista de autores ( enlace )
- Bredon, Glen E. (1993). Topología y geometría . Springer-Verlag. ISBN 0-387-97926-3.
- Milnor, John W .; Stasheff, James D. (1974). Clases de características . Prensa de la Universidad de Princeton. ISBN 0-691-08122-0.