Característica de Euler
En matemáticas , y más específicamente en topología algebraica y combinatoria poliédrica , la característica de Euler (o número de Euler , o característica de Euler-Poincaré ) es un invariante topológico , un número que describe la forma o estructura de un espacio topológico independientemente de su forma. doblado. Comúnmente se denota con ( letra minúscula griega chi ).
La característica de Euler se definió originalmente para los poliedros y se usó para probar varios teoremas sobre ellos, incluida la clasificación de los sólidos platónicos . Se afirmó para los sólidos platónicos en 1537 en un manuscrito inédito de Francesco Maurolico . [1] Leonhard Euler , de quien se nombra el concepto, lo introdujo para los poliedros convexos de manera más general, pero no pudo probar rigurosamente que es una invariante. En las matemáticas modernas, la característica de Euler surge de la homología y, de manera más abstracta, del álgebra homológica .
La característica de Euler se definió clásicamente para las superficies de poliedros, según la fórmula
donde V , E y F son respectivamente los números de vértices (esquinas), aristas y caras en el poliedro dado. La superficie de cualquier poliedro convexo tiene la característica de Euler
Esta ecuación, establecida por Leonhard Euler en 1758, [2] se conoce como fórmula del poliedro de Euler . [3] Corresponde a la característica de Euler de la esfera (es decir, χ = 2), y se aplica de manera idéntica a los poliedros esféricos . A continuación se muestra una ilustración de la fórmula en todos los poliedros platónicos.
Para poliedros regulares, Arthur Cayley deriva una forma modificada de la fórmula de Euler utilizando la densidad D , vértice figura densidad d v , y la densidad de la cara :
