En matemáticas , el n- ésimo número de taxi , típicamente denotado Ta ( n ) o Taxicab ( n ), también llamado n- ésimo número de Hardy-Ramanujan , se define como el número entero más pequeño que se puede expresar como una suma de dos cubos enteros positivos en n formas distintas. El número de taxi más famoso es 1729 = Ta (2) = 1 3 + 12 3 = 9 3 + 10 3 .
El nombre se deriva de una conversación de alrededor de 1919 en la que participaron los matemáticos G. H. Hardy y Srinivasa Ramanujan . Según lo dicho por Hardy:
Recuerdo que una vez fui a verlo [Ramanujan] cuando estaba enfermo en Putney . Yo había viajado en el taxi número 1729 y observé que el número parecía bastante aburrido y que esperaba que no fuera un presagio desfavorable. "No", respondió, "es un número muy interesante; es el número más pequeño expresable como la suma de dos cubos [positivos] de dos formas diferentes". [1] [2]
Historia y definición
El concepto fue mencionado por primera vez en 1657 por Bernard Frénicle de Bessy , quien publicó el número de Hardy-Ramanujan Ta (2) = 1729. Este ejemplo particular de 1729 se hizo famoso a principios del siglo XX por una historia que involucraba a Srinivasa Ramanujan . En 1938, GH Hardy y EM Wright demostraron que tales números existen para todos los enteros positivos n , y su demostración se convierte fácilmente en un programa para generar tales números. Sin embargo, la prueba no afirma en absoluto si los números así generados son los más pequeños posibles y, por lo tanto, no se puede usar para encontrar el valor real de Ta ( n ).
Los números de taxis posteriores a 1729 se encontraron con la ayuda de computadoras. John Leech obtuvo Ta (3) en 1957. E. Rosenstiel, JA Dardis y CR Rosenstiel encontraron Ta (4) en 1989. [3] JA Dardis encontró Ta (5) en 1994 y fue confirmado por David W. Wilson en 1999. . [4] [5] Ta (6) fue anunciado por Uwe Hollerbach en la lista de correo NMBRTHRY el 9 de marzo de 2008, [6] siguiente un documento de 2003 por Calude et al. eso dio un 99% de probabilidad de que el número fuera realmente Ta (6). [7] Los límites superiores para Ta (7) a Ta (12) fueron encontrados por Christian Boyer en 2006. [8]
La restricción de los sumandos a números positivos es necesaria, porque permitir números negativos permite más (y más pequeños) casos de números que se pueden expresar como sumas de cubos de n formas distintas. Se ha introducido el concepto de número de taxi para permitir definiciones alternativas menos restrictivas de esta naturaleza. En cierto sentido, la especificación de dos sumandos y potencias de tres también es restrictiva; un número de taxi generalizado permite que estos valores sean distintos de dos y tres, respectivamente.
Números de taxis conocidos
Hasta ahora, se conocen los siguientes 6 números de taxi:
Límites superiores para los números de taxis
Para los siguientes números de taxis se conocen los límites superiores:
Números de taxi sin cubos
Un problema de taxi más restrictivo requiere que el número de taxi no tenga cubos, lo que significa que no es divisible por ningún cubo que no sea 1 3 . Cuando un número de taxis cubefree T está escrito como T = x 3 + y 3 , los números x y y debe ser relativamente primo. Entre los números de taxi Ta (n) enumerados anteriormente, solo Ta (1) y Ta (2) son números de taxi sin cubos. Paul Vojta (inédito) descubrió el número más pequeño de taxi sin cubos con tres representaciones en 1981 mientras era un estudiante de posgrado. Es
- 15170835645
- = 517 3 + 2468 3
- = 709 3 + 2456 3
- = 1733 3 + 2152 3 .
El número de taxi sin cubos más pequeño con cuatro representaciones fue descubierto por Stuart Gascoigne e independientemente por Duncan Moore en 2003. Es
- 1801049058342701083
- = 92227 3 + 1216500 3
- = 136635 3 + 1216102 3
- = 341995 3 + 1207602 3
- = 600259 3 + 1165884 3
Ver también
Notas
- ^ Citas de GH Hardy, MacTutor Historia de las matemáticas Archivado el 16 de julio de 2012 en la Wayback Machine.
- ^ Silverman, Joseph H. (1993). "Taxis y sumas de dos cubos" . Amer. Matemáticas. Mensual . 100 (4): 331–340. doi : 10.2307 / 2324954 . JSTOR 2324954 .
- ^ Columna de recuento de números, Personal Computer World, página 234, noviembre de 1989
- ^ Columna de recuento de números de Personal Computer World, página 610, febrero de 1995
- ^ "El quinto número de taxi es 48988659276962496" por David W. Wilson
- ^ Archivos de NMBRTHRY - marzo de 2008 (# 10) "El sexto número de taxi es 24153319581254312065344" por Uwe Hollerbach
- ^ CS Calude, E. Calude y MJ Dinneen: ¿Cuál es el valor del taxi (6) ?, Journal of Universal Computer Science , vol. 9 (2003), págs. 1196–1203
- ^ "'Nuevos límites superiores para los números de taxis y taxis" Christian Boyer, Francia, 2006-2008
Referencias
- GH Hardy y EM Wright, Introducción a la teoría de los números , 3ª ed., Oxford University Press, Londres y Nueva York, 1954, Thm. 412.
- J. Leech, Algunas soluciones de ecuaciones diofánticas , Proc. Camb. Phil. Soc. 53, 778–780, 1957.
- E. Rosenstiel, JA Dardis y CR Rosenstiel, Las cuatro soluciones mínimas en números enteros positivos distintos de las ecuaciones diofánticas = x 3 + y 3 = z 3 + w 3 = u 3 + v 3 = m 3 + n 3 , Bull. Inst. Matemáticas. Apl. , 27 (1991) 155-157; SEÑOR1125858 , en línea .
- David W. Wilson, El quinto número de taxi es 48988659276962496 , Journal of Integer Sequences , vol. 2 (1999), en línea . (Wilson desconocía el descubrimiento previo de Ta (5) por JA Dardis en 1994 cuando escribió esto).
- DJ Bernstein, Enumeración de soluciones ap (a) + q (b) = r (c) + s (d) , Mathematics of Computation 70, 233 (2000), 389–394.
- CS Calude, E. Calude y MJ Dinneen: ¿Cuál es el valor de Taxicab (6)? , Revista de Ciencias de la Computación Universal , vol. 9 (2003), pág. 1196–1203
enlaces externos
- Una publicación de 2002 en la lista de correo de Teoría de los números por Randall L.Rathbun
- Grime, James; Bowley, Roger. Harán, Brady (ed.). 1729: Número de taxi o número de Hardy-Ramanujan . Numberphile.
- Taxi y otras matemáticas en Euler
- Singh, Simon . Harán, Brady (ed.). "Números de taxis en Futurama" . Numberphile.