Principio de explosión

"EFQ" vuelve a dirigir aquí. Para la revista literaria de béisbol, consulte Elysian Fields Quarterly .

"Ex falso quodlibet" vuelve a dirigir aquí. Para la forma musical, vea Quodlibet . Para el editor de etiquetas relacionado y el organizador de la biblioteca, consulte Ex Falso .

Este artículo necesita citas adicionales para su verificación . Por favor, ayuda a mejorar este artículo mediante la adición de citas de fuentes confiables . El material no obtenido puede ser cuestionado y eliminado. Buscar fuentes:  "Principio de explosión"  -  noticias  · periódicos  · libros  · académico  · JSTOR ( agosto de 2020 ) ( Aprenda cómo y cuándo eliminar este mensaje de plantilla )

En la lógica clásica , la lógica intuicionista y sistemas lógicos similares, el principio de explosión ( latín : ex falso [sequitur] quodlibet , 'de la falsedad, cualquier cosa [sigue]'; o ex contradictione [sequitur] quodlibet , 'de la contradicción, cualquier cosa [sigue ] '), o el principio de Pseudo-Scotus , es la ley según la cual cualquier enunciado puede probarse a partir de una contradicción . ^[1] Es decir, una vez que se ha afirmado una contradicción, cualquier proposición (incluidas sus negaciones ) puede inferirse de ella; esto se conoce como explosión deductiva. ^{[2] [3]}

La prueba de este principio fue dada por primera vez por el filósofo francés William of Soissons del siglo XII . ^[4] Debido al principio de explosión, la existencia de una contradicción ( inconsistencia ) en un sistema axiomático formal es desastrosa; dado que cualquier enunciado puede ser probado, trivializa los conceptos de verdad y falsedad. ^[5] A principios del siglo XX, el descubrimiento de contradicciones como la paradoja de Russell en los cimientos de las matemáticas amenazó así toda la estructura de las matemáticas. Matemáticos como Gottlob Frege , Ernst Zermelo , Abraham Fraenkel y Thoralf Skolempuso mucho esfuerzo en revisar la teoría de conjuntos para eliminar estas contradicciones, lo que resultó en la teoría de conjuntos moderna de Zermelo-Fraenkel .

Como demostración del principio, considere dos afirmaciones contradictorias: "Todos los limones son amarillos" y "No todos los limones son amarillos", y suponga que ambas son verdaderas. Si ese es el caso, se puede probar cualquier cosa, por ejemplo, la afirmación de que "los unicornios existen", utilizando el siguiente argumento:

1. Sabemos que "No todos los limones son amarillos", ya que se ha asumido que es cierto.
2. Sabemos que "Todos los limones son amarillos", ya que se ha asumido que es cierto.
3. Por lo tanto, la declaración de dos partes "Todos los limones son amarillos y / o los unicornios existen" también debe ser verdadera, ya que la primera parte "Todos los limones son amarillos" de la declaración de dos partes es verdadera (como se ha supuesto).
4. Sin embargo, dado que sabemos que "No todos los limones son amarillos" (como se ha supuesto), la primera parte es falsa y, por lo tanto, la segunda parte debe ser verdadera para garantizar que la declaración de dos partes sea verdadera, es decir, existen unicornios. .

En una solución diferente a estos problemas, algunos matemáticos han ideado teorías alternativas de la lógica llamadas lógicas paraconsistentes , que eliminan el principio de explosión. ^[5] Estos permiten probar algunas declaraciones contradictorias sin afectar otras pruebas.

Representación simbólica

En lógica simbólica , el principio de explosión se puede expresar esquemáticamente de la siguiente manera:

${\displaystyle P,\lnot P\vdash Q}$ Para cualquier enunciado P y Q , si P y no- P son ambos verdaderos, entonces lógicamente se sigue que Q es verdadero.

Prueba

A continuación se muestra una prueba formal del principio utilizando lógica simbólica

Paso	Proposición	Derivación
1	${\displaystyle P}$	Suposición
2	${\displaystyle \neg P}$	Suposición
3	${\displaystyle P\lor Q}$	Introducción a la disyunción (1)
4	${\displaystyle Q}$	Silogismo disyuntivo (3,2)

Esta es solo la versión simbólica del argumento informal dado en la introducción, que significa "todos los limones son amarillos" y significa "Los unicornios existen". Comenzamos asumiendo que (1) todos los limones son amarillos y que (2) no todos los limones son amarillos. De la proposición de que todos los limones son amarillos, inferimos que (3) o todos los limones son amarillos o existen unicornios. Pero luego de esto y del hecho de que no todos los limones son amarillos, inferimos que (4) los unicornios existen por silogismo disyuntivo.${\displaystyle P}$${\displaystyle Q}$

Argumento semántico

Un argumento alternativo para el principio proviene de la teoría de modelos . Una oración es una consecuencia semántica de un conjunto de oraciones solo si cada modelo de es un modelo de . Sin embargo, no existe un modelo del conjunto contradictorio . A fortiori , no hay un modelo de que no sea un modelo de . Así, de forma vacía, todo modelo de es un modelo de . Por tanto, es una consecuencia semántica de .${\displaystyle P}$${\displaystyle \Gamma }$${\displaystyle \Gamma }$${\displaystyle P}$${\displaystyle (P\wedge \lnot P)}$${\displaystyle (P\wedge \lnot P)}$${\displaystyle Q}$${\displaystyle (P\wedge \lnot P)}$${\displaystyle Q}$${\displaystyle Q}$${\displaystyle (P\wedge \lnot P)}$

Lógica paraconsistente

Se han desarrollado lógicas paraconsistentes que permiten operadores de formación subcontrarios. Los lógicos paraconsistentes de la teoría de modelos a menudo niegan la suposición de que no puede haber un modelo e idean sistemas semánticos en los que existen tales modelos. Alternativamente, rechazan la idea de que las proposiciones puedan clasificarse como verdaderas o falsas. Prueba de la teoría de la lógica paraconsistentes suelen negar la validez de uno de los pasos necesarios para derivar una explosión, que típicamente incluyen silogismo disyuntivo , introducción de la disyunción y reducción al absurdo .${\displaystyle \{\phi ,\lnot \phi \}}$

Uso

El valor metamatemático del principio de explosión es que para cualquier sistema lógico donde este principio se mantenga, cualquier teoría derivada que demuestre ⊥ (o una forma equivalente ) no tiene valor porque todos sus enunciados se convertirían en teoremas , haciendo imposible distinguir la verdad de la falsedad. . Es decir, el principio de explosión es un argumento a favor de la ley de la no contradicción en la lógica clásica, porque sin él todos los enunciados de verdad carecen de sentido. ${\displaystyle \phi \land \lnot \phi }$

La reducción de la fuerza de prueba de las lógicas sin ex falso se discute en lógica mínima .

Ver también

• Consequentia mirabilis - Ley de Clavius
• Dialeísmo : creencia en la existencia de verdaderas contradicciones
• Ley del medio excluido : toda proposición es verdadera o falsa
• Ley de no contradicción : ninguna proposición puede ser tanto verdadera como falsa
• Lógica paraconsistente : una familia de lógicas que se utilizan para abordar las contradicciones.
• Paradoja de la vinculación : una aparente paradoja derivada del principio de explosión.
• Reductio ad absurdum - concluir que una proposición es falsa porque produce una contradicción
• Trivialismo : la creencia de que todas las declaraciones de la forma "P y no P" son verdaderas.

Referencias

1. Carnielli, Walter y João Marcos. [2000] 2001. " Ex contradictione non sequitur quodlibet (PDF) ". Boletín de razonamiento y conocimiento avanzados 1: 89–109. CiteSeer x :  10.1.1.107.70 .
2. Başkent, Can (31 de enero de 2013). "Algunas propiedades topológicas de modelos paraconsistentes". Síntesis . 190 (18): 4023. doi : 10.1007 / s11229-013-0246-8 . S2CID 9276566 . 
3. Carnielli, Walter; Coniglio, Marcelo Esteban (2016). Lógica paraconsistente: consistencia, contradicción y negación . Lógica, epistemología y unidad de la ciencia. 40 . Springer International Publishing . ix. doi : 10.1007 / 978-3-319-33205-5 . ISBN 978-3-319-33203-1.
4. Sacerdote, Graham . 2011. "¿Qué tienen de malo las contradicciones?" En The Law of Non-Contradicton , editado por Priest, Beal y Armor-Garb. Oxford: Clarendon Press. pag. 25.
5. McKubre-Jordens, Maarten (agosto de 2011). "Esto no es una zanahoria: Matemática paraconsistente" . Plus Magazine . Proyecto de Matemáticas del Milenio . Consultado el 14 de enero de 2017 .