Incircunferencias y excircunferencias de un triángulo

En geometría , la circunferencia inscrita o inscrita de un triángulo es la circunferencia más grande contenida en el triángulo; toca (es tangente a) los tres lados. El centro de la circunferencia inscrita es el centro de un triángulo llamado incentro del triángulo . ^[1]

Un círculo excírculo o inscrito ^[2] del triángulo es un círculo que se encuentra fuera del triángulo, tangente a uno de sus lados y tangente a las extensiones de los otros dos . Cada triángulo tiene tres excírculos distintos, cada uno tangente a uno de los lados del triángulo. ^[3]

El centro de la circunferencia inscrita, llamado incentro , se puede encontrar como la intersección de las tres bisectrices de los tres ángulos internos . ^{[3] [4]} El centro de una excircunferencia es la intersección de la bisectriz interna de un ángulo (en el vértice , por ejemplo) y las bisectrices externas de los otros dos. El centro de este excírculo se llama el excentro relativo al vértice , o el excentro de . ^[3] Debido a que la bisectriz interna de un ángulo es perpendicular a su bisectriz externa, se deduce que el centro de la circunferencia junto con los tres centros de la circunferencia forman un sistema ortocéntrico${\ estilo de visualización A}$${\ estilo de visualización A}$${\ estilo de visualización A}$. ^{[5] : pág. 182}

Todos los polígonos regulares tienen incircunferencias tangentes a todos los lados, pero no todos los polígonos las tienen; los que sí son polígonos tangenciales . Véase también Rectas tangentes a circunferencias .

Supongamos que tiene una circunferencia inscrita con radio y centro . Sean la longitud de , la longitud de y la longitud de . También deje que , y sean los puntos de contacto donde el incírculo toca , y .${\ estilo de visualización \ triángulo ABC}$${\ estilo de visualización r}$${\ estilo de visualización yo}$${\displaystyle a}$${\displaystyle BC}$${\displaystyle b}$${\displaystyle AC}$${\displaystyle c}$${\displaystyle AB}$${\displaystyle T_{A}}$${\displaystyle T_{B}}$${\displaystyle T_{C}}$${\displaystyle BC}$${\displaystyle AC}$${\displaystyle AB}$

El incentro es el punto donde se encuentran las bisectrices de los ángulos internos .${\displaystyle \angle ABC,\angle BCA,{\text{ and }}\angle BAC}$

Un triángulo con circunferencia inscrita, incentro ( ), excircunferencias, excéntricas ( , , ), bisectrices de los ángulos internos y bisectrices de los ángulos externos. El triángulo verde es el triángulo excentral.    ${\displaystyle I}$  ${\displaystyle J_{A}}$${\displaystyle J_{B}}$${\displaystyle J_{C}}$      

Un triángulo, , con circunferencia inscrita, incentro ( ), triángulo de contacto ( ) y punto de Gergonne ( )${\displaystyle \triangle ABC}$    ${\displaystyle I}$  ${\displaystyle \triangle T_{A}T_{B}T_{C}}$  ${\displaystyle G_{e}}$

Un triángulo con incircunferencia, incentro ), excircunferencias, excentros ( , , ), bisectrices de ángulos internos y bisectrices de ángulos externos. El triángulo verde es el triángulo excentral.     ${\displaystyle I}$  ${\displaystyle J_{A}}$${\displaystyle J_{B}}$${\displaystyle J_{C}}$      

El triángulo extouch ( ) y el punto de Nagel ( ) de un triángulo ( ). Los círculos naranjas son los excírculos del triángulo.  ${\displaystyle \triangle T_{A}T_{B}T_{C}}$  ${\displaystyle N}$  ${\displaystyle \triangle ABC}$

El círculo de nueve puntos es tangente al incircle y excircles