En geometría , un centro de triángulo (o centro de triángulo ) es un punto en el plano que es en cierto sentido un centro de un triángulo similar a los centros de cuadrados y círculos , es decir, un punto que está en el medio de la figura por alguna medida. Por ejemplo, el centroide , el circuncentro , el incentro y el ortocentro eran familiares para los antiguos griegos y se pueden obtener mediante construcciones simples.
Cada uno de estos centros clásicos tiene la propiedad de ser invariante (más precisamente equivariante ) bajo transformaciones de semejanza . En otras palabras, para cualquier triángulo y cualquier transformación de similitud (como una rotación , reflexión , dilatación o traslación ), el centro del triángulo transformado es el mismo punto que el centro transformado del triángulo original. Esta invariancia es la propiedad definitoria del centro de un triángulo. Descarta otros puntos bien conocidos, como los puntos de Brocard, que no son invariantes bajo la reflexión y, por lo tanto, no califican como centros triangulares.
Todos los centros de un triángulo equilátero coinciden en su centroide, pero generalmente difieren entre sí en triángulos escalenos . Las definiciones y propiedades de miles de centros triangulares se han recopilado en la Enciclopedia de centros triangulares .
Historia
Aunque los antiguos griegos descubrieron los centros clásicos de un triángulo, no habían formulado ninguna definición de centro triangular. Después de los antiguos griegos, se descubrieron varios puntos especiales asociados con un triángulo como el punto Fermat , el centro de nueve puntos , el punto Lemoine , el punto Gergonne y el punto Feuerbach . Durante el resurgimiento del interés por la geometría del triángulo en la década de 1980, se observó que estos puntos especiales comparten algunas propiedades generales que ahora forman la base para una definición formal del centro del triángulo. [1] [2] A partir del 1 de septiembre de 2020[actualizar], La Enciclopedia de centros triangulares de Clark Kimberling contiene una lista anotada de 39.474 centros triangulares. [3]
Definicion formal
Una función f de valor real de tres variables reales a , b , c puede tener las siguientes propiedades:
- Homogeneidad: f ( ta , tb , tc ) = t n f ( a , b , c ) para alguna constante n y para todo t > 0.
- Bisimetría en la segunda y tercera variables: f ( a , b , c ) = f ( a , c , b ).
Si una f distinta de cero tiene estas dos propiedades, se denomina función de centro de triángulo . Si f es una función del centro del triángulo y a , b , c son las longitudes de los lados de un triángulo de referencia, entonces el punto cuyas coordenadas trilineales son f ( a , b , c ): f ( b , c , a ): f ( c , a , b ) se llama centro de triángulo .
Esta definición asegura que los centros de triángulos de triángulos similares cumplan con los criterios de invariancia especificados anteriormente. Por convención, sólo se cita la primera de las tres coordenadas trilineales del centro de un triángulo, ya que las otras dos se obtienen por permutación cíclica de a , b , c . Este proceso se conoce como ciclicidad . [4] [5]
Cada función de centro de triángulo corresponde a un centro de triángulo único. Esta correspondencia no es biyectiva . Diferentes funciones pueden definir el mismo centro triangular. Por ejemplo, las funciones f 1 ( a , b , c ) = 1 / a y f 2 ( a , b , c ) = bc corresponden al centroide. Dos funciones del centro de triángulo definen el mismo centro triángulo si y sólo si su relación es un simétrica función en una , b y c .
Incluso si una función del centro del triángulo está bien definida en todas partes, no siempre se puede decir lo mismo de su centro asociado del triángulo. Por ejemplo, sea f ( a , b , c ) 0 si a / b y a / c son racionales y 1 en caso contrario. Luego, para cualquier triángulo con lados enteros, el centro del triángulo asociado se evalúa como 0: 0: 0, que no está definido.
Dominio predeterminado
En algunos casos, estas funciones no están definidas en el conjunto de ℝ 3 . Por ejemplo los trilinears de X 365 son un medio : b medio : c medio así un , b , c negativo puede no ser. Además, para representar los lados de un triángulo, deben satisfacer la desigualdad del triángulo. Entonces, en la práctica, el dominio de cada función está restringido a la región de ℝ 3 donde a ≤ b + c , b ≤ c + a y c ≤ a + b . Esta región T es el dominio de todos los triángulos y es el dominio predeterminado para todas las funciones basadas en triángulos.
Otros dominios útiles
Hay varios casos en los que puede ser deseable restringir el análisis a un dominio menor que T . Por ejemplo:
- Los centros X 3 , X 4 , X 22 , X 24 , X 40 hacen referencia específica a los triángulos agudos , a
saber , la región de T donde a 2 ≤ b 2 + c 2 , b 2 ≤ c 2 + a 2 , c 2 ≤ a 2 + b 2 . - Al diferenciar entre el punto de Fermat y X 13 es importante el dominio de triángulos con un ángulo superior a 2π / 3, es
decir, triángulos para los que a 2 > b 2 + bc + c 2 o b 2 > c 2 + ca + a 2 o c 2 > a 2 + ab + b 2 . - Un dominio de mucho valor práctico ya que es denso en T pero excluye todos los triángulos triviales (es decir, puntos) y triángulos degenerados
(es decir, líneas) es el conjunto de todos los triángulos escalenos . Se obtiene mediante la eliminación de los planos b = c , c = un , un = b de T .
- Los centros X 3 , X 4 , X 22 , X 24 , X 40 hacen referencia específica a los triángulos agudos , a
Simetría de dominio
No todos los subconjuntos D ⊆ T son un dominio viable. Para soportar la prueba de bisimetría, D debe ser simétrico con respecto a los planos b = c , c = a , a = b . Para soportar la ciclicidad, también debe ser invariante bajo 2π / 3 rotaciones alrededor de la línea a = b = c . El dominio más simple de todos es la línea ( t , t , t ) que corresponde al conjunto de todos los triángulos equiláteros.
Ejemplos de
Circuncentro
El punto de concurrencia de las bisectrices perpendiculares de los lados del triángulo ABC es el circuncentro. Las coordenadas trilineales del circuncentro son
- un ( b 2 + c 2 - un 2 ): b ( c 2 + un 2 - b 2 ): c ( un 2 + b 2 - c 2 ).
Sea f ( a , b , c ) = a ( b 2 + c 2 - a 2 ). Luego
- f ( ta , tb , tc ) = ( ta ) (( tb ) 2 + ( tc ) 2 - ( ta ) 2 ) = t 3 ( a ( b 2 + c 2 - a 2 )) = t 3 f ( a , b , c ) (homogeneidad)
- f ( a , c , b ) = a ( c 2 + b 2 - a 2 ) = a ( b 2 + c 2 - a 2 ) = f ( a , b , c ) (bisimetría)
entonces f es una función del centro del triángulo. Dado que el centro del triángulo correspondiente tiene los mismos trilineales que el circuncentro, se deduce que el circuncentro es un centro del triángulo.
1er centro isogónico
Sea A'BC el triángulo equilátero que tiene la base BC y el vértice A 'en el lado negativo de BC y AB'C y ABC' sean triángulos equiláteros construidos de manera similar basados en los otros dos lados del triángulo ABC. Entonces las líneas AA ', BB' y CC 'son concurrentes y el punto de concurrencia es el primer centro isogonal. Sus coordenadas trilineales son
- csc (A + π / 3): csc (B + π / 3): csc (C + π / 3).
Expresando estas coordenadas en términos de una , b y c , se puede verificar que, efectivamente satisfacen las propiedades definitorias de las coordenadas de un centro de triángulo. Por tanto, el primer centro isogónico es también un centro triangular.
Punto de Fermat
Dejar
Entonces f es bisimétrica y homogénea, por lo que es una función de centro de triángulo. Además, el centro del triángulo correspondiente coincide con el vértice angulado obtuso siempre que cualquier ángulo del vértice exceda 2π / 3, y con el primer centro isogónico en caso contrario. Por tanto, este centro triangular no es otro que el punto de Fermat .
No ejemplos
Puntos Brocard
Las coordenadas trilineales del primer punto de Brocard son c / b : a / c : b / a . Estas coordenadas satisfacen las propiedades de homogeneidad y ciclicidad pero no bisimetría. Entonces, el primer punto de Brocard no es (en general) un centro de triángulo. El segundo punto de Brocard tiene coordenadas trilineales b / c : c / a : a / by se aplican observaciones similares.
El primer y segundo puntos de Brocard son uno de los muchos pares de puntos bicéntricos, [6] pares de puntos definidos a partir de un triángulo con la propiedad de que el par (pero no cada punto individual) se conserva bajo similitudes del triángulo. Varias operaciones binarias, como el punto medio y el producto trilineal, cuando se aplican a los dos puntos de Brocard, así como a otros pares bicéntricos, producen centros de triángulos.
Vectores de posición
Los centros de los triángulos se pueden escribir como
dónde son vectores de posición del centro () y vértices (), y son escalares que producen el centro deseado. Algunas instancias centrales se pueden ver en la siguiente tabla, donde son las longitudes de los lados opuestos a los vértices correspondientes, y es el área del triángulo, calculada por la fórmula de Heron .
En el centro | ||||
Excenter | ||||
Centroide | ||||
Circuncentro | ||||
Ortocentro |
Algunos centros triangulares conocidos
Centros de triángulos clásicos
Referencia de la Enciclopedia de centros triangulares | Nombre | Símbolo estándar | Coordenadas trilineales | Descripción |
---|---|---|---|---|
X 1 | En el centro | I | 1: 1: 1 | Intersección de las bisectrices de los ángulos . Centro del círculo inscrito del triángulo . |
X 2 | Centroide | GRAMO | bc : ca : ab | Intersección de las medianas . Centro de masa de una lámina triangular uniforme . |
X 3 | Circuncentro | O | cos A : cos B : cos C | Intersección de las bisectrices perpendiculares de los lados. Centro del círculo circunscrito del triángulo . |
X 4 | Ortocentro | H | tan A : tan B : tan C | Intersección de las altitudes . |
X 5 | Centro de nueve puntos | norte | cos ( B - C ): cos ( C - A ): cos ( A - B ) | Centro del círculo que pasa por el punto medio de cada lado, el pie de cada altitud y el punto medio entre el ortocentro y cada vértice. |
X 6 | Punto Symmedian | K | a : b : c | Intersección de los simmedianos: la reflexión de cada mediana sobre la bisectriz del ángulo correspondiente. |
X 7 | Punto de Gergonne | G e | bc / ( b + c - a ): ca / ( c + a - b ): ab / ( a + b - c ) | Intersección de las líneas que conectan cada vértice con el punto donde el círculo toca el lado opuesto. |
X 8 | Punta nagel | N a | ( b + c - a ) / a : ( c + a - b ) / b : ( a + b - c ) / c | Intersección de las líneas que conectan cada vértice con el punto donde un círculo toca el lado opuesto. |
X 9 | Mittenpunkt | METRO | b + c - a : c + a - b : a + b - c | Varias definiciones equivalentes. |
X 10 | Centro Spieker | S p | bc ( b + c ): ca ( c + a ): ab ( a + b ) | Incentro del triángulo medial. Centro de masa de una estructura alámbrica triangular uniforme. |
X 11 | Punto de Feuerbach | F | 1 - cos ( B - C ): 1 - cos ( C - A ): 1 - cos ( A - B ) | Punto en el que el círculo de nueve puntos es tangente al círculo. |
X 13 | Punto de Fermat | X | csc ( A + π / 3): csc ( B + π / 3): csc ( C + π / 3) * | Punto que es la suma más pequeña posible de distancias desde los vértices. |
X 15 X 16 | Puntos isodinámicos | S S ′ | sin ( A + π / 3): sin ( B + π / 3): sin ( C + π / 3) sin ( A - π / 3): sin ( B - π / 3): sin ( C - π / 3) | Centros de inversión que transforman el triángulo en un triángulo equilátero. |
X 17 X 18 | Puntos de Napoleón | N N ′ | seg ( A - π / 3): seg ( B - π / 3): seg ( C - π / 3) seg ( A + π / 3): seg ( B + π / 3): seg ( C + π / 3) | Intersección de las líneas que conectan cada vértice con el centro de un triángulo equilátero apuntando hacia afuera (primer punto de Napoleón) o hacia adentro (segundo punto de Napoleón), montado en el lado opuesto. |
X 99 | Punto de Steiner | S | bc / ( b 2 - c 2 ): ca / ( c 2 - a 2 ): ab / ( a 2 - b 2 ) | Varias definiciones equivalentes. |
(*): en realidad el primer centro isogónico, pero también el punto de Fermat siempre que A , B , C ≤ 2π / 3
Centros triangulares recientes
En la siguiente tabla de centros de triángulos más recientes, no se mencionan notaciones específicas para los diversos puntos. Además, para cada centro solo se especifica la primera coordenada trilineal f (a, b, c). Las otras coordenadas se pueden derivar fácilmente utilizando la propiedad de ciclicidad de las coordenadas trilineales.
Referencia de la Enciclopedia de centros triangulares | Nombre | Función central f (a, b, c) | Año descrito |
---|---|---|---|
X 21 | Punto de Schiffler | 1 / (cos B + cos C ) | 1985 |
X 22 | Punto de Exeter | a ( segundo 4 + c 4 - a 4 ) | 1986 |
X 111 | Punto de parada | a / (2 a 2 - b 2 - c 2 ) | principios de la década de 1990 |
X 173 | Punto de isoscelizadores congruentes | bronceado ( A / 2) + seg ( A / 2) | 1989 |
X 174 | Yff centro de congruencia | seg ( A / 2) | 1987 |
X 175 | Punto isoperimétrico | - 1 + seg ( A / 2) cos ( B / 2) cos ( C / 2) | 1985 |
X 179 | Primer punto Ajima-Malfatti | seg 4 ( A / 4) | |
X 181 | Punto de Apolonio | a ( b + c ) 2 / ( b + c - a ) | 1987 |
X 192 | Punto de paralelos iguales | bc ( ca + ab - bc ) | 1961 |
X 356 | Centro Morley | cos ( A / 3) + 2 cos ( B / 3) cos ( C / 3) | |
X 360 | Punto cero de Hofstadter | A / a | 1992 |
Clases generales de centros triangulares
Centro de Kimberling
En honor a Clark Kimberling, quien creó la enciclopedia en línea de más de 32,000 centros de triángulos, los centros de triángulos enumerados en la enciclopedia se denominan colectivamente centros de Kimberling . [7]
Centro del triángulo polinomial
Un centro de triángulo P se denomina un centro de triángulo polinomio si las coordenadas trilineales de P pueden ser expresados como polinomios en una , b y c .
Centro de triángulo regular
Un centro de triángulo P se denomina un punto de triángulo regular de si las coordenadas trilineales de P pueden ser expresados como polinomios en Δ, un , b y c , donde Δ es el área del triángulo.
Centro del triángulo mayor
Se dice que un centro de triángulo P es un centro de triángulo mayor si las coordenadas trilineales de P se pueden expresar en la forma f (A): f (B): f (C) donde f (A) es una función del ángulo A solo y no depende de los otros ángulos o de las longitudes de los lados. [8]
Centro del triángulo trascendental
Un centro de triángulo P se llama centro de triángulo trascendental si P no tiene representación trilineal usando solo funciones algebraicas de a, by c.
Diverso
Isósceles y triángulos equiláteros
Sea f una función del centro del triángulo. Si dos lados de un triángulo son iguales (digamos a = b ) entonces
(ya que a = b )
(por bisimetría)
por lo que dos componentes del centro del triángulo asociado son siempre iguales. Por lo tanto, todos los centros de un triángulo isósceles deben estar en su eje de simetría. Para un triángulo equilátero, los tres componentes son iguales, por lo que todos los centros coinciden con el centroide. Entonces, como un círculo, un triángulo equilátero tiene un centro único.
Excenters
Dejar
Esto se ve fácilmente como una función del centro del triángulo y (siempre que el triángulo sea escaleno) el centro del triángulo correspondiente es el excedente opuesto al ángulo del vértice más grande. Los otros dos excitadores pueden seleccionarse mediante funciones similares. Sin embargo, como se indicó anteriormente, sólo uno de los excitantes de un triángulo isósceles y ninguno de los excitantes de un triángulo equilátero puede ser nunca un centro de triángulo.
Funciones biantisimétricas
Una función f es biantisimétrica si f ( a , b , c ) = - f ( a , c , b ) para todo a , b , c . Si dicha función también es distinta de cero y homogénea, se ve fácilmente que el mapeo (a, b, c) → f ( a , b , c ) 2 f ( b , c , a ) f ( c , a , b ) es una función del centro del triángulo. El centro del triángulo correspondiente es f ( a , b , c ): f ( b , c , a ): f ( c , a , b ). Debido a esto, a veces se considera que la definición de función del centro del triángulo incluye funciones biantisimétricas homogéneas distintas de cero.
Nuevos centros de viejos
Cualquier función de centro de triángulo f se puede normalizar multiplicándola por una función simétrica de a , b , c de modo que n = 0. Una función de centro de triángulo normalizada tiene el mismo centro de triángulo que la original, y también la propiedad más fuerte que f ( ta , tb , tc ) = f ( a , b , c ) para todo t > 0 y todo ( a , b , c ). Junto con la función cero, las funciones del centro del triángulo normalizadas forman un álgebra bajo la suma, la resta y la multiplicación. Esto proporciona una forma sencilla de crear nuevos centros de triángulos. Sin embargo, las distintas funciones normalizadas del centro del triángulo a menudo definirán el mismo centro del triángulo, por ejemplo f y ( abc ) −1 ( a + b + c ) 3 f .
Centros poco interesantes
Suponga que a , b , c son variables reales y sean α, β, γ tres constantes reales cualesquiera. Dejar
Entonces f es una función del centro del triángulo y α: β: γ es el centro del triángulo correspondiente siempre que los lados del triángulo de referencia estén etiquetados de modo que a < b < c . Por tanto, cada punto es potencialmente un centro triangular. Sin embargo, la gran mayoría de los centros de los triángulos son de poco interés, al igual que la mayoría de las funciones continuas tienen poco interés.
Coordenadas baricéntricas
Si f es una función del centro del triángulo, entonces también lo es af y el centro del triángulo correspondiente es af ( a , b , c ): bf ( b , c , a ): cf ( c , a , b ). Dado que estas son precisamente las coordenadas baricéntricas del centro del triángulo correspondiente af, se deduce que los centros de los triángulos podrían haberse definido igualmente bien en términos de baricéntricos en lugar de trilineales. En la práctica, no es difícil cambiar de un sistema de coordenadas a otro.
Sistemas binarios
Hay otros pares de centros además del punto de Fermat y el primer centro isogónico. Otro sistema está formado por X 3 y el incentro del triángulo tangencial. Considere la función del centro del triángulo dada por:
Para el centro del triángulo correspondiente hay cuatro posibilidades distintas:
- cos ( A ): cos ( B ): cos ( C ) si el triángulo de referencia es agudo (también es el circuncentro).
- [cos ( A ) + sec ( B ) sec ( C )]: [cos ( B ) - sec ( B )]: [cos ( C ) - sec ( C )] si el ángulo en A es obtuso.
- [cos ( A ) - sec ( A )]: [cos ( B ) + sec ( C ) sec ( A )]: [cos ( C ) - sec ( C )] si el ángulo en B es obtuso.
- [cos ( A ) - sec ( A )]: [cos ( B ) - sec ( B )]: [cos ( C ) + sec ( A ) sec ( B )] si el ángulo en C es obtuso.
El cálculo de rutina muestra que en todos los casos estos trilineales representan el incentro del triángulo tangencial. Entonces, este punto es un centro triangular que es un compañero cercano del circuncentro.
Bisimetría e invariancia
Reflejar un triángulo invierte el orden de sus lados. En la imagen, las coordenadas se refieren al triángulo ( c , b , a ) y (usando "|" como separador) la reflexión de un punto arbitrario α: β: γ es γ | β | α. Si f es una función del centro del triángulo, la reflexión de su centro del triángulo es f ( c , a , b ) | f ( b , c , a ) | f ( a , b , c ) que, por bisimetría, es lo mismo que f ( c , b , a ) | f ( b , a , c ) | f ( a , c , b ). Como este es también el centro del triángulo correspondiente af en relación con el triángulo ( c , b , a ), la bisimetría asegura que todos los centros del triángulo sean invariantes bajo la reflexión. Dado que las rotaciones y traslaciones pueden considerarse reflejos dobles, también deben preservar los centros de los triángulos. Estas propiedades de invariancia proporcionan una justificación para la definición.
Terminología alternativa
Algunos otros nombres para la dilatación son una escala uniforme , escala isotrópica , homotecia , y homotecia .
Geometrías no euclidianas y otras
El estudio de los centros de los triángulos tradicionalmente se ocupa de la geometría euclidiana , pero los centros de los triángulos también se pueden estudiar en la geometría no euclidiana . [9] Los centros de triángulos esféricos se pueden definir mediante trigonometría esférica . [10] Los centros de triángulos que tienen la misma forma tanto para la geometría euclidiana como para la hiperbólica se pueden expresar mediante girotrigonometría . [11] [12] [13] En geometría no euclidiana, debe descartarse la suposición de que los ángulos interiores del triángulo suman 180 grados.
También se pueden definir centros de tetraedros o simplices de dimensiones superiores , por analogía con triángulos bidimensionales. [13]
Algunos centros pueden extenderse a polígonos con más de tres lados. El centroide , por ejemplo, se puede encontrar para cualquier polígono. Se han realizado algunas investigaciones en los centros de polígonos con más de tres lados. [14] [15]
Ver también
- Línea central
- Enciclopedia de centros triangulares
Notas
- ^ Kimberling, Clark . "Centros triangulares" . Consultado el 23 de mayo de 2009 .
A diferencia de los cuadrados y los círculos, los triángulos tienen muchos centros. Los antiguos griegos encontraron cuatro: incentro, centroide, circuncentro y ortocentro. Un quinto centro, encontrado mucho más tarde, es el punto de Fermat. A partir de entonces, los puntos ahora llamados centro de nueve puntos, punto simmediano, punto de Gergonne y punto de Feuerbach, por nombrar algunos, se agregaron a la literatura. En la década de 1980, se notó que estos puntos especiales comparten algunas propiedades generales que ahora forman la base para una definición formal del centro del triángulo.
- ^ Kimberling, Clark (11 de abril de 2018) [1994]. "Puntos centrales y líneas centrales en el plano de un triángulo". Revista de Matemáticas . 67 (3): 163–187. doi : 10.2307 / 2690608 . JSTOR 2690608 .
- ^ Kimberling, Clark . "Esta es la PARTE 20: Centros X (38001) - X (40000)" . Enciclopedia de centros triangulares .
- ^ Weisstein, Eric W . "Centro del triángulo" . MathWorld: un recurso web de Wolfram . Consultado el 25 de mayo de 2009 .
- ^ Weisstein, Eric W. "Función del centro del triángulo" . MathWorld: un recurso web de Wolfram . Consultado el 1 de julio de 2009 .
- ^ Pares de puntos bicéntricos , Enciclopedia de centros triangulares, consultado el 2 de mayo de 2012
- ^ Weisstein, Eric W. "Centro de Kimberling" . MathWorld: un recurso web de Wolfram . Consultado el 25 de mayo de 2009 .
- ^ Weisstein, Eric W. "Centro del triángulo mayor" . MathWorld: un recurso web de Wolfram . Consultado el 25 de mayo de 2009 .
- ^ Russell, Robert A. (18 de abril de 2019). "Centros triangulares no euclidianos". arXiv : 1608.08190 [ math.MG ].
- ^ Rob, Johnson. "Trigonometría esférica" (PDF) . Cite journal requiere
|journal=
( ayuda ) - ^ Coordenadas baricéntricas hiperbólicas , Abraham A. Ungar, The Australian Journal of Mathematical Analysis and Applications, AJMAA, Volumen 6, Número 1, Artículo 18, págs. 1-35, 2009
- ^ Centros de triángulos hiperbólicos: el enfoque relativista especial , Abraham Ungar, Springer, 2010
- ^ a b Cálculo baricéntrico en geometría euclidiana e hiperbólica: una introducción comparativa , Abraham Ungar, World Scientific, 2010 [ enlace muerto ]
- ^ Al-Sharif, Abdullah; Hajja, Mowaffaq; Krasopoulos, Panagiotis T. (noviembre de 2009). "Coincidencias de centros de cuadriláteros planos" . Resultados en Matemáticas . 55 (3–4): 231–247. doi : 10.1007 / s00025-009-0417-6 . ISSN 1422-6383 . S2CID 122725235 .
- ^ Prieto-Martínez, Luis Felipe; Sánchez-Cauce, Raquel (02/04/2021). "Generalización del concepto de centro de triángulo de Kimberling para otros polígonos" . Resultados en Matemáticas . 76 (2): 81. arXiv : 2004.01677 . doi : 10.1007 / s00025-021-01388-4 . ISSN 1420-9012 . S2CID 214795185 .
enlaces externos
- Manfred Evers, sobre centros y líneas centrales de triángulos en el plano elíptico
- Manfred Evers, Sobre la geometría de un triángulo en el plano elíptico y en el hiperbólico extendido
- Clark Kimberling , Triangle Centers de la Universidad de Evansville
- Ed Pegg, centros triangulares en 2D, 3D, esféricos e hiperbólicos de Wolfram Research .
- Paul Yiu, Un recorrido por la geometría triangular de la Florida Atlantic University .