En geometría , un sistema ortocéntrico es un conjunto de cuatro puntos en un plano , uno de los cuales es el ortocentro del triángulo formado por los otros tres.
Si cuatro puntos forman un sistema ortocéntrico, entonces cada uno de los cuatro puntos es el ortocentro de los otros tres. Estos cuatro posibles triángulos tendrán el mismo círculo de nueve puntos . En consecuencia, estos cuatro triángulos posibles deben tener circunferencias con el mismo radio de circunferencia .
El círculo común de nueve puntos
El centro de este círculo común de nueve puntos se encuentra en el centroide de los cuatro puntos ortocéntricos. El radio del círculo común de nueve puntos es la distancia desde el centro de nueve puntos hasta el punto medio de cualquiera de los seis conectores que unen cualquier par de puntos ortocéntricos a través de los cuales pasa el círculo común de nueve puntos. El círculo de nueve puntos también pasa por las tres intersecciones ortogonales a los pies de las altitudes de los cuatro triángulos posibles.
Este centro común de nueve puntos se encuentra en el punto medio del conector que une cualquier punto ortocéntrico al circuncentro del triángulo formado por los otros tres puntos ortocéntricos.
El círculo común de nueve puntos es tangente a los 16 círculos y ex círculos de los cuatro triángulos cuyos vértices forman el sistema ortocéntrico. [1]
El triángulo órtico común, su incentro y sus excitantes
Si los seis conectores que unen cualquier par de puntos ortocéntricos se extienden a seis líneas que se cruzan, generan siete puntos de intersección. Cuatro de estos puntos son los puntos ortocéntricos originales y los tres puntos adicionales son las intersecciones ortogonales a los pies de las altitudes . La unión de estos tres puntos ortogonales en un triángulo genera un triángulo órtico que es común a los cuatro triángulos posibles formados a partir de los cuatro puntos ortocéntricos tomados de tres en tres.
El incentro de este triángulo órtico común debe ser uno de los cuatro puntos ortocéntricos originales. Además, los tres puntos restantes se convierten en los excitantes de este triángulo órtico común. El punto ortocéntrico que se convierte en el incentro del triángulo órtico es el punto ortocéntrico más cercano al centro común de nueve puntos. Esta relación entre el triángulo órtico y los cuatro puntos ortocéntricos originales conduce directamente al hecho de que el incentro y los excitantes de un triángulo de referencia forman un sistema ortocéntrico. [2] : pág.182
Es normal distinguir uno de los puntos ortocéntricos de los demás, concretamente el que es el incentro del triángulo órtico; éste se denota H como el ortocentro de los tres puntos ortocéntricos externos que se eligen como triángulo de referencia ABC . En esta configuración normalizada, el punto H siempre estará dentro del triángulo ABC y todos los ángulos del triángulo ABC serán agudos. Los cuatro posibles triángulos mencionados anteriormente son entonces los triángulos ABC , ABH , ACH y BCH . Los seis conectores mencionados anteriormente son AB , AC , BC , AH , BH y CH . Las siete intersecciones mencionadas anteriormente son A , B , C , H (los puntos ortocéntricos originales) y H A , H B , H C (los pies de las altitudes del triángulo ABC y los vértices del triángulo órtico).
El sistema ortocéntrico y sus ejes ortésicos
El eje órtico asociado con un sistema ortocéntrico normalizado A , B , C y H , donde ABC es el triángulo de referencia, es una línea que pasa por tres puntos de intersección formados cuando cada lado del triángulo órtico se encuentra con cada lado del triángulo de referencia. Ahora considere los otros tres triángulos posibles, ABH , ACH y BCH . Cada uno tiene su propio eje órtico.
Líneas de Euler y sistemas ortocéntricos homotéticos
Deje vectores un , b , c y h determinar la posición de cada uno de los cuatro puntos orthocentric y dejar que n = ( un + b + c + h ) / 4 sean el vector de posición de N, el común centro de nueve puntos. Une cada uno de los cuatro puntos ortocéntricos a su centro común de nueve puntos y extiéndelos en cuatro líneas. Estas cuatro líneas ahora representan las líneas de Euler de los cuatro triángulos posibles donde la línea extendida HN es la línea de Euler del triángulo ABC y la línea extendida AN es la línea de Euler del triángulo BCH, etc. Si se elige un punto P en la línea de Euler HN del triángulo de referencia ABC con un vector de posición p tal que p = n + α ( h - n ) donde α es una constante pura independiente del posicionamiento de los cuatro puntos ortocéntricos y tres puntos más P A , P B , P C tales que p a = n + α ( a - n ) etc., entonces P , P A , P B , P C forman un sistema ortocéntrico. Este sistema ortocéntrico generado es siempre homotético con el sistema original de cuatro puntos con el centro común de nueve puntos como centro homotético y α la relación de similitud .
Cuando se elige P como el centroide G , entonces α = −1/3. Cuando se elige P como circuncentro O, entonces α = −1 y el sistema ortocéntrico generado es congruente con el sistema original, además de ser un reflejo de éste sobre el centro de nueve puntos. En esta configuración, P A , P B , P C forman un triángulo de Johnson del triángulo de referencia original ABC . En consecuencia, los círculos circunferenciales de los cuatro triángulos ABC , ABH , ACH , BCH son todos iguales y forman un conjunto de círculos de Johnson como se muestra en el diagrama adyacente.
Otras propiedades
Las cuatro líneas de Euler de un sistema ortocéntrico son ortogonales a los cuatro ejes órticos de un sistema ortocéntrico.
Los seis conectores que unen cualquier par de los cuatro puntos ortocéntricos originales producirán pares de conectores que sean ortogonales entre sí de manera que satisfagan las ecuaciones de distancia.
donde R es el circunradio común de los cuatro triángulos posibles. Estas ecuaciones junto con la ley de los senos dan como resultado la identidad
El teorema de Feuerbach establece que el círculo de nueve puntos es tangente al incírculo y los tres excírculos de un triángulo de referencia. Debido a que el círculo de nueve puntos es común a los cuatro triángulos posibles en un sistema ortocéntrico, es tangente a los 16 círculos que comprenden los círculos y los círculos de los cuatro triángulos posibles.
Cualquier cónica que pase por los cuatro puntos ortocéntricos solo puede ser una hipérbola rectangular . Este es el resultado del teorema cónico de Feuerbach que establece que para todas las circuncónicas de un triángulo de referencia que también pasa por su ortocentro, el lugar del centro de dichas circuncónicas forma el círculo de nueve puntos y que las circuncónicas solo pueden ser hipérbolas rectangulares. El lugar de los perspectores de esta familia de hipérbolas rectangulares estará siempre en los cuatro ejes órticos. Entonces, si se dibuja una hipérbola rectangular a través de cuatro puntos ortocéntricos, tendrá un centro fijo en el círculo común de nueve puntos, pero tendrá cuatro perspectores, uno en cada uno de los ejes órticos de los cuatro triángulos posibles. El único punto del círculo de nueve puntos que es el centro de esta hipérbola rectangular tendrá cuatro definiciones diferentes dependiendo de cuál de los cuatro triángulos posibles se utilice como triángulo de referencia.
Las hipérbolas rectangulares bien documentadas que pasan por cuatro puntos ortocéntricos son las circunhiperbolas de Feuerbach, Jeřábek y Kiepert del triángulo de referencia ABC en un sistema normalizado con H como ortocentro.
Los cuatro triángulos posibles tienen un conjunto de cuatro incónicos conocidos como incónicos órticos que comparten ciertas propiedades. Los contactos de estos incónicos con los cuatro posibles triángulos ocurren en los vértices de su triángulo órtico común. En un sistema ortocéntrico normalizado, el incónico órtico que es tangente a los lados del triángulo ABC es un inelipse y los incónicos órticos de los otros tres posibles triángulos son hipérbolas. Estos cuatro incónicos ortóticos también comparten el mismo punto de Brianchon , H, el punto ortocéntrico más cercano al centro común de nueve puntos. Los centros de estas incónicas órticas son los puntos simmedianos , K de los cuatro triángulos posibles.
Hay muchas cúbicas documentadas que pasan por un triángulo de referencia y su ortocentro. La circuncúbica conocida como ortocúbica - K006 es interesante porque atraviesa tres sistemas ortocéntricos, así como los tres vértices del triángulo órtico (pero no el ortocentro del triángulo órtico). Los tres sistemas ortocéntricos son el incentro y excéntrico, el triángulo de referencia y su ortocentro y finalmente el ortocentro del triángulo de referencia junto con los otros tres puntos de intersección que tiene este cúbico con la circunferencia del triángulo de referencia.
Cualesquiera dos círculos polares de dos triángulos en un sistema ortocéntrico son ortogonales . [2] : pág. 177
Referencias
enlaces externos
- Weisstein, Eric W. "Orthocenter" . MathWorld .
- Weisstein, Eric W. "Teorema de Feuerbach" . MathWorld .
- Weisstein, Eric W. "Teorema de la cónica de Feuerbach" . MathWorld .
- Weisstein, Eric W. "Hipérbola de Feuerbach" . MathWorld .
- Weisstein, Eric W. "Jerabek Hyperbola" . MathWorld .
- Weisstein, Eric W. "Kiepert Hyperbola" . MathWorld .
- Weisstein, Eric W. "Orthic Inconic" . MathWorld .
- Weisstein, Eric W. "Orthic Axis" . MathWorld .
- Weisstein, Eric W. "Perspector" . MathWorld .
- Bernard Gibert Circumcubic K006
- Clark Kimberling, " Enciclopedia de centros triangulares ". (Enumera unos 5000 puntos interesantes asociados con cualquier triángulo).