En matemáticas , la fórmula de respuesta exponencial (ERF), también conocida como respuesta exponencial y reemplazo complejo , es un método utilizado para encontrar una solución particular de una ecuación diferencial ordinaria lineal no homogénea de cualquier orden. [1] [2] La fórmula de respuesta exponencial es aplicable a ecuaciones diferenciales ordinarias lineales no homogéneas con coeficientes constantes si la función es polinomial , sinusoidal , exponencial o la combinación de las tres. [2] La solución general de una ecuación diferencial ordinaria lineal no homogéneaes una superposición de la solución general de la EDO homogénea asociada y una solución particular de la EDO no homogénea. [1] Los métodos alternativos para resolver ecuaciones diferenciales ordinarias de orden superior son el método de coeficientes indeterminados y el método de variación de parámetros .
Contexto y método
Aplicabilidad
El método ERF para encontrar una solución particular de una ecuación diferencial no homogénea es aplicable si la ecuación no homogénea es o podría transformarse para formar ; dóndeson números reales o complejos yes una ecuación diferencial lineal homogénea de cualquier orden. Luego, la fórmula de respuesta exponencial se puede aplicar a cada término del lado derecho de dicha ecuación. Debido a la linealidad, la fórmula de respuesta exponencial se puede aplicar siempre que el lado derecho tenga términos, que se suman mediante el principio de superposición .
Reemplazo complejo
El reemplazo complejo es un método para convertir un término de ecuación no homogéneo en una función exponencial compleja, lo que hace que una ecuación diferencial dada sea una exponencial compleja.
Por lo tanto, dada la ecuación diferencial cambia a . La solución de la ecuación diferencial compleja se puede encontrar como, de la cual la parte real es la solución de la ecuación original.
El reemplazo complejo se usa para resolver ecuaciones diferenciales cuando el término no homogéneo se expresa en términos de una función sinusoidal o una función exponencial, que se puede convertir en una diferenciación e integración de funciones exponenciales complejas. Esta función exponencial compleja es más fácil de manipular que la función original.
Cuando el término no homogéneo se expresa como una función exponencial, se puede utilizar el método ERF o el método de coeficientes indeterminados para encontrar una solución particular . Si los términos no homogéneos no se pueden transformar en una función exponencial compleja, entonces se puede utilizar el método de variación de parámetros de Lagrange para encontrar soluciones.
Matemáticamente, el sistema es invariante en el tiempo si siempre que la entrada tiene respuesta luego, para cualquier constante "a", la entrada tiene respuesta . Físicamente, la invariancia temporal significa que la respuesta del sistema no depende de la hora a la que comienza la entrada. Por ejemplo, si un sistema resorte-masa está en equilibrio , responderá a una fuerza dada de la misma manera, sin importar cuándo se aplicó la fuerza.
Cuando el sistema invariante en el tiempo también es lineal, se denomina sistema invariante en el tiempo lineal (sistema LTI). La mayoría de estos sistemas LTI se derivan de ecuaciones diferenciales lineales, donde el término no homogéneo se denomina señal de entrada y la solución de las ecuaciones no homogéneas se denomina señal de respuesta. Si la señal de entrada se da exponencialmente, la señal de respuesta correspondiente también cambia exponencialmente.
Considerando lo siguiente ecuación diferencial lineal de tercer orden
y denotando
dónde son los coeficientes constantes, produce un operador diferencial , que es lineal e invariante en el tiempo y se conoce como operador LTI . El operador,se obtiene de su polinomio característico ;
Por lo tanto, la ecuación (1) se puede escribir como
Configuración de problemas y método ERF
Considerando la ecuación diferencial de LTI anterior, con entrada exponencial , dónde y se les dan números. Entonces, una solución particular es
proporcionar solo eso .
Prueba : debido a la linealidad del operador, la ecuación se puede escribir como
Por otro lado, desde
sustituyendo esto en la ecuación (3), produce
Por lo tanto, es una solución particular a la ecuación diferencial no homogénea.
Por lo tanto, la ecuación anterior para una respuesta particular se llama fórmula de respuesta exponencial (ERF) para la entrada exponencial dada.
En particular, en caso de , una solución a la ecuación (2) viene dada por
y se llama fórmula de respuesta resonante .
Ejemplo
Encontremos la solución particular a la EDO lineal no homogénea de segundo orden;
El polinomio característico es . Además, el término no homogéneo, se puede escribir de la siguiente manera
Entonces, las soluciones particulares correspondientes a y , se encuentran, respectivamente.
Primero, considerando un término no homogéneo, . En este caso, desde y .
del ERF, una solución particular correspondiente a puede ser encontrado.
.
De manera similar, se puede encontrar una solución particular correspondiente a .
Encontremos una solución particular para DE correspondiente al tercer término;
Para hacer esto, la ecuación debe ser reemplazada por una ecuación de valor complejo, de la cual es la parte real:
Aplicando la fórmula de respuesta exponencial (ERF), produce
y la parte real es
Por lo tanto, la solución particular de la ecuación dada, es
Comparación con el método de coeficientes indeterminados
El método de coeficientes indeterminados es un método para seleccionar adecuadamente un tipo de solución de acuerdo con la forma del término no homogéneo y determinar la constante indeterminada, de modo que satisfaga la ecuación no homogénea. [4] Por otro lado, el método ERF obtiene una solución especial basada en el operador diferencial. [2] La similitud para ambos métodos es que se obtienen soluciones especiales de ecuaciones diferenciales lineales no homogéneas con coeficientes constantes, mientras que la forma de la ecuación en consideración es la misma en ambos métodos.
Por ejemplo, encontrar una solución particular de con el método de coeficientes indeterminados requiere resolver la ecuación característica . El término no homogéneo entonces se considera y desde no es una raíz característica , pone una solución particular en forma de, dónde es constante indeterminada. Sustituyendo en la ecuación para determinar los rendimientos constantes tentativos
por lo tanto
La solución particular se puede encontrar en forma: [5]
Por otro lado, el método de la fórmula de respuesta exponencial requiere un polinomio característico para ser encontrado, después de lo cual los términos no homogéneos es complejo reemplazado. Luego, la solución particular se encuentra usando la fórmula
Fórmula de respuesta exponencial generalizada
Ejemplos de
Para encontrar una solución particular de la siguiente EDO;
el polinomio característico es .
Al calcular, obtenemos lo siguiente:
La fórmula de respuesta exponencial original no es aplicable a este caso debido a la división por cero. Por lo tanto, utilizando la fórmula de respuesta exponencial generalizada y las constantes calculadas, la solución particular es
El método de la fórmula de respuesta exponencial se discutió en el caso de . En el caso de, también se considera la fórmula de respuesta resonante .
En el caso de , discutiremos cómo se describirá el método ERF en esta sección.
Dejar ser un operador polinomial con coeficientes constantes, y su -ésima derivada. Entonces ODE
, dónde es real o complejo.
tiene la solución particular de la siguiente manera.
. En este caso, una solución particular será dada por. ( fórmula de respuesta del exponente )
pero . En este caso, una solución particular será dada por. ( fórmula de respuesta resonante )
pero . En este caso, una solución particular será dada por
La ecuación anterior se llama fórmula de respuesta exponencial generalizada .
Ejemplos de aplicación
Movimiento de un objeto que cuelga de un resorte.
Objeto colgado de un resorte con desplazamiento. La fuerza que actúa es la gravedad, la fuerza del resorte, la resistencia del aire y cualquier otra fuerza externa.
A partir de la ley de Hooke , la ecuación de movimiento del objeto se expresa de la siguiente manera; [6] [4]
dónde es fuerza externa.
Ahora, asumiendo que se descuida la resistencia y, dónde (la frecuencia de la fuerza externa coincide con la frecuencia natural). Por lo tanto, el oscilador armónico con término de forzamiento sinusoidal se expresa de la siguiente manera:
Entonces, una solución particular es
Aplicación de reemplazo complejo y ERF: si es una solución al complejo DE
luego será una solución para el DE dado.
El polinomio característico es , y , así que eso . Sin embargo, desde, luego . Así, el caso resonante del ERF da
Circuitos electricos
Considerando la corriente eléctrica que fluye a través de un circuito eléctrico, que consta de una resistencia (), un condensador (), una bobina de cables () y una batería (), conectados en serie. [3] [6]
Este sistema se describe mediante una ecuación diferencial integral encontrada por Kirchhoff llamada ley de voltaje de Kirchhoff , que relaciona la resistencia, condensador , inductor , batería , y la corriente en un circuito de la siguiente manera,
Al diferenciar ambos lados de la ecuación anterior, se obtiene la siguiente EDO.
Ahora, asumiendo , dónde . (se llama frecuencia de resonancia en el circuito LRC ). Bajo el supuesto anterior, la salida (solución particular) correspondiente a la entradapuede ser encontrado. Para hacerlo, la entrada dada se puede convertir en forma compleja:
El polinomio característico es , dónde . Por lo tanto, del ERF, se puede obtener una solución particular de la siguiente manera;
Ganancia compleja y retraso de fase
Considerando el sistema LTI general
dónde es la entrada y se dan operadores polinomiales, asumiendo que . En caso de que, una solución particular a la ecuación dada es
Considerando los siguientes conceptos utilizados principalmente en física y procesamiento de señales.
La amplitud de la entrada es . Tiene las mismas unidades que la cantidad de entrada.
La frecuencia angular de la entrada es . Tiene unidades de radianes / tiempo. A menudo se le denominará frecuencia, aunque técnicamente la frecuencia debería tener unidades de ciclos / tiempo.
La amplitud de la respuesta es . Tiene las mismas unidades que la cantidad de respuesta.
La ganancia es . La ganancia es el factor por el que se multiplica la amplitud de entrada para obtener la amplitud de la respuesta. Tiene las unidades necesarias para convertir unidades de entrada en unidades de salida.
El desfase es . El desfase tiene unidades de radianes, es decir, no tiene dimensiones.
El lapso de tiempo es . Tiene unidades de tiempo. Es el momento en que el pico de la salida se retrasa con respecto al de la entrada.
La ganancia compleja es . Este es el factor por el que se multiplica la entrada compleja para obtener la salida compleja.
Referencias
^ a b c Miller, Haynes; Mattuck, Arthur (junio de 2004), Ecuaciones diferenciales , IMSCP-MD5-9ca77abee86dc4bbaef9e2d6b157eaa9, págs. 50–56, hdl : 1721.1 / 34888
^ a b cWirkus, Stephen A .; Swift, Randal J .; Szypowski, Ryan S. (2016), Un curso en ecuaciones diferenciales con problemas de valores en la frontera, Segunda edición , Libros de texto en matemáticas (2ª ed.), Chapman y Hall / CRC, págs. 230–238, ISBN 978-1498736053
^ a bCharles L, Phillips (2007), Signals, Systems, And Transforms (PDF) , págs. 112–122, ISBN 978-0-13-198923-8
^ a bCoddington, Earl A .; Carlson, Robert (1997), Ecuaciones diferenciales ordinarias lineales (PDF) , págs. 3–80, ISBN 0-89871-388-9
^ Ralph P. Grimaldi (2000). "Relaciones de recurrencia no homogéneas". Sección 3.3.3 del Manual de Matemática Discreta y Combinatoria . Kenneth H. Rosen, ed. Prensa CRC. ISBN 0-8493-0149-1 .
^ a bEdwards, C. Henry; Penney, David E. (2008), ECUACIONES DIFERENCIALES ELEMENTALES (PDF) , págs. 100–193, ISBN 978-0-13-239730-8
enlaces externos
Operadores y la fórmula de respuesta exponencial
Fórmula de respuesta exponencial generalizada
Conceptos básicos de los operadores LTI y ERF [ enlace muerto permanente ]