En matemáticas , la variación de parámetros , también conocida como variación de constantes , es un método general para resolver ecuaciones diferenciales ordinarias lineales no homogéneas .
Para las ecuaciones diferenciales lineales no homogéneas de primer orden, generalmente es posible encontrar soluciones a través de factores integradores o coeficientes indeterminados con un esfuerzo considerablemente menor, aunque esos métodos aprovechan las heurísticas que implican adivinar y no funcionan para todas las ecuaciones diferenciales lineales no homogéneas.
La variación de parámetros se extiende también a ecuaciones diferenciales parciales lineales , específicamente a problemas no homogéneos para ecuaciones de evolución lineal como la ecuación de calor , la ecuación de onda y la ecuación de placa vibratoria . En este contexto, el método se conoce más a menudo como el principio de Duhamel , que lleva el nombre de Jean-Marie Duhamel (1797-1872), quien aplicó por primera vez el método para resolver la ecuación de calor no homogénea. A veces, la variación de los parámetros en sí misma se denomina principio de Duhamel y viceversa.
Historia
El método de variación de parámetros fue esbozado por primera vez por el matemático suizo Leonhard Euler (1707-1783), y luego completado por el matemático italo-francés Joseph-Louis Lagrange (1736-1813). [1]
Un precursor del método de variación de los elementos orbitales de un cuerpo celeste apareció en el trabajo de Euler en 1748, mientras estudiaba las perturbaciones mutuas de Júpiter y Saturno. [2] En su estudio de 1749 sobre los movimientos de la tierra, Euler obtuvo ecuaciones diferenciales para los elementos orbitales. [3] En 1753, aplicó el método a su estudio de los movimientos de la luna. [4]
Lagrange utilizó por primera vez el método en 1766. [5] Entre 1778 y 1783, desarrolló aún más el método en dos series de memorias: una sobre variaciones en los movimientos de los planetas [6] y otra sobre la determinación de la órbita de un cometa a partir de tres observaciones. [7] Durante 1808-1810, Lagrange dio al método de variación de parámetros su forma final en una tercera serie de artículos. [8]
Explicación intuitiva
Considere la ecuación del resorte sin dispersión forzada, en unidades adecuadas:
Aquí x es el desplazamiento del resorte desde el equilibrio x = 0 , y F ( t ) es una fuerza externa aplicada que depende del tiempo. Cuando la fuerza externa es cero, esta es la ecuación homogénea (cuyas soluciones son combinaciones lineales de senos y cosenos, correspondientes al resorte que oscila con energía total constante).
Podemos construir la solución físicamente, como sigue. Entre tiempos y , el impulso correspondiente a la solución tiene un cambio neto (ver: Impulso (física) ). Se obtiene una solución a la ecuación no homogénea, en el momento actual t > 0 , superponiendo linealmente las soluciones obtenidas de esta manera, para s que oscilen entre 0 y t .
El problema del valor inicial homogéneo, que representa un pequeño impulso siendo agregado a la solución en el momento , es
La solución única a este problema se ve fácilmente como . La superposición lineal de todas estas soluciones viene dada por la integral:
Para verificar que esto satisface la ecuación requerida:
según sea necesario (ver: regla integral de Leibniz ).
El método general de variación de parámetros permite resolver una ecuación lineal no homogénea.
por medio de considerar el lineal de segundo orden operador diferencial L a ser la fuerza neta, por lo tanto el total de impulso impartido a una solución entre el tiempo de s y s + ds es F ( s ) ds . Denotamos por la solución del problema del valor inicial homogéneo
Entonces, una solución particular de la ecuación no homogénea es
el resultado de superponer linealmente las soluciones homogéneas infinitesimales. Hay generalizaciones para operadores diferenciales lineales de orden superior.
En la práctica, la variación de parámetros suele implicar la solución fundamental del problema homogéneo, las soluciones infinitesimales luego se da en términos de combinaciones lineales explícitas de soluciones fundamentales linealmente independientes. En el caso del resorte sin dispersión forzada, el núcleo es la descomposición asociada en soluciones fundamentales.
Descripción del método
Dada una ecuación diferencial lineal no homogénea ordinaria de orden n
( i )
Dejar ser un sistema fundamental de soluciones de la correspondiente ecuación homogénea
( ii )
Entonces, una solución particular a la ecuación no homogénea viene dada por
( iii )
donde el son funciones diferenciables que se supone que satisfacen las condiciones
( iv )
Comenzando con ( iii ), la diferenciación repetida combinada con el uso repetido de ( iv ) da
( v )
Una última diferenciación da
( vi )
Sustituyendo ( iii ) en ( i ) y aplicando ( v ) y ( vi ) se sigue que
( vii )
El sistema lineal ( iv y vii ) de n ecuaciones se puede resolver usando la regla de Cramer que produce
dónde es el determinante wronskiano del sistema fundamental yes el determinante wronskiano del sistema fundamental con la i -ésima columna reemplazada por
La solución particular de la ecuación no homogénea se puede escribir como
Ejemplos de
Ecuación de primer orden
La solución general de la ecuación homogénea correspondiente (escrita a continuación) es la solución complementaria a nuestra ecuación original (no homogénea):
- .
Esta ecuación diferencial homogénea se puede resolver por diferentes métodos, por ejemplo, separación de variables :
La solución complementaria a nuestra ecuación original es, por tanto:
Ahora volvemos a resolver la ecuación no homogénea:
Usando el método de variación de parámetros, la solución particular se forma multiplicando la solución complementaria por una función desconocida C ( x ):
Sustituyendo la solución particular en la ecuación no homogénea, podemos encontrar C ( x ):
Solo necesitamos una única solución en particular, por lo que seleccionamos arbitrariamente por simplicidad. Por tanto, la solución particular es:
La solución final de la ecuación diferencial es:
Esto recrea el método de integración de factores .
Ecuación específica de segundo orden
Vamos a resolver
Queremos encontrar la solución general a la ecuación diferencial, es decir, queremos encontrar soluciones a la ecuación diferencial homogénea.
La ecuación característica es:
Desde es una raíz repetida, tenemos que introducir un factor de x para una solución para asegurar la independencia lineal: u 1 = e −2 x y u 2 = xe −2 x . El Wronskiano de estas dos funciones es
Debido a que el wronskiano no es cero, las dos funciones son linealmente independientes, por lo que esta es de hecho la solución general para la ecuación diferencial homogénea (y no un mero subconjunto de ella).
Buscamos las funciones A ( x ) y B ( x ) para que A ( x ) u 1 + B ( x ) u 2 sea una solución particular de la ecuación no homogénea. Solo necesitamos calcular las integrales
Recuerde que para este ejemplo
Es decir,
dónde y son constantes de integración.
Ecuación general de segundo orden
Tenemos una ecuación diferencial de la forma
y definimos el operador lineal
donde D representa el operador diferencial . Por tanto, tenemos que resolver la ecuación por , dónde y son conocidos.
Primero debemos resolver la ecuación homogénea correspondiente:
por la técnica de nuestra elección. Una vez que hayamos obtenido dos soluciones linealmente independientes para esta ecuación diferencial homogénea (porque esta EDO es de segundo orden), llámelas u 1 y u 2 , podemos proceder con la variación de parámetros.
Ahora, buscamos la solución general a la ecuación diferencial. que asumimos que es de la forma
Aquí, y son desconocidos y y son las soluciones de la ecuación homogénea. (Observa que si y son constantes, entonces .) Dado que lo anterior es solo una ecuación y tenemos dos funciones desconocidas, es razonable imponer una segunda condición. Elegimos lo siguiente:
Ahora,
Diferenciando nuevamente (omitiendo pasos intermedios)
Ahora podemos escribir la acción de L sobre u G como
Como u 1 y u 2 son soluciones, entonces
Tenemos el sistema de ecuaciones
En expansión,
Entonces, el sistema anterior determina con precisión las condiciones
Buscamos A ( x ) y B ( x ) a partir de estas condiciones, entonces, dado
podemos resolver para ( A ′ ( x ), B ′ ( x )) T , entonces
donde W denota el wronskiano de u 1 y u 2 . (Sabemos que W es distinto de cero, partiendo del supuesto de que u 1 y u 2 son linealmente independientes). Entonces,
Si bien las ecuaciones homogéneas son relativamente fáciles de resolver, este método permite el cálculo de los coeficientes de la solución general de la ecuación in homogénea, y así se puede determinar la solución general completa de la ecuación no homogénea.
Tenga en cuenta que y se determinan cada uno solo hasta una constante aditiva arbitraria (la constante de integración ). Añadiendo una constante a o no cambia el valor de porque el término extra es solo una combinación lineal de u 1 y u 2 , que es una solución de por definición.
Notas
- ^ Ver:
- Forest Ray Moulton , Introducción a la mecánica celeste , 2ª ed. (publicado por primera vez por Macmillan Company en 1914; reimpreso en 1970 por Dover Publications, Inc., Mineola, Nueva York), página 431 .
- Edgar Odell Lovett (1899) "La teoría de las perturbaciones y la teoría de Lie de las transformaciones de contacto", The Quarterly Journal of Pure and Applied Mathematics , vol. 30, páginas 47–149; véanse especialmente las páginas 48–61.
- ↑ Euler, L. (1748) "Recherches sur la question des inégalités du mouvement de Saturne et de Jupiter, sujet proposé pour le prix de l'année 1748, par l'Académie Royale des Sciences de Paris" [Investigaciones sobre la cuestión de las diferencias en el movimiento de Saturno y Júpiter; este tema propuesto para el premio de 1748 por la Real Academia de Ciencias (París)] (París, Francia: G. Martin, JB Coignard y HL Guerin, 1749).
- ^ Euler, L. (1749) "Recherches sur la précession des équinoxes, et sur la nutation de l'axe de la terre," Histoire [o Mémoires ] de l'Académie Royale des Sciences et Belles-lettres (Berlín), páginas 289-325 [publicado en 1751].
- ^ Euler, L. (1753) Theoria motus lunae: exhibens omnes ejus inaequalitates ... [La teoría del movimiento de la luna: demostrando todas sus desigualdades ...] (San Petersburgo, Rusia: Academia Imperialis Scientiarum Petropolitanae [Imperial Academia de Ciencias (San Petersburgo)], 1753).
- ^ Lagrange, J.-L. (1766) “Solution de différens problèmes du calcul integral”, Mélanges de philosophie et de mathématique de la Société royale de Turin , vol. 3, páginas 179–380.
- ^ Ver:
- Lagrange, J.-L. (1781) "Théorie des variaciones séculaires des élémens des Planetes. Premiere partie, ...", Nouveaux Mémoires de l'Académie Royale des Sciences et Belles-lettres (Berlín), páginas 199–276.
- Lagrange, J.-L. (1782) "Théorie des variaciones séculaires des élémens des Planetes. Seconde partie, ...", Nouveaux Mémoires de l'Académie Royale des Sciences et Belles-lettres (Berlín), páginas 169-292.
- Lagrange, J.-L. (1783) "Théorie des variaciones périodiques des mouvemens des Planetes. Premiere partie, ...," Nouveaux Mémoires de l'Académie Royale des Sciences et Belles-lettres (Berlín), páginas 161-190.
- ^ Ver:
- Lagrange, J.-L. (1778) "Sur le probleme de la détermination des orbites des cometes d'après trois observaciones, premier mémoire" (Sobre el problema de determinar las órbitas de los cometas a partir de tres observaciones, primera memoria), Nouveaux Mémoires de l'Académie Royale des Sciences et Belles-lettres (Berlín), páginas 111-123 [publicado en 1780].
- Lagrange, J.-L. (1778) "Sur le probleme de la détermination des orbites des cometes d'après trois observaciones, segunda memoria" , Nouveaux Mémoires de l'Académie Royale des Sciences et Belles-lettres (Berlín), páginas 124-161 [publicado en 1780] .
- Lagrange, J.-L. (1783) "Sur le probleme de la détermination des orbites des cometes d'après trois observaciones. Troisième mémoire, dans lequel on donne une solution directe et générale du problème". , Nouveaux Mémoires de l'Académie Royale des Sciences et Belles-lettres (Berlín), páginas 296–332 [publicado en 1785].
- ^ Ver:
- Lagrange, J.-L. (1808) “Sur la théorie des variaciones des éléments des planètes et en particulier des variaciones des grandes ejes de leurs orbites”, Mémoires de la première Classe de l'Institut de France . Reimpreso en: Joseph-Louis Lagrange con Joseph-Alfred Serret, ed., Oeuvres de Lagrange (París, Francia: Gauthier-Villars, 1873), vol. 6, páginas 713–768 .
- Lagrange, J.-L. (1809) “Sur la théorie générale de la variación des constantes arbitraires dans tous les problèmes de la méchanique”, Mémoires de la première Classe de l'Institut de France . Reimpreso en: Joseph-Louis Lagrange con Joseph-Alfred Serret, ed., Oeuvres de Lagrange (París, Francia: Gauthier-Villars, 1873), vol. 6, páginas 771–805 .
- Lagrange, J.-L. (1810) “Second mémoire sur la théorie générale de la variación des constantes arbitraires dans tous les problèmes de la méchanique, ...”, Mémoires de la première Classe de l'Institut de France . Reimpreso en: Joseph-Louis Lagrange con Joseph-Alfred Serret, ed., Oeuvres de Lagrange (París, Francia: Gauthier-Villars, 1873), vol. 6, páginas 809–816 .
Referencias
- Coddington, Earl A .; Levinson, Norman (1955). Teoría de las ecuaciones diferenciales ordinarias . McGraw-Hill .
- Boyce, William E .; DiPrima, Richard C. (2005). Ecuaciones diferenciales elementales y problemas de valores en la frontera (8ª ed.). Wiley. págs. 186–192, 237–241.
- Teschl, Gerald (2012). Ecuaciones diferenciales ordinarias y sistemas dinámicos . Sociedad Matemática Estadounidense .
enlaces externos
- Notas / prueba en línea de Paul Dawkins, Lamar University .
- Página PlanetMath .
- NOTA SOBRE EL MÉTODO DE VARIACIÓN DE PARÁMETROS DE LAGRANGE