En el análisis real , la línea real proyectada extendida (también llamada compactación de un punto de la línea real ), es la extensión del conjunto de los números reales ,por un punto denotado ∞ . Así es el conjunto con las operaciones aritméticas estándar extendidas donde sea posible, y a veces se denota por El punto agregado se llama punto en el infinito , porque se considera vecino de ambos extremos de la línea real. Más precisamente, el punto en el infinito es el límite de toda secuencia de números reales cuyos valores absolutos son crecientes e ilimitados .
La línea real proyectada extendida puede identificarse con la línea proyectiva sobre los reales en los que se han asignado valores específicos a tres puntos (por ejemplo , 0 , 1 y ∞ ). La recta real extendida proyectivamente es distinta de la recta numérica real extendida , en la que + ∞ y −∞ son distintos.
Dividiendo por cero
A diferencia de la mayoría de los modelos matemáticos del concepto intuitivo de 'número', esta estructura permite la división por cero :
para distinto de cero a . En particular 1/0 = ∞ , y además 1 / ∞ = 0 , haciendo recíproco , 1 / x , una función total en esta estructura. Sin embargo, la estructura no es un campo y ninguna de las operaciones aritméticas binarias es total, como lo demuestra, por ejemplo, que 0⋅∞ no está definido a pesar de que el recíproco es total. Sin embargo, tiene interpretaciones utilizables; por ejemplo, en geometría, una línea vertical tiene una pendiente infinita .
Extensiones de la línea real
La línea real extendida proyectivamente extiende el campo de los números reales de la misma manera que la esfera de Riemann extiende el campo de los números complejos , agregando un solo punto llamado convencionalmente.
En contraste, la recta numérica real extendida (también llamada compactación de dos puntos de la recta real) distingue entre y .
Pedido
La relación de orden no puede extenderse a de una manera significativa. Dado un número, no hay ningún argumento convincente para definir o eso . Desde no se puede comparar con ninguno de los otros elementos, no tiene sentido mantener esta relación en . Sin embargo, orden en se utiliza en definiciones en .
Geometría
Fundamental para la idea de que ∞ es un punto no diferente de cualquier otro es la forma en que la línea proyectiva real es un espacio homogéneo , de hecho homeomorfo a un círculo . Por ejemplo, el grupo lineal general de matrices invertibles reales 2 × 2 tiene una acción transitiva sobre él. La acción de grupo puede expresarse mediante transformaciones de Möbius (también llamadas transformaciones fraccionarias lineales), en el entendido de que cuando el denominador de la transformación fraccional lineal es 0, la imagen es ∞.
El análisis detallado de la acción muestra que para cualesquiera tres puntos distintos P , Q y R , hay una transformación fraccional lineal que lleva a P a 0, Q a 1 y R a ∞, es decir, el grupo de transformaciones fraccionarias lineales es triple transitivo en la línea proyectiva real. Esto no se puede extender a 4 tuplas de puntos, porque la relación cruzada es invariante.
La terminología de línea proyectiva es apropiada, porque los puntos están en correspondencia 1 a 1 con subespacios lineales unidimensionales de.
Operaciones aritmeticas
Motivación para las operaciones aritméticas.
Las operaciones aritméticas en este espacio son una extensión de las mismas operaciones en reales. Una motivación para las nuevas definiciones son los límites de las funciones de los números reales.
Operaciones aritméticas que están definidas
Además de las operaciones estándar en el subconjunto de , las siguientes operaciones se definen para , con las excepciones indicadas:
Operaciones aritméticas que quedan sin definir
Las siguientes expresiones no se pueden motivar considerando límites de funciones reales, y ninguna definición de ellas permite que el enunciado de las propiedades algebraicas estándar se mantenga sin cambios en la forma para todos los casos definidos. [a] En consecuencia, quedan sin definir:
Propiedades algebraicas
Las siguientes igualdades significan: O ambos lados están indefinidos o ambos lados están definidos y son iguales. Esto es cierto para cualquier.
Lo siguiente es cierto siempre que se define el lado derecho, para cualquier .
En general, todas las leyes de la aritmética que son válidas para también son válidas para siempre que se definan todas las expresiones que ocurren.
Intervalos y topología
El concepto de intervalo puede extenderse a. Sin embargo, dado que es un conjunto desordenado, el intervalo tiene un significado ligeramente diferente. Las definiciones de intervalos cerrados son las siguientes (se supone que):
Con la excepción de cuando los puntos finales son iguales, los intervalos abiertos y semiabiertos correspondientes se definen eliminando los puntos finales respectivos.
y el conjunto vacío son cada uno también un intervalo, como es excluyendo cualquier punto. [B]
Los intervalos abiertos como base definen una topología en. Suficientes para una base son los intervalos abiertos finitos en y los intervalos para todos tal que .
Como se dijo, la topología es homeomórfica a un círculo . Por lo tanto, es metrizable correspondiente (para un homeomorfismo dado) a la métrica ordinaria en este círculo (ya sea medido en línea recta o a lo largo del círculo). No hay una métrica que sea una extensión de la métrica ordinaria en.
Aritmética de intervalos
La aritmética de intervalos se extiende a de . El resultado de una operación aritmética en intervalos es siempre un intervalo, excepto cuando los intervalos con una operación binaria contienen valores incompatibles que conducen a un resultado indefinido. [c] En particular, tenemos, para cada:
independientemente de si alguno de los intervalos incluye y .
Cálculo
Las herramientas de cálculo se pueden utilizar para analizar funciones de. Las definiciones están motivadas por la topología de este espacio.
Barrios
Dejar .
- A es una vecindad de x , si y solo si A contiene un intervalo abierto B y.
- A es una vecindad del lado derecho de x, si y solo si haytal que A contiene.
- A es una vecindad del lado izquierdo de x, si y solo si haytal que A contiene.
- A es una vecindad perforada (del lado derecho, del lado izquierdo) de x , si y solo si haytal que B es una vecindad (del lado derecho, del lado izquierdo) de x, y.
Limites
Definiciones básicas de límites
Dejar .
El límite de f ( x ) cuando x se acerca a p es L , denotado
si y solo si para cada vecindario A de L , hay un vecindario perforado B de p , tal que implica .
El límite unilateral de f ( x ) cuando x se acerca a p desde la derecha (izquierda) es L , denotado
si y solo si para cada vecindario A de L , hay un vecindario perforado del lado derecho (lado izquierdo) B de p , tal que implica .
Se puede demostrar que si y solo si ambos y .
Comparación con límites en
Las definiciones dadas anteriormente se pueden comparar con las definiciones habituales de límites de funciones reales. En las siguientes declaraciones,, el primer límite es el definido anteriormente, y el segundo límite es en el sentido habitual:
- es equivalente a .
- es equivalente a .
- es equivalente a .
- es equivalente a .
- es equivalente a .
- es equivalente a .
Definición ampliada de límites
Dejar . Entonces p es un punto límite de A si y solo si cada vecindario de p incluye un punto tal que .
Dejar , P un punto de límite A . El límite de f (x) cuando x se acerca a p a través de A es L , si y solo si para cada vecindario B de L , hay un vecindario C perforado de p , tal que implica .
Esto corresponde a la definición topológica regular de continuidad, aplicada a la topología subespacial en, y la restricción de f a.
Continuidad
La función
es continua en p si y solo si f se define en p y
Si la función
es continua en A si y solo si, para cada, F se define en p y el límite de f ( x ) como x tiende a p a través de A es f ( p ) .
Toda función racional P ( x ) / Q ( x ) , donde P y Q son polinomios , puede prolongarse, de forma única, a una función de a que es continuo en . En particular, este es el caso de las funciones polinomiales , que toman el valor a si no son constantes.
Además, si la función tangente tan se extiende de modo que
entonces el bronceado es continuo en pero no puede prolongarse más a una función que es continua en
Muchas funciones elementales que son continuas en no se puede prolongar a funciones que son continuas en Este es el caso, por ejemplo, de la función exponencial y todas las funciones trigonométricas . Por ejemplo, la función seno es continua en pero no puede hacerse continuo en Como se vio anteriormente, la función tangente se puede prolongar a una función que es continua en pero esta función no se puede hacer continua en
Muchas funciones discontinuas que se vuelven continuas cuando el codominio se extiende apermanecer discontinuo si el codominio se extiende al sistema de números reales afines extendido Este es el caso de la función Por otro lado, algunas funciones que son continuas en y discontinuo en se vuelven continuos si el dominio se extiende aEste es el caso del arco tangente .
Como rango proyectivo
Cuando la línea proyectiva real se considera en el contexto del plano proyectivo real , las consecuencias del teorema de Desargues están implícitas. En particular, la construcción de la relación conjugada armónica proyectiva entre puntos es parte de la estructura de la línea proyectiva real. Por ejemplo, dado cualquier par de puntos, el punto en el infinito es el conjugado armónico proyectivo de su punto medio .
Como las proyectividades conservan la relación armónica, forman los automorfismos de la línea proyectiva real. Las proyectividades se describen algebraicamente como homografías , ya que los números reales forman un anillo , según la construcción general de una línea proyectiva sobre un anillo . Colectivamente forman el grupo PGL (2, R) .
Las proyectividades que son sus propias inversas se llaman involuciones . Una involución hiperbólica tiene dos puntos fijos . Dos de ellos corresponden a operaciones aritméticas elementales en la línea proyectiva real: negación y reciprocidad . De hecho, 0 y ∞ están fijos bajo negación, mientras que 1 y −1 están fijos bajo reciprocidad.
Notas
- ^ Sin embargo, existe una extensión en la que todas las propiedades algebraicas, cuando se restringen a operaciones definidas en, resuelva las reglas estándar: consulte Teoría de la rueda .
- ^ Si se requiere consistencia de complementación, tal que y para todos (donde se define el intervalo a cada lado), todos los intervalos excluyendo y puede representarse naturalmente usando esta notación, con siendo interpretado como , e intervalos semiabiertos con puntos finales iguales, p. ej. , quedando indefinido.
- ^ Por ejemplo, la proporción de intervalos contiene en ambos intervalos, y desde no está definido, el resultado de la división de estos intervalos no está definido.
Ver también
- Línea proyectiva
- Plano proyectivo real
- Plano proyectivo complejo
- Teoría de la rueda
- Apunta al infinito
enlaces externos
- Números reales proyectados extendidos: de Mathworld