En la teoría matemática de los nudos , el teorema de Fáry-Milnor , llamado así por István Fáry y John Milnor , establece que las curvas suaves tridimensionales con una curvatura total pequeña deben estar sin nudos . El teorema fue probado independientemente por Fáry en 1949 y Milnor en 1950. Más tarde se demostró que se deriva de la existencia de quadrisecants ( Denne 2004 ).
Declaración
Si K es cualquier curva cerrada en el espacio euclidiano que sea lo suficientemente suave para definir la curvatura κ en cada uno de sus puntos, y si la curvatura absoluta total es menor o igual a 4π, entonces K es un nudo , es decir:
El contrapositivo nos dice que si K no es un nudo, es decir, K no es isotópico al círculo, entonces la curvatura total será estrictamente mayor que 4π. Observe que tener la curvatura total menor o igual a 4 π es simplemente una condición suficiente para que K sea un nudo; no es una condición necesaria . En otras palabras, aunque todos los nudos con una curvatura total menor o igual a 4π son el desanudo, existen desnudos con curvatura estrictamente mayor que 4π.
Generalizaciones a curvas no suaves
Para cadenas poligonales cerradas, el mismo resultado se mantiene con la integral de curvatura reemplazada por la suma de ángulos entre segmentos adyacentes de la cadena. Aproximando curvas arbitrarias mediante cadenas poligonales, se puede extender la definición de curvatura total a clases más grandes de curvas, dentro de las cuales también se cumple el teorema de Fáry-Milnor ( Milnor 1950 , Sullivan 2008 ).
Referencias
- Denne, Elizabeth Jane (2004), cuadrículas alternas de nudos , Ph.D. tesis, Universidad de Illinois en Urbana-Champaign, arXiv : math / 0510561 , Bibcode : 2005math ..... 10561D.
- Fary, I. (1949), "Sur la courbure totale d'une courbe gauche gauche faisant un nœud" , Bulletin de la Société Mathématique de France , 77 : 128-138.
- Milnor, JW (1950), "Sobre la curvatura total de los nudos", Annals of Mathematics , 52 (2): 248-257, doi : 10.2307 / 1969467.
- Sullivan, John M. (2008), "Curvas de curvatura total finita", Geometría diferencial discreta , Oberwolfach Semin., 38 , Birkhäuser, Basel, págs. 137-161, arXiv : math / 0606007 , doi : 10.1007 / 978-3 -7643-8621-4_7 , MR 2405664.
enlaces externos
- Fenner, Stephen A. (1990), La curvatura total de un nudo (largo). Fenner describe una demostración geométrica del teorema y del teorema relacionado de que cualquier curva cerrada suave tiene una curvatura total de al menos 2π.