En geometría , una línea quadrisecant o quadrisecant de una curva es una línea que pasa por cuatro puntos de la curva. Cada curva anudada en el espacio euclidiano tridimensional tiene un cuadrante. El número de cuadrículas de una curva algebraica en un espacio proyectivo complejo se puede calcular mediante una fórmula derivada de Arthur Cayley . Los quadrisecants de líneas oblicuas también se asocian con superficies regladas y la configuración Schläfli doble seis .
En la teoría del nudo
En el espacio euclidiano tridimensional , cada nudo o vínculo manso no trivial tiene un cuadrilátero. Establecido originalmente en el caso de polígonos anudados y nudos lisos por Erika Pannwitz , [1] este resultado se extendió a nudos en posición general adecuada y enlaces con un número de enlace distinto de cero , [2] y más tarde a todos los nudos y enlaces mansos no triviales. [3]
Pannwitz demostró con más fuerza que el número de cuadrantes distintos está limitado más bajo por una función del número mínimo de singularidades de frontera en un disco abierto localmente plano limitado por el nudo. [1] [4] Morton y Mond (1982) conjeturaron que el número de cuadrantes distintos de un nudo dado es siempre al menos, dónde es el número de cruce del nudo. [2] [4] Sin embargo, desde entonces se han descubierto contraejemplos a esta conjetura. [4]
Los enlaces de dos componentes tienen quadrisecants en los que los puntos del quadrisecant aparecen en orden alterno entre los dos componentes, [2] y los nodos no triviales tienen quadrisecants en los que los cuatro puntos, ordenados cíclicamente como en el nudo, aparecen en orden a lo largo del quadrisecant. [5] La existencia de estos quadrisecants alternos se puede utilizar para derivar el teorema de Fáry-Milnor , un límite inferior en la curvatura total de un nudo no trivial. [5] Quadrisecants también se han utilizado para encontrar límites inferiores en la longitud de la cuerda de los nudos. [6]
GT Jin y HS Kim conjeturaron que, cuando una curva anudada tiene un número finito de quadrisecants, se puede aproximar con un nudo poligonal equivalente con sus vértices en los puntos donde se encuentran los cuadrantes , en el mismo orden en que aparecen en . Sin embargo, esto es falso: para cada tipo de nudo, hay una realización por la cual esta construcción conduce a un polígono que se interseca a sí mismo, y otra realización donde esta construcción produce un nudo de un tipo diferente. [7]
En geometría algebraica
Arthur Cayley derivó una fórmula para el número de cuadrículas de una curva algebraica en un espacio proyectivo complejo tridimensional , en función de su grado y género . [8] Para una curva de grado y género , el número de quadrisecants es [9]
De líneas sesgadas
En el espacio euclidiano tridimensional , cada conjunto de cuatro líneas sesgadas en posición general tiene dos cuadrículas (también llamadas en este contexto transversales ) o ninguna. Tres de las cuatro líneas cualesquiera determinan una superficie de doble regla , en la que uno de los dos conjuntos de líneas regladas contiene las tres líneas dadas, y la otra regla consta de trisecantes a las líneas dadas. Si la cuarta de las líneas dadas atraviesa esta superficie, sus dos puntos de intersección se encuentran en los dos cuadrangulares; si está disjunto de la superficie, entonces no hay cuadrículas. [12]
Los quadrisecants de conjuntos de líneas juegan un papel importante en la construcción del doble seis de Schläfli , una configuración de doce líneas que se cruzan entre sí en 30 cruces. Si cinco líneas (por ) se dan en un espacio tridimensional, de modo que los cinco están cruzados por una línea común pero están de otra manera en posición general, entonces cada uno de los cinco cuádruples de las líneas tiene un segundo quadrisecant y las cinco líneas formados de esta manera están todos intersectados por una línea común . Estas doce líneas y los 30 puntos de intersecciónforman el doble seis. [13] [14]
Referencias
- ↑ a b Pannwitz, Erika (1933), "Eine elementargeometrische Eigenschaft von Verschlingungen und Knoten", Mathematische Annalen , 108 (1): 629–672, doi : 10.1007 / BF01452857 , S2CID 123026724
- ^ a b c Morton, Hugh R .; Mond, David MQ (1982), "Curvas cerradas sin cuadrículas", Topología , 21 (3): 235–243, doi : 10.1016 / 0040-9383 (82) 90007-6 , MR 0649756
- ^ Kuperberg, Greg (1994), "Quadrisecants of knots and links", Journal of Knot Theory and Its Ramifications , 3 : 41–50, arXiv : math / 9712205 , doi : 10.1142 / S021821659400006X , MR 1265452 , S2CID 6103528
- ^ a b c Jin, Gyo Taek (2005), "Quadrisecants de nudos con pequeño número de cruces", Modelos físicos y numéricos en la teoría de nudos (PDF) , Ser. Knots Everything, 36 , World Sci. Publ., Singapur, págs. 507–523, doi : 10.1142 / 9789812703460_0025 , MR 2197955
- ^ a b Denne, Elizabeth Jane (2004), cuadrículas alternas de nudos , Ph.D. tesis, Universidad de Illinois en Urbana-Champaign , arXiv : math / 0510561 , Bibcode : 2005math ..... 10561D
- ^ Denne, Elizabeth; Diao, Yuanan; Sullivan, John M. (2006), "Quadrisecants dan nuevos límites inferiores para la longitud de la cuerda de un nudo" , Geometry & Topology , 10 : 1–26, arXiv : math / 0408026 , doi : 10.2140 / gt.2006.10.1 , MR 2207788 , S2CID 5770206
- ^ Bai, Sheng; Wang, Chao; Wang, Jiajun (2018), "Contraejemplos a la conjetura de aproximación de quadrisecant", Journal of Knot Theory and its Ramifications , 27 (2), 1850022, arXiv : 1605.00538 , doi : 10.1142 / S0218216518500220 , MR 3770471
- ^ Cayley, Arthur (1863), Philosophical Transactions of the Royal Society of London , 153 , The Royal Society, págs. 453–483, JSTOR 108806
- ^ Griffiths, Phillip; Harris, Joseph (2011), Principios de geometría algebraica , Biblioteca de clásicos de Wiley, 52 , John Wiley & Sons, p. 296, ISBN 9781118030776
- ^ Welchman, WG (abril de 1932), "Note on the trisecants and quadrisecants of a space curve", Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society , 28 (2): 206-208, doi : 10.1017 / s0305004100010872
- ^ Maxwell, Edwin A. (julio de 1935), "Note on the formula for the number of quadrisecants of a curve in space of three dimensional", Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society , 31 (3): 324-326, doi : 10.1017 / s0305004100013086
- ^ Hilbert, David ; Cohn-Vossen, Stephan (1952), Geometry and the Imagination (2ª ed.), Nueva York: Chelsea, p. 164, ISBN 978-0-8284-1087-8
- ^ Schläfli, Ludwig (1858), Cayley, Arthur (ed.), "Un intento de determinar las veintisiete líneas sobre una superficie de tercer orden, y derivar tales superficies en especies, en referencia a la realidad de las líneas sobre la superficie " , Quarterly Journal of Pure and Applied Mathematics , 2 : 55–65, 110–120
- ^ Coxeter, HSM (2006), "Una propiedad absoluta de cuatro círculos mutuamente tangentes", Geometrías no euclidianas , Matemáticas. Apl. (NY), 581 , Nueva York: Springer, págs. 109-114, doi : 10.1007 / 0-387-29555-0_5 , MR 2191243; Coxeter repite la construcción de Schläfli y proporciona varias referencias a pruebas simplificadas de su corrección.