En geometría diferencial , la curvatura absoluta total de una curva suave es un número definido integrando el valor absoluto de la curvatura alrededor de la curva. Es una cantidad adimensional que es invariante bajo las transformaciones de semejanza de la curva y que se puede usar para medir qué tan lejos está la curva de ser una curva convexa . [1]
Si la curva está parametrizada por su longitud de arco , la curvatura absoluta total se puede expresar mediante la fórmula
donde s es el parámetro de longitud del arco y κ es la curvatura. Esta es casi la misma que la fórmula para la curvatura total , pero difiere en el uso del valor absoluto en lugar de la curvatura con signo. [2]
Debido a que la curvatura total de una curva cerrada simple en el plano euclidiano es siempre exactamente 2 π , la curvatura absoluta total de una curva cerrada simple también es siempre al menos 2 π . Es exactamente 2 π para una curva convexa , y mayor que 2 π siempre que la curva no tenga convexidades. [2] Cuando una curva cerrada simple suave experimenta el flujo de acortamiento de la curva , su curvatura absoluta total disminuye monótonamente hasta que la curva se vuelve convexa, después de lo cual su curvatura absoluta total permanece fija en 2 π hasta que la curva colapsa a un punto. [3] [4]
La curvatura absoluta total también se puede definir para curvas en el espacio euclidiano tridimensional . Nuevamente, es al menos 2 π , pero puede ser mayor. Si una curva espacial está rodeada por una esfera, la curvatura absoluta total de la esfera es igual al valor esperado de la proyección central de la curva sobre un plano tangente a un punto aleatorio de la esfera. [5] Según el teorema de Fáry-Milnor , cada nudo liso no trivial debe tener una curvatura absoluta total mayor que 4 π . [2]
Referencias
- ↑ Brook, Alexander; Bruckstein, Alfred M .; Kimmel, Ron (2005), "Sobre medidas de equidad invariantes en la similitud", en Kimmel, Ron ; Sochen, Nir A .; Weickert, Joachim (eds.), Scale Space and PDE Methods in Computer Vision: 5th International Conference, Scale-Space 2005, Hofgeismar, Alemania, 7-9 de abril de 2005, Actas , Lecture Notes in Computer Science, 3459 , Springer-Verlag , págs. 456–467, doi : 10.1007 / 11408031_39.
- ^ a b c Chen, Bang-Yen (2000), "subvariedades de Riemannian", Manual de geometría diferencial, vol. I , Holanda Septentrional, Amsterdam, págs. 187–418, doi : 10.1016 / S1874-5741 (00) 80006-0 , MR 1736854. Véase en particular la sección 21.1, "Índice de rotación y curvatura total de una curva", págs. 359–360 .
- ^ Brakke, Kenneth A. (1978), El movimiento de una superficie por su curvatura media (PDF) , Notas matemáticas, 20 , Princeton University Press, Princeton, Nueva Jersey, Apéndice B, Proposición 2, p. 230, ISBN 0-691-08204-9, MR 0485012.
- ^ Chou, Kai-Seng; Zhu, Xi-Ping (2001), El problema del acortamiento de curvas , Boca Raton, Florida: Chapman & Hall / CRC, Lemma 5.5, p. 130 y Sección 6.1, págs. 144–147, doi : 10.1201 / 9781420035704 , ISBN 1-58488-213-1, Señor 1888641.
- ^ Banchoff, Thomas F. (1970), "Curvatura central total de curvas", Duke Mathematical Journal , 37 (2): 281-289, doi : 10.1215 / S0012-7094-70-03736-1 , MR 0259815.