En lógica y matemáticas , la contraposición se refiere a la inferencia de pasar de un enunciado condicional a su contrapositivo lógicamente equivalente , y un método de prueba asociado conocido como prueba por contraposición. [1] El contrapositivo de un enunciado tiene su antecedente y consecuente invertido y volteado . Por ejemplo, la contraposición del enunciado condicional " Si está lloviendo, entonces me pongo mi abrigo" es el enunciado " Si no me pongo el abrigo, entonces no está lloviendo". En fórmulas : el contrapositivo de es . [2] La ley de la contraposición dice que un enunciado condicional es verdadero si, y solo si, su contrapositivo es verdadero. [3]
El contrapositivo se puede comparar con otros tres enunciados condicionales relacionados con :
- Inversión (la inversa ),
- " Si no está lloviendo, entonces no uso mi abrigo ". A diferencia del contrapositivo, el valor de verdad del inverso no depende en absoluto de si la proposición original era verdadera o no, como se evidencia aquí.
- Conversión (lo contrario ),
- " Si uso mi abrigo, entonces está lloviendo ". El inverso es en realidad el contrapositivo del inverso, por lo que siempre tiene el mismo valor de verdad que el inverso (que, como se dijo anteriormente, no siempre comparte el mismo valor de verdad que el de la proposición original).
- La negación ,
- " No es el caso de que si llueve, entonces me pongo mi abrigo ", o de manera equivalente, " A veces, cuando está lloviendo, no me pongo mi abrigo ". Si la negación es cierta, entonces la proposición original ( y por extensión el contrapositivo) es falso.
Tenga en cuenta que si es cierto y a uno se le da que es falso (es decir, ), entonces lógicamente se puede concluir que debe ser también falso (es decir, ). A esto se le suele llamar la ley de lo contrapositivo o la regla de inferencia del modus tollens . [4]
Explicación intuitiva
En el diagrama de Euler que se muestra, si algo está en A, también debe estar en B. Entonces podemos interpretar "todo A está en B" como:
También está claro que cualquier cosa que no esté dentro de B (la región azul) tampoco puede estar dentro de A. Esta declaración, que se puede expresar como:
es la contraposición de la declaración anterior. Por tanto, se puede decir que
- .
En la práctica, esta equivalencia se puede utilizar para facilitar la prueba de una declaración. Por ejemplo, si se desea probar que todas las niñas de los Estados Unidos (A) tienen el pelo castaño (B), se puede intentar probar directamente comprobando que todas las chicas de los Estados Unidos tienen el pelo castaño, o intente demostrar comprobando que todas las chicas sin cabello castaño están fuera de los EE. UU. En particular, si uno encontrara al menos una chica sin cabello castaño dentro de los EE. UU., Entonces habría refutado, y de manera equivalente .
En general, para cualquier declaración en donde A implica B , no B siempre implica no una . Como resultado, probar o refutar cualquiera de estas declaraciones prueba o refuta automáticamente la otra, ya que son lógicamente equivalentes entre sí.
Definicion formal
Una proposición Q está implicada por una proposición P cuando se cumple la siguiente relación:
Esto establece que, "si , luego ", o" si Sócrates es un hombre , entonces Sócrates es humano ". En un condicional como este,es el antecedente , yes el consecuente . Un enunciado es contrapositivo del otro sólo cuando su antecedente es el consecuente negado del otro, y viceversa. Por lo tanto, un contrapositivo generalmente toma la forma de:
- .
Es decir, "Si no-, entonces no-", o, más claramente," Si no es el caso, entonces P no es el caso ". Usando nuestro ejemplo, esto se traduce como" Si Sócrates no es humano , entonces Sócrates no es un hombre ". Se dice que esta afirmación está contrapuesta a la original y es lógicamente equivalente Debido a su equivalencia lógica , afirmar uno afirma efectivamente el otro, cuando uno es verdadero , el otro también lo es, y cuando uno es falso, el otro también es falso.
Estrictamente hablando, una contraposición solo puede existir en dos condicionales simples. Sin embargo, también puede existir una contraposición en dos condicionales universales complejos, si son similares. Por lo tanto,o "Todos s son s, "se contrapone a o "Todos los que nos no sons. " [5]
Prueba simple por definición de un condicional
En la lógica de primer orden , el condicional se define como:
que puede hacerse equivalente a su contrapositivo, de la siguiente manera:
Prueba simple por contradicción
Dejar:
Se da que, si A es verdadero, entonces B es verdadero, y también se da que B no es verdadero. Entonces podemos mostrar que A no debe ser verdadero por contradicción. Porque si A fuera verdad, entonces B también tendría que ser verdad (por Modus Ponens ). Sin embargo, se da que B no es cierto, por lo que tenemos una contradicción. Por lo tanto, A no es verdadera (asumiendo que estamos tratando con declaraciones bivalentes que son verdaderas o falsas):
Podemos aplicar el mismo proceso al revés, comenzando con los supuestos de que:
Aquí, también sabemos que B es verdadero o falso. Si B no es cierto, entonces A tampoco lo es. Sin embargo, se da que A es cierto, por lo que la suposición de que B no es cierto conduce a una contradicción, lo que significa que no es el caso que B no sea cierto. Por tanto, B debe ser verdadera:
Combinando los dos enunciados demostrados juntos, obtenemos la equivalencia lógica buscada entre un condicional y su contrapositivo:
Prueba más rigurosa de la equivalencia de contrapositivos.
La equivalencia lógica entre dos proposiciones significa que son verdaderas juntas o falsas juntas. Para demostrar que los contrapositivos son lógicamente equivalentes , debemos comprender cuándo la implicación material es verdadera o falsa.
Esto solo es falso cuando es cierto y Es falso. Por lo tanto, podemos reducir esta proposición al enunciado "Falso cuando y no-"(es decir," Verdadero cuando no es el caso que y no-"):
Los elementos de una conjunción se pueden revertir sin efecto (por conmutatividad ):
Definimos como igual a "", y como igual a (de esto, es igual a , que es igual a solo ):
Esto dice "No es el caso que ( R es verdadero y S es falso)", que es la definición de un condicional material. Entonces podemos hacer esta sustitución:
Al invertir R y S de nuevo en y , obtenemos el contrapositivo deseado:
Comparaciones
nombre | formulario | descripción |
---|---|---|
implicación | si P entonces Q | la primera declaración implica la verdad de la segunda |
inverso | si no es P, entonces no Q | negación de ambas declaraciones |
conversar | si Q entonces P | reversión de ambas declaraciones |
contrapositivo | si no Q entonces no P | inversión y negación de ambos enunciados |
negación | P y no Q | contradice la implicación |
Ejemplos de
Tomemos el enunciado " Todos los objetos rojos tienen color " . Esto se puede expresar de manera equivalente como " Si un objeto es rojo, entonces tiene color " .
- El contrapositivo es " Si un objeto no tiene color, entonces no es rojo " . Esto se sigue lógicamente de nuestro enunciado inicial y, al igual que él, es evidentemente cierto.
- La inversa es " Si un objeto no es rojo, entonces no tiene color " . Un objeto que es azul no es rojo y aún tiene color. Por tanto, en este caso lo inverso es falso.
- Lo contrario es " Si un objeto tiene color, entonces es rojo " . Los objetos pueden tener otros colores, por lo que la inversa de nuestra afirmación es falsa.
- La negación es " Existe un objeto rojo que no tiene color " . Esta afirmación es falsa porque la afirmación inicial que niega es verdadera.
En otras palabras, el contrapositivo es lógicamente equivalente a un enunciado condicional dado , aunque no es suficiente para un bicondicional .
De manera similar, tome el enunciado " Todos los cuadriláteros tienen cuatro lados " , o exprese de manera equivalente " Si un polígono es un cuadrilátero, entonces tiene cuatro lados " .
- El contrapositivo es " Si un polígono no tiene cuatro lados, entonces no es un cuadrilátero " . Esto se sigue lógicamente y, como regla, los contrapositivos comparten el valor de verdad de su condicional.
- La inversa es " Si un polígono no es un cuadrilátero, entonces no tiene cuatro lados " . En este caso, a diferencia del último ejemplo, la inversa del enunciado es verdadera.
- Lo opuesto es " Si un polígono tiene cuatro lados, entonces es un cuadrilátero " . Nuevamente, en este caso, a diferencia del último ejemplo, lo opuesto al enunciado es verdadero.
- La negación es " Hay al menos un cuadrilátero que no tiene cuatro lados " . Esta afirmación es claramente falsa.
Dado que el enunciado y el recíproco son ambos verdaderos, se le llama bicondicional y se puede expresar como " Un polígono es un cuadrilátero si, y solo si, tiene cuatro lados " (la frase si y solo si a veces se abrevia como iff .) Es decir, tener cuatro lados es necesario para ser un cuadrilátero, y solo suficiente para considerarlo un cuadrilátero.
Verdad
- Si un enunciado es verdadero, entonces su contrapositivo es verdadero (y viceversa).
- Si un enunciado es falso, entonces su contrapositivo es falso (y viceversa).
- Si el inverso de un enunciado es verdadero, entonces su inverso es verdadero (y viceversa).
- Si la inversa de una declaración es falsa, entonces su inversa es falsa (y viceversa).
- Si la negación de un enunciado es falso, entonces el enunciado es verdadero (y viceversa).
- Si un enunciado (o su contrapositivo) y el inverso (o el inverso) son ambos verdaderos o ambos falsos, entonces se conoce como un bicondicional lógico .
Solicitud
Debido a que el contrapositivo de un enunciado siempre tiene el mismo valor de verdad (verdad o falsedad) que el enunciado mismo, puede ser una herramienta poderosa para probar teoremas matemáticos (especialmente si la verdad del contrapositivo es más fácil de establecer que la verdad del enunciado sí mismo). [1] Una prueba por contraposición (contrapositiva) es una prueba directa de la contraposición de una declaración. [6] Sin embargo, métodos indirectos como la prueba por contradicción también se pueden utilizar con contraposición, como, por ejemplo, en la prueba de la irracionalidad de la raíz cuadrada de 2 . Por la definición de un número racional , se puede afirmar que " Sies racional, entonces puede expresarse como una fracción irreducible ". Esta afirmación es verdadera porque es una reformulación de una definición. El contrapositivo de esta afirmación es" Sino puede expresarse como una fracción irreducible, entonces no es racional ". Este contrapositivo, como el enunciado original, también es cierto. Por lo tanto, si se puede probar que no puede expresarse como una fracción irreducible, entonces debe darse el caso de que no es un número racional. Esto último puede probarse por contradicción.
El ejemplo anterior empleó el contrapositivo de una definición para demostrar un teorema. También se puede probar un teorema demostrando el contrapositivo del enunciado del teorema. Para demostrar que si un entero positivo N es un número no cuadrado , su raíz cuadrada es irracional , podemos probar de manera equivalente su contraposición, que si un entero positivo N tiene una raíz cuadrada que es racional, entonces N es un número cuadrado. Esto se puede demostrar por el ajuste √ N igual a la expresión racional a / b con un y b ser números enteros positivos sin factor primo común, y cuadratura para obtener N = un 2 / b 2 y tomando nota de que, puesto que N es un entero positivo b = 1 de modo que N = a 2 , un número cuadrado.
Correspondencia a otros marcos matemáticos
Cálculo de probabilidades
La contraposición representa una instancia del teorema de Bayes que en una forma específica se puede expresar como:
.
En la ecuación anterior a la probabilidad condicional generaliza el enunciado lógico , es decir, además de asignar VERDADERO o FALSO también podemos asignar cualquier probabilidad al enunciado. El terminodenota la tasa base (también conocida como la probabilidad previa ) de. Asumir que es equivalente a siendo VERDADERO, y que es equivalente a siendo FALSO. Entonces es fácil ver que Cuándo es decir, cuando es verdad. Esto es porque de modo que la fracción en el lado derecho de la ecuación anterior es igual a 1, y por lo tanto que es equivalente a siendo VERDADERO. Por tanto, el teorema de Bayes representa una generalización de la contraposición . [7]
Lógica subjetiva
La contraposición representa una instancia del teorema subjetivo de Bayes en lógica subjetiva expresada como:
,
dónde denota un par de opiniones condicionales binomiales dadas por la fuente . El parámetrodenota la tasa base (también conocida como la probabilidad previa ) de. El par de opiniones condicionales invertidas se denota. La opinión condicional generaliza el enunciado lógico , es decir, además de asignar VERDADERO o FALSO la fuente puede asignar cualquier opinión subjetiva al enunciado. El caso donde es una opinión VERDADERA absoluta es equivalente a la fuente Diciendo que es VERDADERO, y el caso donde es una opinión FALSA absoluta es equivalente a la fuente Diciendo que Es falso. En el caso de que la opinión condicional es VERDADERO absoluto el operador subjetivo del teorema de Bayes de la lógica subjetiva produce una opinión condicional FALSA absoluta y por lo tanto una opinión condicional VERDADERA absoluta que es equivalente a siendo VERDADERO. Por tanto, el teorema subjetivo de Bayes representa una generalización tanto de la contraposición como del teorema de Bayes . [8]
Ver también
- Reducción al absurdo
Referencias
- ^ a b "El glosario definitivo de jerga matemática superior - Contrapositivo" . Bóveda de matemáticas . 2019-08-01 . Consultado el 26 de noviembre de 2019 .
- ^ "Definición de CONTRAPOSITIVO" . www.merriam-webster.com . Consultado el 26 de noviembre de 2019 .
- ^ "La ley de la contraposición" . beisecker.faculty.unlv.edu . Consultado el 26 de noviembre de 2019 .
- ^ "Modus ponens y modus tollens | lógica" . Enciclopedia Británica . Consultado el 26 de noviembre de 2019 .
- ^ "Predicados y enunciados cuantificados II" . www.csm.ornl.gov . Consultado el 26 de noviembre de 2019 .
- ^ Smith, Douglas; Eggen, Maurice; St. Andre, Richard (2001), A Transition to Advanced Mathematics (5ª ed.), Brooks / Cole, p. 37, ISBN 0-534-38214-2
- ↑ Audun Jøsang, 2016: 2
- ^ Audun Jøsang 2016: 92
Fuentes
- Audun Jøsang, 2016, Lógica subjetiva; Un formalismo para el razonamiento bajo incertidumbre Springer, Cham, ISBN 978-3-319-42337-1
enlaces externos
- Medios relacionados con la contraposición en Wikimedia Commons