Campo vectorial
En cálculo vectorial y física, un campo vectorial es una asignación de un vector a cada punto en un subconjunto del espacio . [1] Por ejemplo, un campo vectorial en el plano se puede visualizar como una colección de flechas con una magnitud y dirección determinadas, cada una unida a un punto en el plano. Los campos vectoriales se utilizan a menudo para modelar, por ejemplo, la velocidad y dirección de un fluido en movimiento por el espacio, o la fuerza y dirección de alguna fuerza , como la fuerza magnética o gravitacional , a medida que cambia de un punto a otro.
Los elementos del cálculo diferencial e integral se extienden naturalmente a los campos vectoriales. Cuando un campo vectorial representa una fuerza , la integral de línea de un campo vectorial representa el trabajo realizado por una fuerza que se mueve a lo largo de una trayectoria y, según esta interpretación, la conservación de la energía se presenta como un caso especial del teorema fundamental del cálculo . Es útil pensar que los campos vectoriales representan la velocidad de un flujo en movimiento en el espacio, y esta intuición física conduce a nociones como la divergencia (que representa la tasa de cambio de volumen de un flujo) y el rizo (que representa la rotación de un flujo). un flujo).
En coordenadas, un campo vectorial en un dominio en el espacio euclidiano n- dimensional se puede representar como una función con valores vectoriales que asocia una n- tupla de números reales a cada punto del dominio. Esta representación de un campo vectorial depende del sistema de coordenadas y existe una ley de transformación bien definida al pasar de un sistema de coordenadas a otro. Los campos vectoriales a menudo se analizan en subconjuntos abiertos del espacio euclidiano, pero también tienen sentido en otros subconjuntos, como superficies , donde asocian una flecha tangente a la superficie en cada punto (un vector tangente ).
De manera más general, los campos vectoriales se definen en variedades diferenciables , que son espacios que se parecen al espacio euclidiano en escalas pequeñas, pero que pueden tener una estructura más complicada en escalas más grandes. En esta configuración, un campo vectorial da un vector tangente en cada punto de la variedad (es decir, una sección del paquete tangente a la variedad). Los campos vectoriales son un tipo de campo tensorial .
Dado un subconjunto S en R n , un campo vectorial se representa mediante una función con valores vectoriales V : S → R n en coordenadas cartesianas estándar ( x 1 ,…, x n ) . Si cada componente de V es continuo, entonces V es un campo vectorial continuo y, más generalmente, V es un campo vectorial C k si cada componente de V es k veces continuamente diferenciable .
Un campo vectorial se puede visualizar como la asignación de un vector a puntos individuales dentro de un espacio n -dimensional. [1]
