División justa de un solo recurso homogéneo

La división justa de un solo recurso homogéneo es uno de los escenarios más simples en los problemas de división justa . Hay un solo recurso que debe dividirse entre varias personas. El desafío es que cada persona obtiene una utilidad diferente de cada cantidad de recurso. Por lo tanto, existen varios principios contradictorios para decidir cómo se debe dividir el recurso. Un conflicto principal es entre eficiencia e igualdad. La eficiencia está representada por la regla utilitarista , que maximiza la suma de utilidades; la igualdad está representada por la regla igualitaria , que maximiza la utilidad mínima. ^{[1] : sub.2.5}

Configuración

En una determinada sociedad, existen:

• ${\displaystyle t}$ unidades de algún recurso divisible.
• ${\displaystyle n}$ agentes con diferentes "utilidades".
• La utilidad del agente ${\displaystyle i}$ está representado por una función ${\displaystyle u_{i}}$; cuando el agente${\displaystyle i}$ recibe ${\displaystyle y_{i}}$ unidades de recurso, de él deriva una utilidad de ${\displaystyle u_{i}(y_{i})}$.

Esta configuración puede tener varias interpretaciones. Por ejemplo: ^{[1] : 44}

• El recurso es la madera, los agentes son constructores y las funciones de utilidad representan su poder productivo. ${\displaystyle u_{i}(y_{i})}$ es la cantidad de edificios que el agente ${\displaystyle i}$ puede construir usando ${\displaystyle y_{i}}$ unidades de madera.
• El recurso es un medicamento, los agentes son pacientes y las funciones de utilidad representan su posibilidad de recuperación. ${\displaystyle u_{i}(y_{i})}$ es la probabilidad del agente ${\displaystyle i}$ para recuperarse consiguiendo ${\displaystyle y_{i}}$ dosis de la medicación.

En cualquier caso, la sociedad tiene que decidir cómo dividir el recurso entre los agentes: tiene que encontrar un vector ${\displaystyle y_{1},\dots ,y_{n}}$ tal que: ${\displaystyle y_{1}+\cdots +y_{n}=t}$

Reglas de asignación

Sin envidia

La Envidia-gratuidad regla dice que el recurso debe ser asignado de tal manera que ningún agente envidia a otro agente. En el caso de un solo recurso homogéneo, siempre selecciona la asignación que le da a cada agente la misma cantidad de recurso, independientemente de su función de utilidad:

${\displaystyle \forall i:y_{i}=t/n}$

Utilitario

La regla utilitarista dice que la suma de utilidades debe maximizarse. Por tanto, la asignación utilitaria es:

${\displaystyle y=\arg \max _{y}\sum _{i}u_{i}(y_{i})}$

Igualitario

La regla igualitaria dice que las utilidades de todos los agentes deben ser iguales. Por lo tanto, nos gustaría seleccionar una asignación que satisfaga:

${\displaystyle \forall i,j:u_{i}(y_{i})=u_{j}(y_{j})}$

Sin embargo, es posible que dicha asignación no exista, ya que es posible que los rangos de las funciones de utilidad no se superpongan (consulte el ejemplo a continuación). Para asegurar que exista una solución, permitimos diferentes niveles de utilidad, pero requerimos que los agentes con niveles de utilidad por encima del mínimo no reciban recursos:

${\displaystyle y_{i}>0\implies u_{i}(y_{i})=\min _{j}u_{j}(y_{j})}$

De manera equivalente, la asignación igualitaria maximiza la utilidad mínima:

${\displaystyle y=\arg \max _{y}\min _{i}u_{i}(y_{i})}$

Las reglas utilitarias e igualitarias pueden conducir a la misma asignación oa diferentes asignaciones, dependiendo de las funciones de utilidad. A continuación se ilustran algunos ejemplos.

Ejemplos

Utilidad común y dotaciones desiguales

Suponga que todos los agentes tienen la misma función de utilidad, ${\displaystyle u}$, pero cada agente ${\displaystyle i}$ tiene una dotación inicial diferente, ${\displaystyle x_{i}}$. Entonces la utilidad de cada agente${\displaystyle i}$ es dado por:

${\displaystyle u_{i}(y_{i})=u(x_{i}+y_{i})}$

Si ${\displaystyle u}$es una función cóncava , que representa rendimientos decrecientes , entonces las asignaciones utilitarias e igualitarias son las mismas, tratando de igualar las dotaciones de los agentes. Por ejemplo, si hay 3 agentes con dotaciones iniciales${\displaystyle x=2,4,9}$ y la cantidad total es ${\displaystyle t=8}$, entonces ambas reglas recomiendan la asignación ${\displaystyle y=5,3,0}$, ya que empuja hacia utilidades iguales (tanto como sea posible) y maximiza la suma de utilidades.

Por el contrario, si ${\displaystyle u}$es una función convexa , que representa rendimientos crecientes , entonces la asignación igualitaria todavía empuja hacia la igualdad, pero la asignación utilitaria ahora le da toda la dotación al agente más rico:${\displaystyle y=0,0,9}$. ^{[1] : 45} Esto tiene sentido, por ejemplo, cuando el recurso es un medicamento escaso: socialmente puede ser mejor administrar todos los medicamentos al paciente con mayores posibilidades de curación.

Ratios de utilidad constante

Supongamos que existe una función de utilidad común ${\displaystyle u}$, pero cada agente tiene un coeficiente diferente ${\displaystyle a_{i}}$que representa la productividad de este agente. Entonces la utilidad de cada agente${\displaystyle i}$ es dado por:

${\displaystyle u_{i}(y_{i})=a_{i}\cdot u(y_{i})}$

Aquí, los enfoques utilitario e igualitario son diametralmente opuestos. ^{[1] : 46–47}

• La asignación igualitaria da más recursos a los agentes menos productivos, con el fin de compensarlos y permitirles alcanzar un alto nivel de utilidad:

  ${\displaystyle a_{i}>a_{j}\implies y_{j}>y_{i}}$

• La asignación utilitaria da más recursos a los agentes más productivos, ya que utilizarán mejor los recursos: \

  ${\displaystyle a_{i}>a_{j}\implies y_{i}>y_{j}}$

Propiedades de las reglas de asignación

• Monotonicidad de recursos : la regla sin envidia y la regla igualitaria son siempre monotónicas de recursos. La regla utilitarista es monótona en cuanto a los recursos cuando todas las funciones de utilidad son funciones cóncavas , que representan rendimientos decrecientes ; pero, cuando algunas funciones de utilidad son funciones convexas , que representan rendimientos crecientes , la regla utilitarista puede no ser monótona en cuanto a recursos. ^{[1] : 47}

Ver también

• Utilitarismo
• Igualitarismo

Referencias

1. Herve Moulin (2004). División Justa y Bienestar Colectivo . Cambridge, Massachusetts: MIT Press. ISBN 9780262134231.