La conjetura del cetrero

En la teoría de la medida geométrica , la conjetura de Falconer , llamada así por Kenneth Falconer , es un problema sin resolver sobre los conjuntos de distancias euclidianas entre puntos en espacios de dimensiones compactas . Intuitivamente, establece que un conjunto de puntos que es grande en su dimensión de Hausdorff debe determinar un conjunto de distancias que es grande en medida . Más precisamente, si es un conjunto compacto de puntos en un espacio euclidiano bidimensional cuya dimensión de Hausdorff es estrictamente mayor que , entonces la conjetura establece que el conjunto de distancias entre pares de puntos en debe tener una medida de Lebesgue distinta de cero ${\ estilo de visualización d}$ ${\ estilo de visualización S}$ ${\ estilo de visualización d}$ ${\ estilo de visualización d/2}$ ${\ estilo de visualización S}$ .

Falconer (1985) demostró que los conjuntos de Borel con dimensión de Hausdorff son mayores que los conjuntos de distancia con medida distinta de cero. ^[1] Motivó este resultado como una generalización multidimensional del teorema de Steinhaus , un resultado previo de Hugo Steinhaus demostrando que todo conjunto de números reales con medida distinta de cero debe tener un conjunto de diferencias que contiene un intervalo de la forma para algunos . ^[2] También puede verse como un análogo continuo del problema de distancias distintas de Erdős , que establece que grandes conjuntos finitos de puntos deben tener un gran número de distancias distintas. ${\ estilo de visualización (d+1)/2}$ ${\ estilo de visualización (- \ varepsilon, \ varepsilon)}$ ${\ estilo de visualización \ varepsilon > 0}$

Erdoğan (2005) demostró que los conjuntos compactos de puntos cuya dimensión de Hausdorff es mayor que tienen conjuntos de distancia con medida distinta de cero; para valores grandes de esto se aproxima al umbral de la dimensión de Hausdorff dado por la conjetura de Falconer. ^[3] Para puntos en el plano euclidiano , los conjuntos de Borel de dimensión de Hausdorff mayores que 5/4 tienen conjuntos de distancia con medida distinta de cero y, más fuertemente, tienen un punto tal que la medida de Lebesgue de las distancias del conjunto a este punto es positivo. ^[4] ${\tfrac {d}{2}}+{\tfrac {1}{3}}$ ${\ estilo de visualización d}$

Una variante de la conjetura de Falconer establece que, para puntos en el plano, un conjunto compacto cuya dimensión de Hausdorff es mayor o igual a uno debe tener un conjunto de distancias de dimensión uno de Hausdorff. Esto se deduce de los resultados de medida para conjuntos de dimensión de Hausdorff mayores que 5/4. Para un conjunto plano compacto con dimensión de Hausdorff al menos uno, el conjunto de distancia debe tener una dimensión de Hausdorff al menos 1/2. ^[5]

Probar un límite estrictamente mayor que 1/2 para la dimensión del conjunto de distancias en el caso de conjuntos planos compactos con al menos una dimensión de Hausdorff sería equivalente a resolver varias otras conjeturas no resueltas. Estos incluyen una conjetura de Paul Erdős sobre la existencia de subanillos de Borel de los números reales con dimensión fraccionaria de Hausdorff, y una variante del problema de conjuntos de Kakeya sobre la dimensión de conjuntos de Hausdorff tal que, para cada dirección posible, hay un segmento de línea cuyo intersección con el conjunto tiene una dimensión de Hausdorff alta. ^[6] Estas conjeturas fueron resueltas por Bourgain.

Para funciones de distancia no euclidianas en el plano definido por normas poligonales, el análogo de la conjetura de Falconer es falso: existen conjuntos de Hausdorff de dimensión dos cuyos conjuntos de distancia tienen medida cero. ^[7]^[8]