Distancia establecida

En geometría , el conjunto de distancias de una colección de puntos es el conjunto de distancias entre distintos pares de puntos. Por tanto, puede verse como la generalización de un conjunto de diferencias , el conjunto de distancias (y sus negaciones) en conjuntos de números.

Varios problemas y resultados en geometría se refieren a conjuntos de distancias, generalmente basados ​​en el principio de que una gran colección de puntos debe tener un gran conjunto de distancias (para diferentes definiciones de "grande"):

• La conjetura de Falconer es la afirmación de que, para una colección de puntos en el espacio dimensional que tiene una dimensión de Hausdorff mayor que , el conjunto de distancias correspondiente tiene una medida de Lebesgue distinta de cero . Aunque se conocen resultados parciales, la conjetura sigue sin ser probada. ^[1]${\displaystyle d}$${\displaystyle d/2}$
• El problema de Erdős-Ulam pregunta si es posible tener un conjunto denso en el plano euclidiano cuyo conjunto de distancias consista sólo en números racionales . Una vez más, queda sin resolver. ^[2]
• El teorema de Fermat sobre las sumas de dos cuadrados caracteriza los números en el conjunto de distancias de la red de enteros bidimensionales : son las raíces cuadradas de enteros cuya factorización prima no contiene un número impar de copias de ningún primo congruente con 3 mod 4. De manera análoga , El teorema de los tres cuadrados de Legendre caracteriza el conjunto de distancias de la retícula de enteros tridimensionales, y el teorema de los cuatro cuadrados de Lagrange caracteriza el conjunto de distancias de las retículas de enteros en cuatro y dimensiones superiores como las raíces cuadradas de los enteros sin restricciones adicionales. En celosías de cinco o más dimensiones, cada subconjunto de la celosía con densidad superior distinta de cero tiene un conjunto de distancias que contiene los cuadrados de un infinitoprogresión aritmética . ^[3]
• De acuerdo con el teorema de Erdős-Anning , cada conjunto infinito de puntos en el plano euclidiano que no se encuentra en una línea tiene un número no entero en su conjunto de distancias. ^[4]
• Las cuadrículas cuadradas de puntos tienen conjuntos de distancias de tamaño sublineal, en contraste con los puntos en posición general cuyo conjunto de distancias es de tamaño cuadrático. Sin embargo, de acuerdo con la solución de 2015 del problema de distancias distintas de Erd de Larry Guth y Nets Katz , el conjunto de distancias de cualquier colección finita de puntos en el plano euclidiano es solo ligeramente sublineal, casi tan grande como la colección dada. ^[5] En particular, solo una colección finita de puntos puede tener un conjunto de distancias finitas.
• Una regla de Golomb es un conjunto finito de puntos en una línea de modo que no hay dos pares de puntos que tengan la misma distancia. Sophie Piccard afirmó que no hay dos gobernantes Golomb que tengan los mismos conjuntos de distancias. La afirmación es incorrecta, pero solo hay un contraejemplo, un par de reglas Golomb de seis puntos con un conjunto de distancias compartidas. ^[6]
• La dimensión equilátera de un espacio métrico es el tamaño más grande de una colección de puntos cuyo conjunto de distancias tiene un solo elemento. La conjetura de Kusner establece que la dimensión equilátera del espacio a -dimensional con la distancia de Manhattan es exactamente , pero esto sigue sin probarse. ^[7]${\displaystyle d}$${\displaystyle 2d}$

Los conjuntos de distancias también se han utilizado como descriptor de formas en la visión por computadora . ^[8]

Referencias

1. Arutyunyants, G .; Iosevich, A. (2004), "Conjetura de Falconer, promedios esféricos y análogos discretos", en Pach, János (ed.), Towards a Theory of Geometric Graphs , Contemp. Math., 342 , Amer. Matemáticas. Soc., Providence, RI, págs. 15-24, doi : 10.1090 / conm / 342/06127 , MR  2065249
2. Klee, Víctor ; Wagon, Stan (1991), "Problema 10 ¿Contiene el plano un conjunto racional denso?", Problemas antiguos y nuevos sin resolver en geometría plana y teoría de números , exposiciones matemáticas Dolciani, 11 , Cambridge University Press, págs. 132-135, ISBN 978-0-88385-315-3.
3. Magyar, Ákos (2008), "En conjuntos de distancias de grandes conjuntos de puntos enteros", Israel Journal of Mathematics , 164 : 251-263, doi : 10.1007 / s11856-008-0028-z , MR 2391148 , S2CID 17629304  
4. Anning, Norman H .; Erdős, Paul (1945), "Distancias integrales" , Boletín de la American Mathematical Society , 51 (8): 598–600, doi : 10.1090 / S0002-9904-1945-08407-9.
5. Guth, Larry; Katz, Nets Hawk (2015), "Sobre el problema de distancias distintas de Erd en el plano", Annals of Mathematics , 181 (1): 155-190, arXiv : 1011.4105 , doi : 10.4007 / annals.2015.181.1.2 , MR 3272924 
6. Bekir, Ahmad; Golomb, Solomon W. (2007), "No hay más contraejemplos del teorema de S. Piccard", IEEE Transactions on Information Theory , 53 (8): 2864-2867, doi : 10.1109 / TIT.2007.899468 , MR 2400501 , S2CID 16689687  
7. Koolen, Jack; Laurent, Monique ; Schrijver, Alexander (2000), "Dimensión equilátera del espacio rectilíneo", Diseños, códigos y criptografía , 21 (1): 149-164, doi : 10.1023 / A: 1008391712305 , MR 1801196 , S2CID 9391925  
8. Grigorescu, C .; Petkov, N. (octubre de 2003), "Conjuntos de distancias para filtros de forma y reconocimiento de formas" (PDF) , IEEE Transactions on Image Processing , 12 (10): 1274–1286, doi : 10.1109 / tip.2003.816010 , hdl : 11370 / dd4f402f-91b0-47ae-94ec-29428a2d8fb9 , PMID 18237892