Difusión False es un tipo de error observada cuando el esquema upwind se utiliza para aproximar la convección plazo en ecuaciones de convección-difusión . El esquema de diferencia central más preciso se puede utilizar para el término de convección , pero para cuadrículas con número de Peclet de celdamás de 2, el esquema de diferencia central es inestable y a menudo se usa el esquema de ceñida más simple. El error resultante del esquema de diferenciación a barlovento tiene una apariencia de difusión en sistemas de coordenadas bidimensionales o tridimensionales y se denomina "difusión falsa". Los errores de falsa difusión en las soluciones numéricas de problemas de convección-difusión, en dos y tres dimensiones, surgen de las aproximaciones numéricas del término de convección en las ecuaciones de conservación. Durante los últimos 20 años se han desarrollado muchas técnicas numéricas para resolver ecuaciones de convección-difusión y ninguna está libre de problemas, pero la falsa difusión es uno de los problemas más serios y un tema importante de controversia y confusión entre los analistas numéricos .
Definición
La falsa difusión se define como un error que tiene una apariencia de difusión, obtenido cuando el esquema de ceñida se usa en casos multidimensionales para resolver la distribución de propiedades transportadas que fluyen de manera no ortogonal a uno o más de los ejes principales del sistema. El error está ausente cuando el flujo es ortogonal o paralelo a cada eje mayor.
Ejemplo
En la figura 1, u = 2 yv = 2 m / s en todas partes, por lo que el campo de velocidad es uniforme y perpendicular a la diagonal (XX). Las condiciones de contorno para la temperatura en las paredes norte y oeste son 100 ̊C y para las paredes este y sur son 0 ̊C. Esta región está mallada en cuadrículas iguales de 10 × 10. Tome dos casos, (i) con coeficiente de difusión ≠ 0 y, caso (ii) con coeficiente de difusión = 0.
Caso (i)
En este caso, el calor de las paredes oeste y sur es transportado por flujo de convección hacia las paredes norte y este. El calor también se difunde a través de la diagonal XX desde el triángulo superior al inferior. La figura 2 muestra la distribución de temperatura aproximada.
Caso (ii)
En este caso, el calor de la pared oeste y sur se convence mediante un flujo hacia el norte y el este. No habrá difusión a través de la diagonal XX pero, cuando se aplica el esquema de ceñida, los resultados son similares al caso (i) donde se está produciendo la difusión real. Este error se conoce como difusión falsa.
Fondo
En los primeros enfoques, las derivadas en la forma diferencial de la ecuación de transporte gobernante fueron reemplazadas por aproximaciones en diferencias finitas, generalmente aproximaciones de diferenciación central con precisión de segundo orden. Sin embargo, para números de Peclet grandes (generalmente> 2), esta aproximación dio resultados inexactos. Varios investigadores reconocieron de forma independiente [1] [2] que se puede emplear el esquema de ceñida menos costoso pero de primer orden preciso , pero que este esquema produce resultados con falsa difusión para casos multidimensionales. Se han desarrollado muchos esquemas nuevos para contrarrestar la difusión falsa, pero aún no se dispone de un esquema de discretización confiable, preciso y económico.
Reducir errores
Malla más fina
La falsa difusión con el esquema de ceñida se reduce aumentando la densidad de la malla. En los resultados de las figuras 3 y 4, el error de falsa difusión es el más bajo en la figura 4 (b) con un tamaño de malla más fino.
Otros esquemas
Difusión de errores falsos también puede reducirse mediante el uso de esquemas tales como la combinación de energía ley , esquema rápido , esquema exponencial , y Succa , y otros. [3] [4]
Mejorando el esquema de ceñida
Se produce una falsa difusión con el esquema de ceñida simple porque el esquema no tiene en cuenta la inclinación de la dirección de la red / flujo. De Vahl Davis y Mallinson (1972) han dado una expresión aproximada para el término de difusión falsa en dos dimensiones [5].
( 1 )
donde U es la velocidad resultante y θ es el ángulo formado por el vector velocidad con la dirección x . La falsa difusión está ausente cuando el flujo resultante está alineado con cualquiera de los conjuntos de líneas de la cuadrícula y es mayor cuando la dirección del flujo es de 45˚ a las líneas de la cuadrícula.
Determinación de la precisión de aproximación para el término de convección
Usando la serie de Taylor para y en el momento t + kt son
( 2a )
( 2b )
de acuerdo con la aproximación de ceñida para la convección (UAC),. Despreciando el orden superior en la ecuación (2a), el error del flujo convectado debido a esta aproximación es. Tiene la forma de flujo depor falsa difusión con un coeficiente de difusión [6]
( 3 )
El subíndice fc es un recordatorio de que se trata de una difusión falsa que surge de la estimación del flujo convectado en el instante usando UAC.
Algoritmo de convección de esquina inclinada contra el viento ( SUCCA )
SUCCA tiene en cuenta la dirección del flujo local al introducir la influencia de las celdas de las esquinas contra el viento en la ecuación de conservación discretizada en la ecuación de transporte que rige en general. En la Fig. 5, SUCCA se aplica dentro de un grupo de cuadrículas de nueve celdas. Considerando el flujo de entrada de la esquina SO para la celda P, las ecuaciones SUCCA para el transporte convectivo de las especies conservadas están
( 4 )
es decir,
( 5 )
( 6 )
es decir,
( 7 )
Esta formulación satisface todos los criterios de convergencia y estabilidad. [7]
En la Fig. 6, a medida que se refina la malla, el esquema de ceñida da resultados más precisos, pero SUCCA ofrece una solución casi exacta y es más útil para evitar errores multidimensionales de difusión falsa.
Ver también
Referencias
- ^ R. Courant, E.Isaacson y M.Rees. "Sobre la solución de ecuaciones diferenciales hiperbólicas no lineales por diferencia finita, Comm. Pure Appl. Math. 5 (1952) 243-255". Cite journal requiere
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( ayuda ) - ^ KETorrance. "Comparación de cálculos de diferencias finitas de convección natural J.Res NBS 72B (1968) 281-301". Cite journal requiere
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( ayuda ) - ^ Versteeg, HK; Malalasekera, W. (2007). Una introducción a la dinámica de fluidos computacional: el método de volumen finito (2ª ed.). Harlow: Prentice Hall. ISBN 9780131274983.
- ^ Patankar, Suhas V. (1980). Transferencia numérica de calor y flujo de fluidos (14. ed. De impresión). Bristol, PA: Taylor y Francis. ISBN 9780891165224.
- ^ Patankar, Suhas V. (1980). Transferencia de calor numérica y flujo de fluidos página no: 108 (14. ed. De impresión). Bristol, PA: Taylor y Francis. ISBN 9780891165224.
- ^ GD Raithby. "Evaluaciones críticas de diferenciación aguas arriba aplicadas a problemas relacionados con el flujo de fluidos, MÉTODOS DE COMPUTADORA EN MECÁNICA E INGENIERÍA APLICADA, 9 (1976) 75-103". Cite journal requiere
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( ayuda ) - ^ C.Carey, TJScanlon y SMFraser. "SUCCA- Un esquema alternativo para reducir los efectos de la falsa difusión multidimensional, Appl. Math Modeling, 1993, Vol.17, 263-270 de mayo". Cite journal requiere
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( ayuda )
Otras lecturas
- Patankar, Suhas V. (1980), Transferencia numérica de calor y flujo de fluidos , Taylor & Francis Group, ISBN 9780891165224
- Wesseling, Pieter (2001), Principios de dinámica de fluidos computacional , Springer, ISBN 978-3-540-67853-3
- Fecha, Anil W. (2005), Introducción a la dinámica de fluidos computacional , Cambridge University Press, ISBN 9780521853262