campo ordenado

En matemáticas , un campo ordenado es un campo junto con una ordenación total de sus elementos que es compatible con las operaciones de campo. El ejemplo básico de un campo ordenado es el campo de los números reales , y todo campo ordenado completo de Dedekind es isomorfo a los reales.

Cada subcampo de un campo ordenado también es un campo ordenado en el orden heredado. Cada campo ordenado contiene un subcampo ordenado que es isomorfo a los números racionales . Los cuadrados son necesariamente no negativos en un campo ordenado. Esto implica que los números complejos no se pueden ordenar ya que el cuadrado de la unidad imaginaria i es −1 . Los campos finitos no se pueden ordenar.

Históricamente, la axiomatización de un campo ordenado fue abstraída gradualmente de los números reales por matemáticos como David Hilbert , Otto Hölder y Hans Hahn . Esto se convirtió finalmente en la teoría de Artin-Schreier de campos ordenados y campos formalmente reales .

Hay dos definiciones comunes equivalentes de un campo ordenado. La definición de orden total apareció por primera vez históricamente y es una axiomatización de primer orden del orden como un predicado binario . Artin y Schreier dieron la definición en términos de cono positivo en 1926, que axiomatiza la subcolección de elementos no negativos. Aunque este último es de orden superior, ver los conos positivos como conos prepositivos máximos proporciona un contexto más amplio en el que las ordenaciones de campo son ordenaciones parciales extremas .${\ estilo de visualización \, \ leq \,}$

Un campo junto con un orden total (estricto) en es un${\displaystyle (F,+,\cdot\,)}$ ${\ estilo de visualización \, <\,}$${\ estilo de visualización F}$campo ordenado si el orden satisface las siguientes propiedades para todos${\ estilo de visualización a, b, c \ en F:}$

UNEl cono prepositivo opreordenamientode un campoes unsubconjuntoque tiene las siguientes propiedades: ^[1]${\ estilo de visualización F}$ ${\displaystyle P\subseteq F}$

La propiedad${\displaystyle a>0\land x<y\Rightarrow ax<ay}$

La propiedad${\ estilo de visualización x<y\flecha derecha a+x<a+y}$