En matemáticas , el teorema de Farrell-Markushevich , probado independientemente por OJ Farrell (1899-1981) [1] y AI Markushevich (1908-1979) en 1934, es un resultado relativo a la aproximación en cuadrados medios de funciones holomórficas en un conjunto abierto acotado en el plano complejo por polinomios complejos. Afirma que los polinomios complejos forman un subespacio denso del espacio de Bergman de un dominio delimitado por una curva de Jordan cerrada simple . El proceso de Gram-Schmidt se puede utilizar para construir una base ortonormal en el espacio de Bergman y, por tanto, una forma explícita del núcleo de Bergman., que a su vez produce una función de mapeo de Riemann explícita para el dominio.
Prueba
Sea Ω el dominio de Jordan acotado y Ω n los dominios de Jordan acotados que disminuyen a Ω, con Ω n que contiene el cierre de Ω n + 1 . Según el teorema de mapeo de Riemann, existe un mapeo conforme f n de Ω n sobre Ω, normalizado para fijar un punto dado en Ω con derivada positiva allí. Según el teorema del núcleo de Carathéodory, f n ( z ) converge uniformemente en compacta en Ω a z . [2] De hecho, el teorema de Carathéodory implica que los mapas inversos tienden uniformemente de compacta a z . Dada una subsecuencia de f n , tiene una subsecuencia, convergente a compacta en Ω. Dado que las funciones inversas convergen en z , se deduce que la subsecuencia converge en z en compacta. Por tanto, f n converge az sobre compacta en Ω.
Como consecuencia, la derivada de f n tiende a 1 uniformemente en compacta.
Sea g una función holomórfica integrable al cuadrado en Ω, es decir, un elemento del espacio de Bergman A 2 (Ω). Defina g n en Ω n por g n ( z ) = g ( f n ( z )) f n '( z ). Por cambio de variable
Sea h n la restricción de g n a Ω. Entonces la norma de h n es menor que la de g n . Por tanto, estas normas están uniformemente delimitadas. Pasando a una subsecuencia si es necesario, se puede suponer que h n tiene un límite débil en A 2 (Ω). Por otro lado, h n tiende uniformemente a compactarse a g . Dado que los mapas de evaluación son funciones lineales continuas en A 2 (Ω), g es el límite débil de h n . Por otro lado, según el teorema de Runge , h n se encuentra en el subespacio cerrado K de A 2 (Ω) generado por polinomios complejos. Por tanto, g se encuentra en el cierre débil de K , que es el propio K. [3]
Ver también
Notas
- ↑ Orin J. Farrell recibió su doctorado (bajo la dirección de JL Walsh ) de la Universidad de Harvard en 1930 y pasó su carrera desde 1931 en Union College con un permiso de ausencia desde enero de 1949 hasta mayo de 1949 en el Instituto de Estudios Avanzados . Ver Orin J. Farrell en el Proyecto de Genealogía de Matemáticas ; Bick, Theodore A. (1993). "Una Historia del Departamento de Matemáticas" . Union College .; "Orin J. Farrell" . Instituto de Estudios Avanzados .
- ^ Ver:
- Conway 2000 , págs. 150-151
- Markushevich 1967 , págs. 31–35
- ^ Conway 2000 , págs. 151-152
Referencias
- Farrell, DO (1934), "Sobre la aproximación a una función analítica por polinomios", Bull. Amer. Matemáticas. Soc. , 40 : 908–914, doi : 10.1090 / s0002-9904-1934-06002-6
- Markushevich, AI (1967), Teoría de funciones de una variable compleja. Vol. III , Prentice – Hall
- Conway, John B. (2000), Un curso en teoría de operadores , Estudios de posgrado en matemáticas , 21 , American Mathematical Society, ISBN 0-8218-2065-6