En el análisis complejo , el análisis funcional y la teoría de operadores , un espacio de Bergman es un espacio funcional de funciones holomórficas en un dominio D del plano complejo que se comportan suficientemente bien en el límite como para ser absolutamente integrables . Específicamente, para 0 < p <∞ , el espacio de Bergman A p ( D ) es el espacio de todas las funciones holomórficasen D para el que la p-norma es finita:
La cantidad se llama la norma de la función f ; es una verdadera norma si. Así, A p ( D ) es el subespacio de funciones holomorfas que se encuentran en el espacio L p ( D ) . Los espacios de Bergman son espacios de Banach , lo cual es una consecuencia de la estimación, válida en subconjuntos compactos K de D :
( 1 )
Por tanto, la convergencia de una secuencia de funciones holomórficas en L p ( D ) implica también una convergencia compacta , por lo que la función límite también es holomórfica.
Si p = 2 , entonces A p ( D ) es un espacio de Hilbert del núcleo que se reproduce , cuyo núcleo está dado por el núcleo de Bergman .
Casos especiales y generalizaciones
Si el dominio D está acotado , entonces la norma suele estar dada por
dónde es una medida de Lebesgue normalizada del plano complejo, es decir, dA = dz / Área ( D ) . Alternativamente dA = dz / π se utiliza, independientemente de la zona de D . El espacio de Bergman generalmente se define en el disco de la unidad abierta del plano complejo, en cuyo caso . En el caso del espacio de Hilbert, dado, tenemos
es decir, A 2 es isométricamente isomorfo al espacio ponderado ℓ p (1 / (n + 1)) . [1] En particular, los polinomios son densos en A 2 . De manera similar, si D = ℂ + , el semiplano complejo derecho (o superior), entonces
dónde , es decir, A 2 (ℂ + ) es isométricamente isomórfico al espacio ponderado L p 1 / t (0, ∞) (a través de la transformada de Laplace ). [2] [3]
El espacio de Bergman ponderado A p ( D ) se define de forma análoga, [1] es decir
siempre que w : D → [0, ∞) se elija de tal manera quees un espacio de Banach (o un espacio de Hilbert , si p = 2 ). En caso de que, por un espacio de Bergman ponderado [4] nos referimos al espacio de todas las funciones analíticas f tales que
y de manera similar en el semiplano derecho (es decir, ) tenemos [5]
y este espacio es isométricamente isomorfo, a través de la transformada de Laplace, al espacio , [6] [7] donde
(aquí Γ denota la función Gamma ).
A veces se consideran más generalizaciones, por ejemplo denota un espacio de Bergman ponderado (a menudo llamado espacio Zen [3] ) con respecto a una medida de Borel regular positiva invariante en la traducción en el semiplano complejo derecho cerrado , es decir
Reproducción de granos
El núcleo que se reproduce de A 2 en el puntoviene dado por [1]
y de manera similar para tenemos [5]
- .
En general, si mapea un dominio conforme a un dominio , luego [1]
En caso ponderado tenemos [4]
y [5]
Referencias
- ↑ a b c d Duren, Peter L .; Schuster, Alexander (2004), espacios de Bergman , series y monografías matemáticas, American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-0810-8
- ^ Duren, Peter L. (1969), Extensión de un teorema de Carleson (PDF) , 75 , Boletín de la American Mathematical Society, págs. 143-146
- ^ a b Jacob, Brigit; Partington, Jonathan R .; Pott, Sandra (1 de febrero de 2013). "Sobre la incrustación de teoremas de Laplace-Carleson". Revista de análisis funcional . 264 (3): 783–814. arXiv : 1201.1021 . doi : 10.1016 / j.jfa.2012.11.016 . S2CID 7770226 .
- ^ a b Cowen, Carl; MacCluer, Barbara (1995-04-27), Operadores de composición en espacios de funciones analíticas , Estudios en matemáticas avanzadas, CRC Press, p. 27, ISBN 9780849384929
- ^ a b c Elliott, Sam J .; Wynn, Andrew (2011), Composition Operators on the Weighted Bergman Spaces of the Half-Plane , 54 , Proceedings of the Edinburgh Mathematical Society, págs. 374–379
- ^ Duren, Peter L .; Gallardo-Gutiérez, Eva A .; Montes-Rodríguez, Alfonso (2007-06-03), Un teorema de Paley-Wiener para espacios de Bergman con aplicación a subespacios invariantes , 39 , Boletín de la London Mathematical Society, págs. 459–466, archivado desde el original en 2015-12 -24
- ^ Gallrado-Gutiérez, Eva A .; Partington, Jonathan R .; Segura, Dolores (2009), Vectores cíclicos y subespacios invariantes para cambios de Bergman y Dirichlet (PDF) , 62 , Journal of Operator Theory, págs. 199-214
Otras lecturas
- Bergman, Stefan (1970), La función del núcleo y el mapeo conforme , Encuestas Matemáticas, 5 (2a ed.), Sociedad Matemática Estadounidense
- Hedenmalm, H .; Korenblum, B .; Zhu, K. (2000), Teoría de los espacios de Bergman , Springer, ISBN 978-0-387-98791-0
- Richter, Stefan (2001) [1994], "Espacios de Bergman" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press.
Ver también
- Núcleo de Bergman
- Espacio banach
- Espacio Hilbert
- Reproducción del espacio de Hilbert del kernel
- Espacio resistente
- Espacio dirichlet