En teoría de números , la conjetura de Fermat-Catalán es una generalización del último teorema de Fermat y de la conjetura de Catalán , de ahí el nombre. La conjetura establece que la ecuación
( 1 )
tiene solo un número finito de soluciones ( a , b , c , m , n , k ) con distintos tripletes de valores ( a m , b n , c k ) donde a , b , c son enteros coprimos positivos y m , n , k son enteros positivos satisfactorios
( 2 )
La desigualdad en m , n y k es una parte necesaria de la conjetura. Sin la desigualdad habría infinitas soluciones, por ejemplo con k = 1 (para cualquier a , b , m , yn y con c = a m + b n ) o con m , n , y k todos iguales a dos ( para los infinitos triples pitagóricos conocidos ).
Soluciones conocidas
A partir de 2015, se conocen las siguientes diez soluciones a la ecuación (1) que cumplen los criterios de la ecuación (2): [1]
- (por para satisfacer la ecuación. 2)
La primera de ellas (1 m + 2 3 = 3 2 ) es la única solución donde uno de a , b o c es 1, según la conjetura catalana , probada en 2002 por Preda Mihăilescu . Si bien este caso conduce a infinitas soluciones de (1) (ya que se puede elegir cualquier m para m > 6), estas soluciones solo dan un solo triplete de valores ( a m , b n , c k ).
Resultados parciales
Es conocido por el teorema de Darmon-Granville, que usa el teorema de Faltings , que para cualquier elección fija de enteros positivos m , n y k que satisfacen (2), solo existen un número finito de triples coprimos ( a , b , c ) que resuelven (1) . [2] [3] : pág. 64 Sin embargo, la conjetura completa de Fermat-Catalán es más fuerte ya que permite que varíen los exponentes m , n y k .
La conjetura abc implica la conjetura de Fermat-Catalán. [4]
Para obtener una lista de resultados para combinaciones imposibles de exponentes, consulte Conjetura de Beal # Resultados parciales . La conjetura de Beal es cierta si y solo si todas las soluciones de Fermat-Catalán tienen m = 2, n = 2 o k = 2.
Ver también
- Sumas de potencias , una lista de conjeturas y teoremas relacionados
Referencias
- ^ Pomerance, Carl (2008), "Teoría de números computacionales", en Gowers, Timothy ; Barrow-Green, junio; Líder, Imre (eds.), The Princeton Companion to Mathematics , Princeton University Press, págs. 361–362, ISBN 978-0-691-11880-2.
- ^ Darmon, H .; Granville, A. (1995). "Sobre las ecuaciones z m = F ( x , y ) y Ax p + By q = Cz r ". Boletín de la London Mathematical Society . 27 : 513–43. doi : 10.1112 / blms / 27.6.513 .
- ^ Elkies, Noam D. (2007). "El ABC de la teoría de números" (PDF) . The Harvard College Mathematics Review . 1 (1).
- ^ Waldschmidt, Michel (2015). "Conferencia sobre elconjetura y algunas de sus consecuencias ". Matemáticas en el siglo XXI (PDF) . Springer Proc. Math. Stat. 98. Basel: Springer. pp. 211-230. doi : 10.1007 / 978-3-0348-0859-0_13 . Señor 3298238 .