La conjetura de Beal es la siguiente conjetura en teoría de números :
Si donde A , B , C , x , y , z son números enteros distintos de cero y x , y , z son ≥ 3, ¿ A , B y C tienen un factor primo común?
- Si
- donde A , B , C , x , y y z son números enteros distintos de cero con x , y , z ≥ 3, entonces A , B y C tienen un factor primo común .
Equivalentemente,
- La ecuacion no tiene soluciones en números enteros distintos de cero y pares enteros coprimos A, B, C si x, y, z ≥ 3.
La conjetura fue formulada en 1993 por Andrew Beal , un banquero y matemático aficionado , mientras investigaba las generalizaciones del último teorema de Fermat . [1] [2] Desde 1997, Beal ha ofrecido un premio monetario por una prueba revisada por pares de esta conjetura o un contraejemplo . [3] El valor del premio se ha incrementado varias veces y actualmente es de $ 1 millón. [4]
En algunas publicaciones, esta conjetura se ha referido ocasionalmente como una ecuación de Fermat generalizada, [5] la conjetura de Mauldin, [6] y la conjetura de Tijdeman-Zagier. [7] [8] [9]
Ejemplos relacionados
Para ilustrar, la solución tiene bases con un factor común de 3, la solución tiene bases con un factor común de 7, y tiene bases con un factor común de 2. De hecho, la ecuación tiene infinitas soluciones donde las bases comparten un factor común, incluidas las generalizaciones de los tres ejemplos anteriores, respectivamente
y
Además, para cada solución (con o sin bases coprimas), hay infinitas soluciones con el mismo conjunto de exponentes y un conjunto creciente de bases no coprimas. Es decir, por solucion
adicionalmente tenemos
dónde
Cualquier solución a la conjetura de Beal implicará necesariamente tres términos, todos los cuales son números de 3 poderosos , es decir, números donde el exponente de cada factor primo es al menos tres. Se sabe que hay un número infinito de tales sumas que involucran números coprimos 3 poderosos; [10] sin embargo, tales sumas son raras. Los dos ejemplos más pequeños son:
Lo que distingue a la conjetura de Beal es que requiere que cada uno de los tres términos sea expresable como un solo poder.
Relación con otras conjeturas
El último teorema de Fermat estableció queno tiene soluciones para n > 2 para números enteros positivos A , B , y C . Si hubiera existido alguna solución para el último teorema de Fermat, entonces, al dividir cada factor común, también existirían soluciones con A , B y C coprimos. Por tanto, el último teorema de Fermat puede verse como un caso especial de la conjetura de Beal restringida ax = y = z .
La conjetura de Fermat-Catalán es quetiene solo un número finito de soluciones, siendo A , B y C números enteros positivos sin factor primo común y x , y , z son números enteros positivos que satisfacen La conjetura de Beal se puede reformular como "Todas las soluciones de conjetura de Fermat-Catalán utilizarán 2 como exponente".
La conjetura abc implicaría que hay, como mucho, un número finito de contraejemplos de la conjetura de Beal.
Resultados parciales
En los casos siguientes, donde n es un exponente, también se prueban los múltiplos de n , ya que una kn -ésima potencia también es una n -ésima potencia. Donde se aluden a continuación soluciones que implican una segunda potencia, se pueden encontrar concretamente en la conjetura de Fermat-Catalana # Soluciones conocidas . Todos los casos de la forma (2, 3, n ) o (2, n , 3) tienen la solución 2 3 + 1 n = 3 2 que se denomina a continuación la solución catalana .
- El caso x = y = z ≥ 3 (y por lo tanto el caso mcd ( x , y , z ) ≥ 3) es el último teorema de Fermat , que Andrew Wiles demostró que no tiene soluciones en 1994. [11]
- Se demostró que el caso ( x , y , z ) = (2, 3, 7) y todas sus permutaciones tienen solo cuatro soluciones no catalanas, ninguna de las cuales contradice la conjetura de Beal, por Bjorn Poonen , Edward F. Schaefer y Michael Stoll en 2005. [12]
- El caso ( x , y , z ) = (2, 3, 8) demostró tener una sola solución no catalana, lo que no contradice la conjetura de Beal, por Nils Bruin en 2003. [13]
- Se sabe que el caso ( x , y , z ) = (2, 3, 9) y todas sus permutaciones tienen una única solución no catalana, lo que no contradice la conjetura de Beal, de Nils Bruin en 2003. [14] [ 15] [9]
- David Brown demostró en 2009 que el caso ( x , y , z ) = (2, 3, 10) solo tiene la solución catalana. [dieciséis]
- Freitas, Naskręcki y Stoll demostraron que el caso ( x , y , z ) = (2, 3, 11) y todas sus permutaciones tienen solo la solución catalana. [17]
- El caso ( x , y , z ) = (2, 3, 15) y todas sus permutaciones fueron probadas por Samir Siksek y Michael Stoll en 2013. [18]
- Se demostró que el caso ( x , y , z ) = (2, 4, 4) y todas sus permutaciones no tienen solución mediante el trabajo combinado de Pierre de Fermat en la década de 1640 y Euler en 1738 (ver una prueba aquí y otra aquí )
- Se sabe que el caso ( x , y , z ) = (2, 4, 5) y todas sus permutaciones tienen una sola solución no catalana, lo que no contradice la conjetura de Beal, de Nils Bruin en 2003. [14]
- El caso ( x , y , z ) = (2, 4, n ) fue probado para n ≥ 6 por Michael Bennet, Jordan Ellenberg y Nathan Ng en 2009. [19]
- El caso ( x , y , z ) = (2, 6, n ) y todas sus permutaciones fueron probadas para n ≥ 3 por Michael Bennett e Imin Chen en 2011 y por Bennett, Chen, Dahmen y Yazdani en 2014. [20] [5]
- El caso ( x , y , z ) = (2, 2 n , 3) se demostró para 3 ≤ n ≤ 10 7 excepto n = 7 y varias congruencias de módulo cuando n es primo para no tener una solución no catalana por Bennett, Chen , Dahmen y Yazdani. [21] [5]
- Los casos ( x , y , z ) = (2, 2 n , 9), (2, 2 n , 10), (2, 2 n , 15) fueron probados para n ≥ 2 por Bennett, Chen, Dahmen y Yazdani en 2014. [5]
- El caso ( x , y , z ) = (3, 3, n ) y todas sus permutaciones se han probado para 3 ≤ n ≤ 10 9 y varias congruencias de módulo cuando n es primo. [15]
- El caso ( x , y , z ) = (3, 4, 5 ) y todas sus permutaciones fueron probadas por Siksek y Stoll en 2011. [22]
- El caso ( x , y , z ) = (3, 5, 5 ) y todas sus permutaciones fueron probados por Bjorn Poonen en 1998. [23]
- El caso ( x , y , z ) = (3, 6, n ) fue probado para n ≥ 3 por Bennett, Chen, Dahmen y Yazdani en 2014. [5]
- El caso ( x , y , z ) = (4, 2 n , 3) fue probado para n ≥ 2 por Bennett, Chen, Dahmen y Yazdani en 2014. [5]
- Los casos (5, 5, 7), (5, 5, 19), (7, 7, 5) y todas sus permutaciones fueron probados por Sander R. Dahmen y Samir Siksek en 2013 [24].
- Los casos ( x , y , z ) = ( n , n , 2) fueron probados para n ≥ 4 por Darmon y Merel en 1995 siguiendo el trabajo de Euler y Poonen. [25] [23]
- Los casos ( x , y , z ) = ( n , n , 3) fueron probados para n ≥ 3 por Édouard Lucas, Bjorn Poonen y Darmon y Merel . [25]
- El caso ( x , y , z ) = (2 n , 2 n , 5) fue probado para n ≥ 2 por Bennett en 2006. [26]
- El caso ( x , y , z ) = (2 l , 2 m , n ) fue probado para l , m ≥ 5 primos y n = 3, 5, 7, 11 por Anni y Siksek. [27]
- Los casos ( x , y , z ) = (2 l , 2 m , 13) fueron probados para l , m ≥ 5 números primos por Billerey, Chen, Dembélé, Dieulefait, Freitas. [28]
- El caso ( x , y , z ) = (3 l , 3 m , n ) es directo para l , m ≥ 2 yn ≥ 3 del trabajo de Kraus. [29]
- El teorema de Darmon-Granville usa el teorema de Faltings para mostrar que para cada elección específica de exponentes ( x , y , z ), hay como mucho un número finito de soluciones coprimas para ( A , B , C ). [30] [7] : pág. 64
- La imposibilidad del caso A = 1 o B = 1 está implícita en la conjetura de Catalán , probada en 2002 por Preda Mihăilescu . (El aviso C no puede ser 1, o uno de A y B debe ser 0, lo cual no está permitido).
- En la década de 1950, L. Jesmanowicz consideró una clase potencial de soluciones para la ecuación, a saber, aquellas en las que A, B y C también forman un triple pitagórico . J. Jozefiak demostró que hay un número infinito de triples pitagóricos primitivos que no pueden satisfacer la ecuación de Beal. Los resultados adicionales se deben a Chao Ko. [31]
- Peter Norvig , director de investigación de Google , informó haber realizado una serie de búsquedas numéricas de contraejemplos de la conjetura de Beal. Entre sus resultados, excluyó todas las posibles soluciones que tengan cada uno de x , y , z ≤ 7 y cada uno de A , B , C ≤ 250.000, así como las posibles soluciones que tengan cada uno de x , y , z ≤ 100 y cada uno de A , B , C ≤ 10.000. [32]
- Si A , B son impares y x , y son pares, la conjetura de Beal no tiene contraejemplo. [33]
- Al asumir la validez de la conjetura de Beal, existe un límite superior para cualquier divisor común de x , y y z en la expresión. [34]
Premio
Como prueba publicada o contraejemplo, el banquero Andrew Beal ofreció inicialmente un premio de 5.000 dólares estadounidenses en 1997, elevándolo a 50.000 dólares durante diez años, [3] pero desde entonces lo ha elevado a 1.000.000 dólares estadounidenses. [4]
La American Mathematical Society (AMS) tiene el premio de $ 1 millón en un fideicomiso hasta que se resuelva la conjetura de Beal. [35] Está supervisado por el Comité del Premio Beal (BPC), que es designado por el presidente de AMS. [36]
Variantes
Los contraejemplos y demuestre que la conjetura sería falsa si se permitiera que uno de los exponentes fuera 2. La conjetura de Fermat-Catalán es una conjetura abierta que trata de tales casos. Si permitimos que como máximo uno de los exponentes sea 2, entonces puede haber solo un número finito de soluciones (excepto en el caso).
Si A , B , C pueden tener un factor primo común, entonces la conjetura no es cierta; un contraejemplo clásico es.
Una variación de la conjetura que afirma que x , y , z (en lugar de A , B , C ) debe tener un factor primo común no es cierta. Un contraejemplo esen el que 4, 3 y 7 no tienen factor primo común. (De hecho, el factor primo común máximo de los exponentes que es válido es 2; un factor común mayor que 2 sería un contraejemplo del último teorema de Fermat).
La conjetura no es válida en el dominio más amplio de los enteros gaussianos . Después de que se ofreciera un premio de $ 50 por un contraejemplo, Fred W.Helenius proporcionó. [37]
Ver también
- Conjetura de la suma de potencias de Euler
- Ecuación de Jacobi-Madden
- Problema de Prouhet-Tarry-Escott
- Número de taxi
- Cuádruple pitagórico
- Sumas de potencias , una lista de conjeturas y teoremas relacionados
- Computación distribuída
- BOINC
Referencias
- ^ "Conjetura de Beal" . Sociedad Matemática Estadounidense . Consultado el 21 de agosto de 2016 .
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enlaces externos
- La página de la oficina del Premio Beal
- Bealconjecture.com
- Math.unt.edu
- Conjetura de Beal en PlanetMath .
- Discusión de Mathoverflow.net sobre el nombre y la fecha de origen del teorema