En la teoría de categorías , las categorías filtradas generalizan la noción de conjunto dirigido entendido como categoría (de ahí que se llame categoría dirigida; mientras que algunos usan categoría dirigida como sinónimo de categoría filtrada). Existe una noción dual de categoría cofiltrada que se recordará a continuación.
Categorías filtradas
Una categoria se filtra cuando
- no esta vacio
- por cada dos objetos y en existe un objeto y dos flechas y en ,
- por cada dos flechas paralelas en , existe un objeto y una flecha tal que .
Un colimit filtrado es un colimit de un functor dónde es una categoría filtrada.
Categorías cofiltradas
Una categoría está cofiltrado si la categoría opuesta se filtra. En detalle, una categoría está cofiltrada cuando
- no esta vacio
- por cada dos objetos y en existe un objeto y dos flechas y en ,
- por cada dos flechas paralelas en , existe un objeto y una flecha tal que .
Un límite cofiltrado es un límite de un funtor dónde es una categoría cofiltrada.
Ind-objetos y pro-objetos
Dada una pequeña categoría , un prefabricado de conjuntosque es un pequeño colimit filtrado de pre-ondas representables, se llama un objeto ind de la categoría. Ind-objetos de una categoría formar una subcategoría completa en la categoría de functors (preheaves) . La categoría de pro-objetos en es lo opuesto a la categoría de objetos ind en la categoría opuesta .
categorías filtradas por κ
Existe una variante de "categoría filtrada" conocida como "categoría filtrada por κ", que se define a continuación. Esto comienza con la siguiente observación: las tres condiciones en la definición de categoría filtrada anterior dicen, respectivamente, que existe un cocone sobre cualquier diagrama en de la forma , , o . La existencia de cocones para estas tres formas de diagramas resulta implicar que existen cocones para cualquier diagrama finito; en otras palabras, una categoríase filtra (de acuerdo con la definición anterior) si y solo si hay un coone sobre cualquier diagrama finito.
Extendiendo esto, dado un cardinal regular κ, una categoría se define para ser κ-filtrado si hay un coone sobre cada diagrama en de cardinalidad menor que κ. (Un pequeño diagrama es de cardinalidad κ si el conjunto de morfismos de su dominio es de cardinalidad κ).
Un (co) límite filtrado por κ es un (co) límite de un funtor dónde es una categoría filtrada por κ.
Referencias
- Artin, M., Grothendieck, A. y Verdier, JL Séminaire de Géométrie Algébrique du Bois Marie (SGA 4) . Lecture Notes in Mathematics 269, Springer Verlag, 1972. Exposé I, 2.7.
- Mac Lane, Saunders (1998), Categorías para el matemático que trabaja (2a ed.), Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-98403-2, sección IX.1.