En matemáticas , una medida completa (o, más precisamente, un espacio de medida completo ) es un espacio de medida en el que cada subconjunto de cada conjunto nulo es medible (con medida cero ). Más formalmente, un espacio de medida ( X , Σ, μ ) está completo si y solo si
Motivación
La necesidad de considerar cuestiones de completitud puede ilustrarse considerando el problema de los espacios de productos.
Suponga que ya hemos construido la medida de Lebesgue en la línea real : denote este espacio de medida por ( R , B , λ ). Ahora deseamos construir una medida de Lebesgue bidimensional λ 2 en el plano R 2 como una medida del producto . Ingenuamente, nos tomamos el σ -algebra en R 2 a ser B ⊗ B , la más pequeña σ -algebra que contiene todos los "rectángulos" medibles A 1 × A 2 para A i ∈ B .
Si bien este enfoque define un espacio de medida , tiene un defecto. Puesto que cada producto único conjunto tiene una sola dimensión medida de Lebesgue cero,
para "any" subconjunto A de R . Sin embargo, suponga que A es un subconjunto no medible de la línea real, como el conjunto Vitali . Entonces la medida λ 2 de {0} × A no está definida, pero
y este conjunto más grande tiene λ 2 -medida cero. Por lo tanto, esta "medida de Lebesgue bidimensional" tal como se acaba de definir no está completa y se requiere algún tipo de procedimiento de finalización.
Construcción de una medida completa
Dado un espacio de medida (posiblemente incompleto) ( X , Σ, μ ), hay una extensión ( X , Σ 0 , μ 0 ) de este espacio de medida que está completo. La extensión más pequeña de este tipo (es decir, la σ- álgebra Σ 0 más pequeña ) se llama la terminación del espacio de medida.
La terminación se puede construir de la siguiente manera:
- sea Z el conjunto de todos los subconjuntos de los subconjuntos de medida cero μ de X (intuitivamente, los elementos de Z que no están ya en Σ son los que impiden que la completitud se mantenga verdadera);
- sea Σ 0 la σ -álgebra generada por Σ y Z (es decir, la σ -álgebra más pequeña que contiene todos los elementos de Σ y de Z );
- μ tiene una extensión a Σ 0 (que es única si μ es σ -finito ), llamada la medida externa de μ , dada por el mínimo
Entonces ( X , Σ 0 , μ 0 ) es un espacio de medida completo y es la finalización de ( X , Σ, μ ).
En la construcción anterior se puede demostrar que cada miembro de Σ 0 es de la forma A ∪ B para algunos A ∈ Σ y algunos B ∈ Z , y
Ejemplos de
- La medida de Borel tal como se define en el σ -álgebra de Borel generada por los intervalos abiertos de la línea real no está completa, por lo que el procedimiento de finalización anterior debe usarse para definir la medida de Lebesgue completa. Esto se ilustra por el hecho de que el conjunto de todos los conjuntos de Borel sobre los reales tiene la misma cardinalidad que los reales. Mientras que el conjunto de Cantor es un conjunto de Borel, tiene medida cero y su conjunto de potencia tiene una cardinalidad estrictamente mayor que la de los reales. Por tanto, hay un subconjunto del conjunto de Cantor que no está contenido en los conjuntos de Borel. Por tanto, la medida de Borel no está completa.
- La medida n- dimensional de Lebesgue es la finalización del producto n- veces del espacio unidimensional de Lebesgue consigo mismo. También es la finalización de la medida de Borel, como en el caso unidimensional.
Propiedades
El teorema de Maharam establece que todo espacio de medida completo se puede descomponer en una medida del continuo y una medida contable finita o contable .
Referencias
- Terekhin, AP (2001) [1994], "Medida completa" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press