Las correlaciones financieras miden la relación entre los cambios de dos o más variables financieras a lo largo del tiempo. Por ejemplo, los precios de las acciones y los bonos de interés fijo a menudo se mueven en direcciones opuestas: cuando los inversores venden acciones, a menudo utilizan los ingresos para comprar bonos y viceversa. En este caso, los precios de las acciones y los bonos están correlacionados negativamente.
Las correlaciones financieras juegan un papel clave en las finanzas modernas . Bajo el modelo de valoración de activos de capital (CAPM; un modelo reconocido por un premio Nobel ), un aumento en la diversificación aumenta la relación rendimiento / riesgo. Las medidas de riesgo incluyen el valor en riesgo , el déficit esperado y la variación del rendimiento de la cartera . [1]
Correlación financiera y coeficiente de correlación producto-momento de Pearson
Hay varias medidas estadísticas del grado de correlación financiera. El coeficiente de correlación producto-momento de Pearson se aplica a veces para financiar las correlaciones. Sin embargo, las limitaciones del enfoque de correlación de Pearson en finanzas son evidentes. Primero, las dependencias lineales evaluadas por el coeficiente de correlación de Pearson no aparecen con frecuencia en las finanzas. En segundo lugar, las medidas de correlación lineal son solo medidas de dependencia natural si la distribución conjunta de las variables es elíptica . Sin embargo, solo unas pocas distribuciones financieras, como la distribución normal multivariante y la distribución t de student multivariada, son casos especiales de distribuciones elípticas, para las cuales la medida de correlación lineal puede interpretarse de manera significativa. En tercer lugar, un coeficiente de correlación producto-momento cero de Pearson no significa necesariamente independencia, porque solo se consideran los dos primeros momentos. Por ejemplo,( y ≠ 0) dará lugar a un coeficiente de correlación de Pearson de cero, lo que podría inducir a error. [2] Dado que el enfoque de Pearson no es satisfactorio para modelar las correlaciones financieras, los analistas cuantitativos han desarrollado medidas específicas de correlación financiera. La estimación precisa de las correlaciones requiere que el proceso de modelado de los marginales incorpore características como la asimetría y la curtosis . No tener en cuenta estos atributos puede conducir a un error de estimación severo en las correlaciones y covarianzas que tienen sesgos negativos (hasta el 70% de los valores verdaderos). [3] En una aplicación práctica en la optimización de carteras, la estimación precisa de la matriz de varianza-covarianza es primordial. Por tanto, la predicción con simulación de Montecarlo con cópula gaussiana y distribuciones marginales bien especificadas es eficaz. [4]
Medidas de correlación financiera
Correlación de movimientos brownianos
Steven Heston aplicó un enfoque de correlación [5] para correlacionar negativamente los rendimientos estocásticos de las acciones. y volatilidad estocástica . Las ecuaciones centrales del modelo de Heston original son las dos ecuaciones diferenciales estocásticas , SDE
- (1)
y
- (2)
donde S es la acción subyacente, es la tasa de crecimiento esperada de , y es la volatilidad estocástica de en el momento t. En la ecuación (2), g es la tasa de reversión media (gravedad), que tira de la varianza a su media a largo plazo , y es la volatilidad de la volatilidad σ (t). dz (t) es el movimiento browniano estándar , es decir, es iid , en particulares un dibujo aleatorio de una distribución normal estandarizada n ~ (0,1). En la ecuación (1), el subyacentesigue el movimiento browniano geométrico estándar, que también se aplica en el modelo de Black-Scholes-Merton , que sin embargo asume una volatilidad constante. La correlación entre los procesos estocásticos (1) y (2) se introduce correlacionando los dos movimientos brownianos y . La correlación instantánea entre los movimientos brownianos es
- (3).
La definición (3) se puede modelar convenientemente con la identidad
- (4)
dónde y son independientes, y y son independientes, t ≠ t '.
El SDE de cointelación [6] conecta los SDE anteriores con el concepto de reversión media y deriva, que suelen ser conceptos que los profesionales no comprenden [7] .
El coeficiente de correlación binomial
Otra medida de correlación financiera, aplicada principalmente a la correlación por defecto, [¿ según quién? ] es el enfoque de correlación binomial de Lucas (1995). [8] Definimos los eventos binomiales y dónde es el tiempo predeterminado de la entidad y es el tiempo predeterminado de la entidad . Por tanto, si la entidad valores predeterminados antes o en el momento , la variable indicadora aleatoria tomará el valor en 1 y 0 en caso contrario. Lo mismo se aplica a. Además, y es la probabilidad predeterminada de y respectivamente, y es la probabilidad conjunta de incumplimiento . La desviación estándar de un evento binomial de un ensayo es, donde P es la probabilidad del resultado X. Por lo tanto, derivamos el coeficiente conjunto de dependencia por defecto de los eventos binomiales y como
- (5).
Por construcción, la ecuación (5) solo puede modelar eventos binomiales, por ejemplo, por defecto y no por defecto. El enfoque de correlación binomial de la ecuación (5) es un caso límite del enfoque de correlación de Pearson discutido en la sección 1. Como consecuencia, las deficiencias significativas del enfoque de correlación de Pearson para modelos financieros se aplican también al modelo de correlación binomial. [ cita requerida ]
Correlaciones de cópula
Un enfoque de correlación bastante reciente, famoso e infame aplicado en las finanzas es el enfoque de cópula . Las cópulas se remontan a Sklar (1959). [9] Vasicek (1987) [10] y Li (2000) introdujeron las cópulas en las finanzas . [11]
Las cópulas simplifican los problemas estadísticos. Permiten la unión de múltiples distribuciones univariadas en una única distribución multivariante. Formalmente, una función de cópula C transforma una función de n dimensiones en el intervalo [0,1] en una de dimensión unitaria:
- (6).
Más explícitamente, dejemos ser un vector aleatorio uniforme con y . Entonces existe una función de cópula tal que
- (7)
donde F es la función de distribución acumulativa conjunta y , i = 1, ..., n i son las distribuciones marginales univariadas. es el inverso de . Si las distribuciones marginalesson continuos, se deduce que C es único. Para las propiedades y pruebas de la ecuación (11), consulte Sklar (1959) y Nelsen (2006). [12] Existen numerosos tipos de funciones de cópula. En general, se pueden clasificar en cópulas de un parámetro como cópula gaussiana y cópula de Arquímedes, que comprenden cópulas de Gumbel, Clayton y Frank. Las cópulas de dos parámetros que se citan a menudo son Student-t, Fréchet y Marshall-Olkin. Para obtener una descripción general de estas cópulas, consulte Nelsen (2006). En finanzas, las cópulas se aplican típicamente para derivar probabilidades de incumplimiento correlacionadas en una cartera, [¿ según quién? ] por ejemplo, en una obligación de deuda garantizada , CDO. Esto fue hecho por primera vez por Li en 2006. Definió los márgenes uniformes como probabilidades de incumplimiento acumuladas Q para la entidad i en un tiempo fijo t, :
- (8).
Por lo tanto, de las ecuaciones (7) y (8) derivamos la CGD de cópula de tiempo por defecto de Gauss,
- (9).
En la ecuación (9) los términos mapear las probabilidades de incumplimiento acumuladas Q del activo i para el tiempo t, , percentil a percentil a normal estándar. Las distribuciones marginales normales estándar mapeadas luego se unen a una única distribución n-variable aplicando la estructura de correlación de la distribución normal multivariada con la matriz de correlación R. La probabilidad de n valores predeterminados correlacionados en el tiempo t viene dada por .
Cópulas y la crisis financiera de 2007-08
Se han escrito numerosos artículos no académicos demonizando el enfoque de la cópula y culpándolo de la crisis financiera mundial de 2007/2008, ver por ejemplo Salmon 2009, [13] Jones 2009, [14] y Lohr 2009. [15] Hay tres principales críticas al enfoque de cópula: (a) dependencia de la cola, (b) calibración, (c) gestión de riesgos .
(a) Dependencia de la cola
En una crisis, las correlaciones financieras suelen aumentar, véanse los estudios de Das, Duffie, Kapadia y Saita (2007) [16] y Duffie, Eckner, Horel y Saita (2009) [17] y sus referencias. Por tanto, sería deseable aplicar un modelo de correlación con altos co-movimientos en la cola inferior de la distribución conjunta. Se puede demostrar matemáticamente que la cópula gaussiana tiene una dependencia de la cola relativamente baja, como se ve en los siguientes diagramas de dispersión. [ cita requerida ]
Figura 1: Diagramas de dispersión de diferentes modelos de cópula
Como se ve en la Figura 1b, la cópula de Student-t exhibe una mayor dependencia de la cola y podría ser más adecuada para modelar correlaciones financieras. Además, como se ve en la Figura 1 (c), la cópula de Gumbel exhibe una alta dependencia de la cola, especialmente para los co-movimientos negativos. Suponiendo que las correlaciones aumentan cuando los precios de los activos disminuyen, la cópula de Gumbel también podría ser un buen enfoque de correlación para la elaboración de modelos financieros. [ cita requerida ]
(b) Calibración
Otra crítica a la cópula gaussiana es la dificultad de calibrarla a los precios del mercado. En la práctica, normalmente se utiliza un único parámetro de correlación (no una matriz de correlación) para modelar la correlación predeterminada entre dos entidades cualesquiera en una obligación de deuda garantizada, CDO. Conceptualmente, este parámetro de correlación debería ser el mismo para toda la cartera de CDO. Sin embargo, los operadores alteran aleatoriamente el parámetro de correlación para diferentes tramos , con el fin de derivar los diferenciales de tramo deseados. Los operadores aumentan la correlación para los tramos 'extremos' como el tramo de acciones o tramos senior, lo que se conoce como la sonrisa de correlación. Esto es similar a la sonrisa de volatilidad implícita a menudo citada en el modelo de Black-Scholes-Merton. En este caso, los operadores aumentan la volatilidad implícita, especialmente para las opciones de venta fuera del dinero, pero también para las opciones de compra fuera del dinero para aumentar el precio de la opción. [ cita requerida ] .
En un marco de optimización de la varianza media, la estimación precisa de la matriz de varianza-covarianza es primordial. Por tanto, la predicción con simulación de Montecarlo con cópula gaussiana y distribuciones marginales bien especificadas es eficaz. [18] Es importante permitir que el proceso de modelado tenga en cuenta las características empíricas en los rendimientos de las acciones, como la autoregresión, la volatilidad asimétrica, la asimetría y la curtosis. No tener en cuenta estos atributos conduce a un error de estimación severo en las correlaciones y varianzas que tienen sesgos negativos (hasta el 70% de los valores verdaderos). [19]
(c) Gestión de riesgos
Otra crítica al enfoque de la cópula es que el modelo de la cópula es estático y, en consecuencia, solo permite una gestión limitada del riesgo, véase Finger (2009) [20] o Donnelly y Embrechts (2010). [21] Los modelos de cópulas originales de Vasicek (1987) y Li (2000) y varias extensiones del modelo como Hull y White (2004) [22] o Gregory y Laurent (2004) [23] tienen un horizonte temporal de un período. , es decir, son estáticos. En particular, no existe un proceso estocástico para las variables subyacentes críticas, intensidad de incumplimiento y correlación de incumplimiento. Sin embargo, incluso en estas formulaciones tempranas de cópula, las pruebas retrospectivas y de estrés de las variables para diferentes horizontes de tiempo pueden proporcionar sensibilidades valiosas, ver Whetten y Adelson (2004) [24] y Meissner, Hector y. Rasmussen (2008). [25] Además, las variables de cópula pueden hacerse una función del tiempo como en Hull, Predescu y White (2005). [26] Esto todavía no crea un proceso estocástico completamente dinámico con deriva y ruido, lo que permite una cobertura flexible y una gestión de riesgos. Las mejores soluciones son estructuras de cópula verdaderamente dinámicas, consulte la sección 'Cópulas dinámicas' a continuación.
Complacencia irracional
Antes de la crisis financiera global de 2007-08, numerosos participantes del mercado confiaban en el modelo de cópula de manera acrítica e ingenua. [ cita requerida ] Sin embargo, la crisis de 2007-08 fue menos una cuestión de un modelo de correlación particular, sino más bien una cuestión de "complacencia irracional". En el período de tiempo extremadamente benigno de 2003 a 2006, se ignoraron en gran medida la cobertura adecuada, la gestión adecuada de riesgos y los resultados de las pruebas de resistencia. [ cita requerida ] El mejor ejemplo es la subsidiaria de AIG en Londres, que había vendido permutas de incumplimiento crediticio y obligaciones de deuda garantizadas por un monto cercano a $ 500 mil millones sin realizar ninguna cobertura importante. Para obtener un artículo revelador sobre la gestión inadecuada del riesgo que condujo a la crisis, consulte “Una visión personal de la crisis: Confesiones de un administrador de riesgos” (The Economist 2008). [27] En particular, si cualquier modelo de correlación crediticia se alimenta con datos de entrada benignos como bajas intensidades de incumplimiento y baja correlación de incumplimiento, las cifras de producción de riesgo serán benignas, "basura en basura fuera" en la terminología de modelado. [ cita requerida ]
Cópulas dinámicas
Una mejora central de los modelos de cópula son las cópulas dinámicas, introducidas por Albanese et al. (2005) [28] y (2007). [29] El enfoque de "condicionamiento dinámico" modela la evolución de superredes multifactoriales, que correlacionan los procesos de retorno de cada entidad en cada paso de tiempo. Las cópulas dinámicas binomiales aplican métodos combinatorios para evitar simulaciones de Monte Carlo. Las cópulas gaussianas dinámicas más ricas aplican la simulación de Monte Carlo y tienen el costo de requerir una potente tecnología informática.
Modelado de correlación por defecto condicionalmente independiente (CID)
Para evitar especificar la correlación predeterminada entre cada par de entidades en una cartera, a menudo se aplica una factorización. [ cita requerida ] Esto conduce a un modelado por defecto condicionalmente independiente (CID). El modelo CID más ampliamente aplicado es el modelo de cópula gaussiana de un factor (OFGC). Era el modelo de mercado de facto para la fijación de precios de los CDO antes de la crisis financiera mundial de 2007/2008. [ cita requerida ] La ecuación central del modelo OFGC
- (10)
dónde y son dibujos al azar de y . Como resultado, la variable latente, a veces interpretado como el valor del activo de i, ver Turc, Very, Benhamou y Alvarez et al. (2005), [30] también es n ~ (0,1). El factor común puede interpretarse como el entorno económico, posiblemente representado por el retorno del S&P 500. es el componente idiosincrásico, la "fortaleza" de la entidad i, posiblemente medida por el rendimiento del precio de las acciones de la entidad i. De la ecuación (10) vemos que la correlación entre las entidades i se modela indirectamente condicionando la variable latente en el factor común . Por ejemplo, para p = 1, las variables latentes de todas las entidades, entonces el son idénticos en cada simulación. Para p = 0, todas las variables latentes para todas las entidades, por lo tanto, la son independientes. Es importante destacar que una vez que fijamos el valor de M, los valores predeterminados de las n entidades son (condicionalmente en M) mutuamente independientes. [ cita requerida ]
A partir de 2010, la OFGC es la base para la gestión del riesgo de crédito en Basilea II . [ cita requerida ] Los beneficios del modelo son la simplicidad y la intuición. Una de las principales deficiencias del modelo es que los comerciantes, al fijar el precio de los CDO, alteran aleatoriamente el parámetro de correlación para diferentes tramos de CDO para lograr los diferenciales de tramo deseados. Sin embargo, conceptualmente, el parámetro de correlación debería ser idéntico para toda la cartera. [ cita requerida ]
Modelado predeterminado de contagio
El modelado predeterminado de contagio se puede ver como una variación del modelado CID. Como se discutió en la sección 2.3, en el marco de CID, la correlación se modela condicionando un factor de mercado común M, que impacta a todas las entidades en el mismo grado. Cuanto menor sea el dibujo aleatorio de M, mayor será la intensidad predeterminada de todas las entidades (a menos que ρ = 0). Por lo tanto, el modelado de CID puede dilucidar el agrupamiento predeterminado. Por el contrario, los enfoques de contagio modelan la intensidad de incumplimiento de una entidad en función del incumplimiento de otra entidad. Por lo tanto, el modelo de incumplimiento por contagio incorpora el riesgo de contraparte, es decir, el impacto directo de una entidad en incumplimiento sobre la intensidad del incumplimiento de otra entidad. En particular, después de un incumplimiento de una entidad en particular, aumenta la intensidad del incumplimiento de todos los activos de la cartera. Este contagio predeterminado generalmente se desvanece exponencialmente a niveles de intensidad predeterminados no contagiosos. Véanse los artículos de Davis y Lo (2001) [31] y Jarrow y Yu (2001), [32] que fueron pioneros en el modelado de contagio por defecto.
Enfoques de correlación de arriba hacia abajo
Dentro del marco del modelo de correlación crediticia, un enfoque de correlación bastante nuevo es el modelo de arriba hacia abajo. Aquí, la evolución de la distribución de la intensidad de la cartera se deriva directamente, es decir, abstrayéndose de las intensidades de incumplimiento de las entidades individuales. Los modelos descendentes se suelen aplicar en la práctica si:
- Las intensidades predeterminadas de las entidades individuales no están disponibles o no son confiables.
- Las intensidades predeterminadas de las entidades individuales son innecesarias. Este puede ser el caso al evaluar una cartera homogénea como un índice de entidades homogéneas.
- El tamaño de una cartera hace que el modelado de las intensidades de incumplimiento individuales sea problemático.
Los modelos de arriba hacia abajo suelen ser más parsimoniosos, computacionalmente eficientes y, a menudo, pueden calibrarse mejor a los precios de mercado que los modelos de abajo hacia arriba. Aunque se ignora información aparentemente importante, como las intensidades de incumplimiento de entidades individuales, un modelo de arriba hacia abajo generalmente puede capturar mejor las propiedades de la cartera, como la volatilidad o las sonrisas de correlación. Además, la información predeterminada de entidades individuales a menudo se puede inferir mediante técnicas de reducción aleatorias; consulte Giesecke, Goldberg y Ding (2007) [33] para obtener más detalles.
En el marco de arriba hacia abajo, Schönbucher (2006) [34] crea una cadena de Markov de tasas de transición no homogénea en el tiempo . La correlación de incumplimiento se introduce mediante cambios en la volatilidad de las tasas de transición. Para ciertas constelaciones de parámetros, una mayor volatilidad significa una transición más rápida a estados más bajos por defecto y, como consecuencia, implica una mayor correlación por defecto y viceversa. De manera similar, Hurd y Kuznetsov (2006a) [35] y (2006b) [36] inducen la correlación mediante un cambio aleatorio en la velocidad del tiempo. Una velocidad de tiempo más rápida significa una transición más rápida a un estado más bajo, posiblemente predeterminado, y como resultado aumenta la correlación predeterminada y viceversa. Para un análisis comparativo de los enfoques de correlación en las finanzas, véase Albanese, Li, Lobachevskiy y Meissner (2010). [37]
Referencias
- ^ Bajo, RKY; Faff, R .; Aas, K. (2016). "Mejora de la selección de la cartera de varianza media mediante el modelado de asimetrías distribucionales" (PDF) . Revista de Economía y Empresa . 85 : 49–72. doi : 10.1016 / j.jeconbus.2016.01.003 .
- ^ Albanese, C .; D. Li; E. Lobachevskiy; G. Meissner (2010). "Un análisis comparativo o enfoques de correlación en finanzas". SSRN 1769302 .
- ^ Fantazzinni, D. (2009). "Los efectos de cópulas y marginales mal especificados en el cálculo del valor en riesgo: un estudio de Monte Carlo". Estadística computacional y análisis de datos . 53 (6): 2168–2188. doi : 10.1016 / j.csda.2008.02.002 .
- ^ Bajo, RKY; Faff, R .; Aas, K. (2016). "Mejora de la selección de la cartera de varianza media mediante el modelado de asimetrías distribucionales" (PDF) . Revista de Economía y Empresa . 85 : 49–72. doi : 10.1016 / j.jeconbus.2016.01.003 .
- ^ Modelado y gestión del riesgo de correlación: una guía aplicada. Gunter Meissner. Wiley 2014. [1]
- ^ Mahdavi Damghani B. (2013). "El valor no engañoso de la correlación inferida: una introducción al modelo de cointelación". Revista Wilmott . 2013 (67): 50–61. doi : 10.1002 / wilm.10252 .
- ^ Mahdavi Damghani B .; Welch D .; O'Malley C .; Caballeros S. (2012). "El valor engañoso de la correlación medida" (PDF) . Revista Wilmott . Archivado desde el original (PDF) el 4 de noviembre de 2013 . Consultado el 29 de octubre de 2013 .
- ^ Lucas, D. (1995). "Correlación de incumplimiento y análisis crediticio". Revista de Renta Fija . 4 (4): 76–87. doi : 10.3905 / jfi.1995.408124 . S2CID 154557991 .
- ^ Sklar, A. (1959). "Fonctions de répartition à n dimension et leurs marges". Publications de l'Institut de Statistique de l'Université de Paris . 8 : 229-231.
- ^ Sklar, A. (1987). "Valor de la cartera de préstamos". Revista RISK .
- ^ Li, D. (2000). "En la correlación por defecto: un enfoque de cópula". Revista de Renta Fija . 9 (4): 119-149. doi : 10.3905 / jfi.2000.319253 . S2CID 167437822 .
- ^ Nelsen, R. (2006). Una introducción a las cópulas (2 ed.). Saltador.
- ^ Salmón, F. (2009). "Receta para el desastre: la fórmula que mató a Wall Street". Revista cableada .
- ^ Jones, S. (24 de abril de 2009). "La fórmula que derribó Wall St". The Financial Times .
- ^ Lohr, S. (12 de septiembre de 2009). "Los magos de las matemáticas de Wall Street olvidaron algunas variables". New York Times .
- ^ Das, S .; D. Duffie; N. Kapadia; L. Saita (febrero de 2007). "Fallos comunes: cómo se correlacionan los incumplimientos corporativos". Revista de Finanzas . LSII, No1: 93-117. CiteSeerX 10.1.1.330.5575 . doi : 10.1111 / j.1540-6261.2007.01202.x . S2CID 6474056 .
- ^ Duffie, D .; A. Eckner; G. Horel; L. Saita (2009). "Fragilidad por defecto correlacionado". Revista de Finanzas . 64 (5): 2089–2123. CiteSeerX 10.1.1.603.8597 . doi : 10.1111 / j.1540-6261.2009.01495.x .
- ^ Bajo, RKY; Faff, R .; Aas, K. (2016). "Mejora de la selección de la cartera de varianza media mediante el modelado de asimetrías distribucionales" (PDF) . Revista de Economía y Empresa . 85 : 49–72. doi : 10.1016 / j.jeconbus.2016.01.003 .
- ^ Fantazzinni, D. (2009). "Los efectos de cópulas y marginales mal especificados en el cálculo del valor en riesgo: un estudio de Monte Carlo". Estadística computacional y análisis de datos . 53 (6): 2168–2188. doi : 10.1016 / j.csda.2008.02.002 .
- ^ Finger, C. (invierno de 2009). "Prueba de coberturas bajo el modelo estándar de fijación de precios de crédito por tramos". Revista RiskMetrics . SSRN 1356015 .
- ^ Donnelly, C .; Embrechts, P. (2010). "El diablo está en la cola: matemáticas actuariales y la crisis de las hipotecas de alto riesgo" (PDF) . Boletín ASTIN . 40 (1): 1–33. doi : 10.2143 / AST.40.1.2049222 . hdl : 20.500.11850 / 20517 . S2CID 14201831 .
- ^ Hull, J .; A. White (2004). "Valoración de un CDO y un enésimo CDS por defecto sin simulación Monte Carlo". Revista de derivados . 12 (2): 8-23. doi : 10.3905 / jod.2004.450964 . S2CID 13976617 .
- ^ Gregory, J .; Laurent, JP. (Octubre de 2004). "En el núcleo de la correlación". RIESGO .
- ^ Whetten, M .; M. Adelson (2004). "The Bespoke - A Guide to Single-Trache Synthetic CDOs". Investigación de Renta Fija de Nomura .
- ^ Meissner, G .; Héctor, R .; Rasmussen, T. (2008). "Cobertura de CDO en el marco de cópula gaussiana de un factor / La guía definitiva para CDO". Libros de RIESGO .
- ^ Hull, John C .; Predescu, Mirela; White, Alan (1 de enero de 2005). "La valoración de derivados de crédito dependientes de la correlación mediante un modelo estructural". doi : 10.2139 / ssrn.686481 . SSRN 686481 . Cite journal requiere
|journal=
( ayuda ) - ^ "Confesiones de un gestor de riesgos" . The Economist . 9 de abril de 2008 . Consultado el 30 de septiembre de 2013 .
- ^ Albanese, C .; O. Chen; A. Dalessandro; A. Vidler (2005), Dynamic Credit Correlation Modeling (documento de trabajo)
- ^ Albanese, C .; A. Vidler (2007). "Condicionamiento dinámico y cestas de correlación crediticia (documento de trabajo)". Cite journal requiere
|journal=
( ayuda ) - ^ Turc, J .; P. Very; D. Benhamou; V. Álvarez (2005). "Fijación de precios con una sonrisa, (artículo de investigación crediticia de SG)". Cite journal requiere
|journal=
( ayuda ) - ^ Davis, M .; Lo, V. (2001). "Infectos por defecto". Finanzas cuantitativas 1 .
- ^ Jarrow, R .; Yu, F. (2001). "Riesgo de contraparte y valoración de valores morosos". Revista de Finanzas . 56 (5): 1765-1799. CiteSeerX 10.1.1.2.3743 . doi : 10.1111 / 0022-1082.00389 .
- ^ Giesecke, K .; L. Goldberg; X. Ding (2009). "Un enfoque de arriba hacia abajo para el crédito de múltiples nombres". Investigación operativa . 59 (2): 283–300. CiteSeerX 10.1.1.139.6466 . doi : 10.1287 / opre.1100.0855 .
- ^ Schönbucher, P. (2006). "Las pérdidas de cartera y la estructura de términos de las tasas de transición de pérdidas: una nueva metodología para la fijación de precios de derivados de crédito de cartera (documento de trabajo)". Cite journal requiere
|journal=
( ayuda ) - ^ Hurd, TR; Kuznetsov, A. (2006). "Modelo de cadena de Markov afín de migración de crédito multifirma". Revista de riesgo crediticio . 2006a (3).
- ^ Hurd, TR; Kuznetsov, A. (2006). "Cálculos rápidos de CDO en el modelo de cadena de Affine Markov". Revista de riesgo crediticio . 2006b.
- ^ Albanese, C .; D. Li; E. Lobachevskiy; G. Meissner (2010). "Un análisis comparativo o enfoques de correlación en finanzas". SSRN 1769302 . Cite journal requiere
|journal=
( ayuda )