El déficit esperado ( ES ) es una medida de riesgo, un concepto que se utiliza en el campo de la medición del riesgo financiero para evaluar el riesgo de mercado o el riesgo crediticio de una cartera. El "déficit esperado en el nivel q%" es el rendimiento esperado de la cartera en el peorde los casos. ES es una alternativa al valor en riesgo que es más sensible a la forma de la cola de la distribución de pérdidas.
El déficit esperado también se denomina valor condicional en riesgo ( CVaR ), [1] valor promedio en riesgo ( AVaR ), pérdida de cola esperada ( ETL ) y supercuantilo . [2]
ES estima el riesgo de una inversión de forma conservadora, centrándose en los resultados menos rentables. Para valores altos de ignora las posibilidades más rentables pero poco probables, mientras que para valores pequeños de se centra en las peores pérdidas. Por otro lado, a diferencia de la pérdida máxima descontada , incluso para valores más bajos deel déficit esperado no considera solo el resultado más catastrófico. Un valor deutilizado a menudo en la práctica es del 5%. [ cita requerida ]
Déficit previsto se considera una medida de riesgo más útil que el valor en riesgo, ya que es una coherente , y por otra parte un espectral , medida de riesgo de la cartera financiera. Se calcula para un nivel de cuantiles dado, y se define como la pérdida media del valor de la cartera dado que se está produciendo una pérdida en o por debajo del-cuantil.
Definicion formal
Si (un espacio Lp ) es el pago de una cartera en algún momento futuro y luego definimos el déficit esperado como
dónde es el valor en riesgo . Esto se puede escribir de forma equivalente como
dónde es el mas bajo - cuantil yes la función del indicador . [3] La representación dual es
dónde es el conjunto de medidas de probabilidad que son absolutamente continuas a la medida física tal que casi seguro . [4] Tenga en cuenta quees la derivada Radon-Nikodym de con respecto a .
El déficit esperado se puede generalizar a una clase general de medidas de riesgo coherentes en espacios ( Lp espacio ) con una caracterización dual correspondiente en el correspondiente espacio dual . El dominio se puede ampliar para Orlicz Hearts más generales. [5]
Si la distribución subyacente para es una distribución continua, entonces el déficit esperado es equivalente a la expectativa condicional de cola definida por. [6]
De manera informal y no rigurosa, esta ecuación equivale a decir "en el caso de pérdidas tan severas que ocurren sólo el alfa por ciento de las veces, cuál es nuestra pérdida promedio".
El déficit esperado también se puede escribir como una medida de riesgo de distorsión dada por la función de distorsión
Ejemplos de
Ejemplo 1. Si creemos que nuestra pérdida promedio en el peor 5% de los resultados posibles para nuestra cartera es de 1000 EUR, entonces podríamos decir que nuestro déficit esperado es de 1000 EUR para la cola del 5%.
Ejemplo 2. Considere una cartera que tendrá los siguientes valores posibles al final del período:
probabilidad de evento | valor final de la cartera |
---|---|
10% | 0 |
30% | 80 |
40% | 100 |
20% | 150 |
Ahora suponga que pagamos 100 al comienzo del período por esta cartera. Entonces, la ganancia en cada caso es ( valor final −100) o:
probabilidad de evento | lucro |
---|---|
10% | −100 |
30% | −20 |
40% | 0 |
20% | 50 |
A partir de esta tabla, calculemos el déficit esperado. para unos valores de :
déficit esperado | |
---|---|
5% | 100 |
10% | 100 |
20% | 60 |
30% | 46. 6 |
40% | 40 |
50% | 32 |
60% | 26. 6 |
80% | 20 |
90% | 12. 2 |
100% | 6 |
Para ver cómo se calcularon estos valores, considere el cálculo de , la expectativa en el peor 5% de los casos. Estos casos pertenecen a (son un subconjunto de) la fila 1 de la tabla de ganancias, que tienen una ganancia de −100 (pérdida total de los 100 invertidos). La ganancia esperada para estos casos es −100.
Ahora considere el cálculo de , la expectativa en los peores 20 de cada 100 casos. Estos casos son los siguientes: 10 casos de la fila uno y 10 casos de la fila dos (tenga en cuenta que 10 + 10 es igual a los 20 casos deseados). Para la fila 1 hay una ganancia de −100, mientras que para la fila 2 hay una ganancia de −20. Usando la fórmula del valor esperado obtenemos
De manera similar para cualquier valor de . Seleccionamos tantas filas comenzando desde la parte superior como sean necesarias para dar una probabilidad acumulativa dey luego calcular una expectativa sobre esos casos. En general, es posible que la última fila seleccionada no se utilice por completo (por ejemplo, al calcular utilizamos solo 10 de los 30 casos por 100 proporcionados por la fila 2).
Como ejemplo final, calcule . Esta es la expectativa en todos los casos, o
El valor en riesgo (VaR) se proporciona a continuación para su comparación.
−100 | |
−20 | |
0 | |
50 |
Propiedades
El déficit esperado aumenta a medida que disminuye.
El déficit esperado de 100% cuantiles es igual a negativo del valor esperado de la cartera.
Para una cartera determinada, el déficit esperado es mayor o igual que el valor en riesgo al mismo nivel.
Optimización del déficit esperado
Se sabe que el déficit esperado, en su forma estándar, conduce a un problema de optimización generalmente no convexo. Sin embargo, es posible transformar el problema en un programa lineal y encontrar la solución global. [9] Esta propiedad hace que el déficit esperado sea una piedra angular de las alternativas a la optimización de la cartera de varianza media , que explica los momentos más altos (p. Ej., Asimetría y curtosis) de una distribución de rendimiento.
Suponga que queremos minimizar el déficit esperado de una cartera. La contribución clave de Rockafellar y Uryasev en su artículo de 2000 es introducir la función auxiliar para el déficit esperado:
Fórmulas para distribuciones de probabilidad continuas
Existen fórmulas de forma cerrada para calcular el déficit esperado cuando el pago de una cartera o una pérdida correspondiente sigue una distribución continua específica. En el primer caso, el déficit esperado corresponde al número opuesto de la expectativa condicional de la cola izquierda a continuación:
Valores típicos de en este caso son 5% y 1%.
Para aplicaciones de ingeniería o actuariales, es más común considerar la distribución de pérdidas , el déficit esperado en este caso corresponde a la expectativa condicional de la cola derecha arriba y los valores típicos de son 95% y 99%:
Dado que algunas fórmulas a continuación se derivaron para el caso de la cola izquierda y algunas para el caso de la cola derecha, las siguientes conciliaciones pueden ser útiles:
Distribución normal
Si el pago de una cartera sigue la distribución normal (gaussiana) con el pdf entonces el déficit esperado es igual a , dónde es el pdf normal estándar, es el CDF normal estándar, por lo que es el cuantil normal estándar. [10]
Si la pérdida de una cartera sigue la distribución normal, el déficit esperado es igual a . [11]
Distribución t de Student generalizada
Si el pago de una cartera sigue la distribución t de Student generalizada con el pdf entonces el déficit esperado es igual a , dónde es el pdf de distribución t estándar, es el CDF de distribución t estándar, por lo que es el cuantil de distribución t estándar. [10]
Si la pérdida de una cartera sigue la distribución t de Student generalizada, el déficit esperado es igual a . [11]
Distribución de Laplace
Si el pago de una cartera sigue la distribución de Laplace con el pdf
y el cdf
entonces el déficit esperado es igual a por . [10]
Si la pérdida de una cartera sigue la distribución de Laplace, el déficit esperado es igual a [11]
Distribución logística
Si el pago de una cartera sigue la distribución logística con el pdf y el cdf entonces el déficit esperado es igual a . [10]
Si la pérdida de una cartera sigue la distribución logística , el déficit esperado es igual a. [11]
Distribución exponencial
Si la pérdida de una cartera sigue una distribución exponencial con el pdf y el cdf entonces el déficit esperado es igual a . [11]
Distribución de Pareto
Si la pérdida de una cartera sigue la distribución de Pareto con el pdf y el cdf entonces el déficit esperado es igual a . [11]
Distribución de Pareto generalizada (GPD)
Si la pérdida de una cartera sigue GPD con el pdf
y el cdf
entonces el déficit esperado es igual a
y el VaR es igual a [11]
Distribución de Weibull
Si la pérdida de una cartera sigue la distribución de Weibull con el pdf y el cdf entonces el déficit esperado es igual a , dónde es la función gamma incompleta superior . [11]
Distribución generalizada de valores extremos (GEV)
Si el pago de una cartera sigue a GEV con el pdf y el cdf entonces el déficit esperado es igual a y el VaR es igual a , dónde es la función gamma incompleta superior ,es la función integral logarítmica . [12]
Si la pérdida de una cartera sigue GEV , entonces el déficit esperado es igual a, dónde es la función gamma incompleta inferior ,es la constante de Euler-Mascheroni . [11]
Distribución secante hiperbólica generalizada (GHS)
Si el pago de una cartera sigue la distribución GHS con el pdfy el cdf entonces el déficit esperado es igual a , dónde es la función de Spence ,es la unidad imaginaria. [12]
Distribución SU de Johnson
Si el pago de una cartera sigue la distribución SU de Johnson con el CDF entonces el déficit esperado es igual a , dónde es la CDF de la distribución normal estándar. [13]
Distribución de rebabas tipo XII
Si el pago de una cartera sigue la distribución de Burr tipo XII con el pdf y el cdf , el déficit esperado es igual a , dónde es la función hipergeométrica . Alternativamente,. [12]
Distribución de dagum
Si el pago de una cartera sigue la distribución de Dagum con el pdf y el cdf , el déficit esperado es igual a , dónde es la función hipergeométrica . [12]
Distribución lognormal
Si el pago de una cartera sigue una distribución logarítmica normal , es decir, la variable aleatoria sigue la distribución normal con el pdf , entonces el déficit esperado es igual a , dónde es el CDF normal estándar, por lo que is the standard normal quantile.[14]
Log-logistic distribution
If the payoff of a portfolio follows log-logistic distribution, i.e. the random variable follows logistic distribution with the p.d.f. , then the expected shortfall is equal to , where is the regularized incomplete beta function, .
As the incomplete beta function is defined only for positive arguments, for a more generic case the expected shortfall can be expressed with the hypergeometric function: .[14]
If the loss of a portfolio follows log-logistic distribution with p.d.f. and c.d.f. , then the expected shortfall is equal to , where is the incomplete beta function.[11]
Log-Laplace distribution
If the payoff of a portfolio follows log-Laplace distribution, i.e. the random variable follows Laplace distribution the p.d.f. , then the expected shortfall is equal to .[14]
Log-generalized hyperbolic secant (log-GHS) distribution
If the payoff of a portfolio follows log-GHS distribution, i.e. the random variable follows GHS distribution with the p.d.f. , then the expected shortfall is equal to , where is the hypergeometric function.[14]
Déficit dinámico esperado
The conditional version of the expected shortfall at the time t is defined by
where .[15][16]
This is not a time-consistent risk measure. The time-consistent version is given by
such that[17]
Ver también
- Coherent risk measure
- EMP for stochastic programming – solution technology for optimization problems involving ES and VaR
- Entropic value at risk
- Value at risk
Methods of statistical estimation of VaR and ES can be found in Embrechts et al.[18] and Novak.[19] When forecasting VaR and ES, or optimizing portfolios to minimize tail risk, it is important to account for asymmetric dependence and non-normalities in the distribution of stock returns such as auto-regression, asymmetric volatility, skewness, and kurtosis.[20]
Referencias
- ^ Rockafellar, R. Tyrrell; Uryasev, Stanislav (2000). "Optimization of conditional value-at-risk" (PDF). Journal of Risk. 2 (3): 21–42. doi:10.21314/JOR.2000.038.
- ^ Rockafellar, R. Tyrrell; Royset, Johannes (2010). "On Buffered Failure Probability in Design and Optimization of Structures" (PDF). Reliability Engineering and System Safety. 95 (5): 499–510. doi:10.1016/j.ress.2010.01.001.
- ^ Carlo Acerbi; Dirk Tasche (2002). "Expected Shortfall: a natural coherent alternative to Value at Risk" (PDF). Economic Notes. 31 (2): 379–388. arXiv:cond-mat/0105191. doi:10.1111/1468-0300.00091. S2CID 10772757. Retrieved April 25, 2012.
- ^ Föllmer, H.; Schied, A. (2008). "Convex and coherent risk measures" (PDF). Retrieved October 4, 2011. Cite journal requires
|journal=
(help) - ^ Patrick Cheridito; Tianhui Li (2008). "Dual characterization of properties of risk measures on Orlicz hearts". Mathematics and Financial Economics. 2: 2–29. doi:10.1007/s11579-008-0013-7. S2CID 121880657.
- ^ "Average Value at Risk" (PDF). Archived from the original (PDF) on July 19, 2011. Retrieved February 2, 2011.
- ^ Julia L. Wirch; Mary R. Hardy. "Distortion Risk Measures: Coherence and Stochastic Dominance" (PDF). Archived from the original (PDF) on July 5, 2016. Retrieved March 10, 2012.
- ^ Balbás, A.; Garrido, J.; Mayoral, S. (2008). "Properties of Distortion Risk Measures" (PDF). Methodology and Computing in Applied Probability. 11 (3): 385. doi:10.1007/s11009-008-9089-z. hdl:10016/14071. S2CID 53327887.
- ^ Rockafellar, R. Tyrrell; Uryasev, Stanislav (2000). "Optimization of conditional value-at-risk" (PDF). Journal of Risk. 2 (3): 21–42. doi:10.21314/JOR.2000.038.
- ^ a b c d Khokhlov, Valentyn (2016). "Conditional Value-at-Risk for Elliptical Distributions". Evropský časopis Ekonomiky a Managementu. 2 (6): 70–79.
- ^ a b c d e f g h i j Norton, Matthew; Khokhlov, Valentyn; Uryasev, Stan (2018-11-27). "Calculating CVaR and bPOE for Common Probability Distributions With Application to Portfolio Optimization and Density Estimation". arXiv:1811.11301 [q-fin.RM].
- ^ a b c d Khokhlov, Valentyn (2018-06-21). "Conditional Value-at-Risk for Uncommon Distributions". SSRN 3200629. Cite journal requires
|journal=
(help) - ^ Stucchi, Patrizia (2011-05-31). "Moment-Based CVaR Estimation: Quasi-Closed Formulas". SSRN 1855986. Cite journal requires
|journal=
(help) - ^ a b c d Khokhlov, Valentyn (2018-06-17). "Conditional Value-at-Risk for Log-Distributions". SSRN 3197929. Cite journal requires
|journal=
(help) - ^ Detlefsen, Kai; Scandolo, Giacomo (2005). "Conditional and dynamic convex risk measures" (PDF). Finance Stoch. 9 (4): 539–561. CiteSeerX 10.1.1.453.4944. doi:10.1007/s00780-005-0159-6. S2CID 10579202. Retrieved October 11, 2011.[dead link]
- ^ Acciaio, Beatrice; Penner, Irina (2011). "Dynamic convex risk measures" (PDF). Archived from the original (PDF) on September 2, 2011. Retrieved October 11, 2011. Cite journal requires
|journal=
(help) - ^ Cheridito, Patrick; Kupper, Michael (May 2010). "Composition of time-consistent dynamic monetary risk measures in discrete time" (PDF). International Journal of Theoretical and Applied Finance. Archived from the original (PDF) on July 19, 2011. Retrieved February 4, 2011.
- ^ Embrechts P., Kluppelberg C. and Mikosch T., Modelling Extremal Events for Insurance and Finance. Springer (1997).
- ^ Novak S.Y., Extreme value methods with applications to finance. Chapman & Hall/CRC Press (2011). ISBN 978-1-4398-3574-6.
- ^ Low, R.K.Y.; Alcock, J.; Faff, R.; Brailsford, T. (2013). "Canonical vine copulas in the context of modern portfolio management: Are they worth it?" (PDF). Journal of Banking & Finance. 37 (8): 3085–3099. doi:10.1016/j.jbankfin.2013.02.036. S2CID 154138333.
enlaces externos
- Rockafellar, Uryasev: Optimization of conditional Value-at-Risk, 2000.
- C. Acerbi and D. Tasche: On the Coherence of Expected Shortfall, 2002.
- Rockafellar, Uryasev: Conditional Value-at-Risk for general loss distributions, 2002.
- Acerbi: Spectral measures of risk, 2005
- Phi-Alpha optimal portfolios and extreme risk management, Best of Wilmott, 2003
- CTAC Antoine