En finanzas, el modelo Heston , que lleva el nombre de Steven L. Heston , es un modelo matemático que describe la evolución de la volatilidad de un activo subyacente . [1] Es un modelo de volatilidad estocástica : dicho modelo asume que la volatilidad del activo no es constante, ni siquiera determinista, sino que sigue un proceso aleatorio .
Modelo básico de Heston
El modelo básico de Heston supone que S t , el precio del activo, está determinado por un proceso estocástico, [2]
dónde , la varianza instantánea, viene dada por un proceso de raíz cuadrada de Feller o CIR ,
y son procesos de Wiener (es decir, caminatas aleatorias continuas) con correlación ρ.
El modelo tiene cinco parámetros:
- , la tasa de rendimiento del activo.
- , la varianza a largo plazo, o varianza promedio a largo plazo del precio; como t tiende a infinito, el valor esperado de ν t tiende a θ.
- , la tasa a la que ν t vuelve a θ.
- , la volatilidad de la volatilidad, o 'vol de vol', que determina la varianza de ν t .
- , la volatilidad inicial.
Si los parámetros obedecen a la siguiente condición (conocida como condición Feller), entonces el proceso es estrictamente positivo [3]
Medida neutral al riesgo
- Consulte Medida neutral al riesgo para ver el artículo completo.
Un concepto fundamental en la fijación de precios de derivados es la medida neutral al riesgo ; esto se explica con mayor profundidad en el artículo anterior. Para nuestros propósitos, es suficiente señalar lo siguiente:
- Para fijar el precio de un derivado cuyo pago es función de uno o más activos subyacentes, evaluamos el valor esperado de su pago descontado bajo una medida neutral al riesgo.
- Una medida neutral al riesgo, también conocida como medida de martingala equivalente, es aquella que es equivalente a la medida del mundo real y que está libre de arbitraje: bajo tal medida, el precio con descuento de cada uno de los activos subyacentes es una martingala. . Vea el teorema de Girsanov .
- En los marcos de Black-Scholes y Heston (donde las filtraciones se generan a partir de un conjunto linealmente independiente de procesos de Wiener solamente), cualquier medida equivalente se puede describir en un sentido muy amplio agregando una deriva a cada uno de los procesos de Wiener.
- Al seleccionar ciertos valores para las desviaciones descritas anteriormente, podemos obtener una medida equivalente que cumpla la condición libre de arbitraje.
Considere una situación general en la que tenemos activos subyacentes y un conjunto linealmente independiente de Procesos de Wiener. El conjunto de medidas equivalentes es isomorfo a R m , el espacio de posibles derivas. Considere que el conjunto de medidas equivalentes de martingala es isomorfo a una variedadincrustado en R m ; Inicialmente, considere la situación en la que no tenemos activos yes isomorfo a R m .
Ahora considere que cada uno de los activos subyacentes proporciona una restricción sobre el conjunto de medidas equivalentes, ya que su proceso de descuento esperado debe ser igual a una constante (es decir, su valor inicial). Al agregar un activo a la vez, podemos considerar cada restricción adicional como una reducción de la dimensión depor una dimensión. Por tanto, podemos ver que en la situación general descrita anteriormente, la dimensión del conjunto de medidas equivalentes de martingala es.
En el modelo de Black-Scholes, tenemos un activo y un proceso de Wiener. La dimensión del conjunto de medidas equivalentes de martingala es cero; por tanto, se puede demostrar que existe un valor único para la deriva y, por tanto, una única medida neutral al riesgo, según la cual el activo descontadoserá una martingala. [ cita requerida ]
En el modelo de Heston, todavía tenemos un activo (la volatilidad no se considera directamente observable o negociable en el mercado) pero ahora tenemos dos procesos de Wiener: el primero en la Ecuación Diferencial Estocástica (SDE) para el activo y el segundo en el SDE para la volatilidad estocástica. Aquí, la dimensión del conjunto de medidas de martingala equivalentes es uno; no existe una medida única libre de riesgos. [ cita requerida ]
Por supuesto, esto es problemático; Si bien, en teoría, cualquiera de las medidas libres de riesgo puede utilizarse para fijar el precio de un derivado, es probable que cada una de ellas dé un precio diferente. Sin embargo, en teoría, solo una de estas medidas libres de riesgo sería compatible con los precios de mercado de las opciones dependientes de la volatilidad (por ejemplo, llamadas europeas o, más explícitamente, swaps de varianza ). Por lo tanto, podríamos agregar un activo dependiente de la volatilidad; [ cita requerida ] al hacerlo, agregamos una restricción adicional y, por lo tanto, elegimos una única medida libre de riesgo que sea compatible con el mercado. Esta medida puede usarse para fijar precios.
Implementación
- Carr y Madan demostraron el uso de la transformada de Fourier para valorar las opciones. [4]
- Kahl y Jäckel dieron una discusión sobre la implementación del modelo Heston. [5]
- Benhamou et al. Presentaron una derivación de los precios de las opciones de forma cerrada para el modelo de Heston dependiente del tiempo. [6]
- Christoffersen et al. Proporcionaron una derivación de los precios de las opciones de forma cerrada para el modelo de doble Heston. [7] y por Gauthier y Possamai. [8]
- Grzelak y Oosterlee dieron una extensión del modelo de Heston con tipos de interés estocásticos. [9]
- Una expresión de la función característica del modelo de Heston que es numéricamente continua y fácilmente diferenciable con respecto a los parámetros fue introducida por Cui et al. [10]
- Van Der Weijst dio el uso del modelo en un contexto de volatilidad estocástica local. [11]
- Kouritzin desarrolló una solución explícita de la ecuación de precios de Heston en términos de volatilidad. [12] Esto se puede combinar con soluciones débiles conocidas para la ecuación de volatilidad y el teorema de Girsanov para producir soluciones débiles explícitas del modelo de Heston. Estas soluciones son útiles para una simulación eficiente.
- Los precios de referencia de alta precisión están disponibles en una publicación de blog de Alan Lewis. [13]
- Existen pocas parametrizaciones conocidas de la superficie de volatilidad basadas en el modelo de Heston (Schonbusher, SVI y gSVI).
Calibración
La calibración del modelo de Heston a menudo se formula como un problema de mínimos cuadrados , con la función objetivo minimizando la diferencia al cuadrado entre los precios observados en el mercado y los calculados a partir del modelo.
Los precios son típicamente los de las opciones de vainilla. A veces, el modelo también se calibra con la estructura de términos de intercambio de varianza como en Guillaume y Schoutens. [14] Otro enfoque más es incluir opciones de inicio anticipado, u opciones de barrera también, para capturar la sonrisa hacia adelante.
Según el modelo de Heston, el precio de las opciones de vainilla se da analíticamente, pero requiere un método numérico para calcular la integral. Le Floc'h [15] resumió las diversas cuadraturas aplicadas y propuso una cuadratura de Filon adaptativa eficiente.
La calibración generalmente requiere el gradiente de la función objetivo con respecto a los parámetros del modelo. Por lo general, esto se calculó con una aproximación de diferencias finitas, aunque es menos precisa, menos eficiente y menos elegante que un gradiente analítico porque una expresión perspicaz de este último estuvo disponible solo cuando Cui et al introdujeron una nueva representación de la función característica. en 2017 [10] . Otra posibilidad es recurrir a la diferenciación automática . Por ejemplo, el modo tangente de diferenciación algorítmica se puede aplicar utilizando números duales de una manera sencilla.
Ver también
- Volatilidad estocástica
- Medida neutral al riesgo (otro nombre para la medida de martingala equivalente)
- Teorema de girsanov
- Martingala (teoría de la probabilidad)
- Modelo de volatilidad SABR
- Código MATLAB para implementación por Kahl, Jäckel y Lord
Referencias
- ^ Heston, Steven L. (1993). "Una solución de forma cerrada para opciones con volatilidad estocástica con aplicaciones a opciones de bonos y divisas" . Revisión de estudios financieros . 6 (2): 327–343. doi : 10.1093 / rfs / 6.2.327 . JSTOR 2962057 .
- ^ Wilmott, P. (2006), Paul Wilmott sobre finanzas cuantitativas (2ª ed.), Pág. 861
- ^ Albrecher, H .; Mayer, P .; Schoutens, W .; Tistaert, J. (enero de 2007), "The little Heston trap", Wilmott Magazine : 83–92, CiteSeerX 10.1.1.170.9335
- ^ Carr, P .; Madan, D. (1999). "Valoración de opciones mediante la transformada rápida de Fourier" (PDF) . Revista de finanzas computacionales . 2 (4): 61–73. CiteSeerX 10.1.1.6.9994 . doi : 10.21314 / JCF.1999.043 .
- ^ Kahl, C .; Jäckel, P. (2005). "Logaritmos no tan complejos en el modelo de Heston" (PDF) . Revista Wilmott : 74-103.
- ^ Benhamou, E .; Gobet, E .; Miri, M. (2009). "Modelo Heston dependiente del tiempo". CiteSeerX 10.1.1.657.6271 . doi : 10.2139 / ssrn.1367955 . SSRN 1367955 . Cite journal requiere
|journal=
( ayuda ) - ^ Christoffersen, P .; Heston, S .; Jacobs, K. (2009). "La forma y la estructura temporal de la sonrisa de la opción de índice: por qué los modelos de volatilidad estocástica multifactorial funcionan tan bien". SSRN 1447362 . Cite journal requiere
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( ayuda ) - ^ Gauthier, P .; Possamai, D. (2009). "Simulación eficiente del modelo de doble Heston". SSRN 1434853 . Cite journal requiere
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( ayuda ) - ^ Grzelak, LA; Oosterlee, CW (2011). "Sobre el modelo de Heston con tipos de interés estocásticos" . Revista SIAM de Matemática Financiera . 2 : 255-286. doi : 10.1137 / 090756119 .
- ^ a b Cui, Y .; Del Baño Rollin, S .; Germano, G. (2017). "Calibración completa y rápida del modelo de volatilidad estocástica de Heston". Revista europea de investigación operativa . 263 (2): 625–638. arXiv : 1511.08718 . doi : 10.1016 / j.ejor.2017.05.018 .
- ^ van der Weijst, Roel (2017). "Soluciones numéricas para el modelo de volatilidad local estocástico" . Cite journal requiere
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( ayuda ) - ^ Kouritzin, M. (2018). "Soluciones explícitas de Heston y aproximación estocástica para precios de opciones dependientes de la ruta". Revista Internacional de Finanzas Teóricas y Aplicadas . 21 : 1850006. arXiv : 1608.02028 . doi : 10.1142 / S0219024918500061 .
- ^ url = https://financepress.com/2019/02/15/heston-model-reference-prices/
- ^ Guillaume, Florencia; Schoutens, Wim (2013). "Modelo Heston: la calibración de intercambio de varianza". SSRN 2255550 . Cite journal requiere
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( ayuda ) - ^ Le Floc'h, Fabien (2018). "Una cuadratura de Filon adaptativa para modelos de volatilidad estocástica". Revista de finanzas computacionales . 22 (3): 65–88. doi : 10.21314 / JCF.2018.356 .
- Damghani, Babak Mahdavi; Kos, Andrew (2013). "Desarbitraje con una sonrisa débil: aplicación para sesgar el riesgo". Wilmott . 2013 (1): 40–49. doi : 10.1002 / wilm.10201 .