Nido de abeja dodecaédrico Order-4 | |
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Tipo | Nido de abeja hiperbólico regular Nido de abeja hiperbólico uniforme |
Símbolo de Schläfli | {5,3,4} {5,3 1,1 } |
Diagrama de Coxeter | ↔ |
Células | {5,3} |
Caras | pentágono {5} |
Figura de borde | cuadrado {4} |
Figura de vértice | octaedro |
Doble | Nido de abeja cúbica Order-5 |
Grupo Coxeter | , [4,3,5] , [5,3 1,1 ] |
Propiedades | Panal de abeja regular, cuasirregular |
En la geometría del 3-espacio hiperbólico , el nido de abeja dodecaédrico de orden 4 es una de las cuatro teselaciones (o panales ) compactas y regulares que llenan el espacio . Con el símbolo de Schläfli {5,3,4}, tiene cuatro dodecaedros alrededor de cada borde y 8 dodecaedros alrededor de cada vértice en una disposición octaédrica . Sus vértices se construyen a partir de 3 ejes ortogonales. Su dual es el nido de abeja cúbico de orden 5 .
Un panal geométrico es un relleno de espacio de celdas poliédricas o de mayor dimensión , de modo que no hay espacios. Es un ejemplo del mosaico o teselado matemático más general en cualquier número de dimensiones.
Los panales generalmente se construyen en un espacio euclidiano ordinario ("plano"), como los panales convexos uniformes . También pueden construirse en espacios no euclidianos , como panales uniformes hiperbólicos . Cualquier politopo uniforme finito se puede proyectar a su circunsfera para formar un panal uniforme en el espacio esférico.
Descripción
El ángulo diedro de un dodecaedro regular es ~ 116,6 °, por lo que es imposible colocar 4 de ellos en un borde en el espacio tridimensional euclidiano. Sin embargo, en el espacio hiperbólico, un dodecaedro regular correctamente escalado se puede escalar para que sus ángulos diedros se reduzcan a 90 grados, y luego cuatro encajen exactamente en cada borde.
Simetría
Tiene una construcción de media simetría, {5,3 1,1 }, con dos tipos (colores) de dodecaedros en la construcción de Wythoff . ↔ .
Imagenes
Una vista del panal dodecaédrico de orden 4 bajo el modelo Beltrami-Klein
Politopos y panales relacionados
Hay cuatro panales compactos regulares en el espacio hiperbólico 3D:
{5,3,4} | {4,3,5} | {3,5,3} | {5,3,5} |
Hay quince panales uniformes en la familia del grupo [5,3,4] Coxeter , incluida esta forma regular.
{5,3,4} | r {5,3,4} | t {5,3,4} | rr {5,3,4} | t 0,3 {5,3,4} | tr {5,3,4} | t 0,1,3 {5,3,4} | t 0,1,2,3 {5,3,4} |
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{4,3,5} | r {4,3,5} | t {4,3,5} | rr {4,3,5} | 2t {4,3,5} | tr {4,3,5} | t 0,1,3 {4,3,5} | t 0,1,2,3 {4,3,5} |
Hay once panales uniformes en la familia del grupo bifurcado [5,3 1,1 ] Coxeter, incluido este panal en su forma alterna. Esta construcción se puede representar mediante alternancia (tablero de ajedrez) con dos colores de celdas dodecaédricas.
Este nido de abeja está también relacionada con la de 16 células , panal cúbico , y el fin-4 hexagonal suelo de baldosas de nido de abeja todos los cuales tienen figura de vértice octaédricos:
{p, 3,4} panales regulares | |||||||||||
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Espacio | S 3 | E 3 | H 3 | ||||||||
Formulario | Finito | Afín | Compacto | Paracompacto | No compacto | ||||||
Nombre | {3,3,4} | {4,3,4} | {5,3,4} | {6,3,4} | {7,3,4} | {8,3,4} | ... {∞, 3,4} | ||||
Imagen | |||||||||||
Células | {3,3} | {4,3} | {5,3} | {6,3} | {7,3} | {8,3} | {∞, 3} |
Este panal es parte de una secuencia de policora y panales con células dodecaédricas :
Espacio | S 3 | H 3 | |||||
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Formulario | Finito | Compacto | Paracompacto | No compacto | |||
Nombre | {5,3,3} | {5,3,4} | {5,3,5} | {5,3,6} | {5,3,7} | {5,3,8} | ... {5,3, ∞} |
Imagen | |||||||
Figura de vértice | {3,3} | {3,4} | {3,5} | {3,6} | {3,7} | {3,8} | {3, ∞} |
Nido de abeja dodecaédrico de orden 4 rectificado
Nido de abeja dodecaédrico de orden 4 rectificado | |
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Tipo | Panales uniformes en el espacio hiperbólico |
Símbolo de Schläfli | r {5,3,4} r {5,3 1,1 } |
Diagrama de Coxeter | ↔ |
Células | r {5,3} {3,4} |
Caras | triángulo {3} pentágono {5} |
Figura de vértice | prisma cuadrado |
Grupo Coxeter | , [4,3,5] , [5,3 1,1 ] |
Propiedades | Vértice-transitivo, borde-transitivo |
El panal dodecaédrico rectificado de orden 4 ,, tiene celdas alternas de octaedro e icosidodecaedro , con una figura de vértice de prisma cuadrado .
Panales relacionados
Hay cuatro panales regulares compactos rectificados:
Imagen | ||||
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Simbolos | r {5,3,4} | r {4,3,5} | r {3,5,3} | r {5,3,5} |
Figura de vértice |
Panal dodecaédrico truncado de orden 4
Panal dodecaédrico truncado de orden 4 | |
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Tipo | Panales uniformes en el espacio hiperbólico |
Símbolo de Schläfli | t {5,3,4} t {5,3 1,1 } |
Diagrama de Coxeter | ↔ |
Células | t {5,3} {3,4} |
Caras | triángulo {3} decágono {10} |
Figura de vértice | pirámide cuadrada |
Grupo Coxeter | , [4,3,5] , [5,3 1,1 ] |
Propiedades | Vértice-transitivo |
El panal dodecaédrico truncado de orden 4 ,, tiene celdas octaedro y dodecaedro truncado , con una figura de vértice piramidal cuadrada .
Puede verse como análogo al mosaico pentagonal de orden 4 truncado hiperbólico 2D , t {5,4} con pentágono truncado y caras cuadradas:
Panales relacionados
Imagen | ||||
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Simbolos | t {5,3,4} | t {4,3,5} | t {3,5,3} | t {5,3,5} |
Figura de vértice |
Nido de abeja bitruncado orden-4 dodecaédrico
Nido de abeja dodecaédrico bitruncado orden-4 Nido de abeja cúbico bitruncado orden-5 | |
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Tipo | Panales uniformes en el espacio hiperbólico |
Símbolo de Schläfli | 2t {5,3,4} 2t {5,3 1,1 } |
Diagrama de Coxeter | ↔ |
Células | t {3,5} t {3,4} |
Caras | cuadrado {4} pentágono {5} hexágono {6} |
Figura de vértice | disphenoid digonal |
Grupo Coxeter | , [4,3,5] , [5,3 1,1 ] |
Propiedades | Vértice-transitivo |
El panal dodecaédrico bitruncado de orden 4 , o el panal cúbico bitruncado de orden 5 ,, tiene un octaedro truncado e icosaedro truncado , con una figura de vértice de esfenoides digonal .
Panales relacionados
Imagen | |||
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Simbolos | 2t {4,3,5} | 2t {3,5,3} | 2t {5,3,5} |
Figura de vértice |
Panal dodecaédrico cantelado orden-4
Panal dodecaédrico cantelado orden-4 | |
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Tipo | Panales uniformes en el espacio hiperbólico |
Símbolo de Schläfli | rr {5,3,4} rr {5,3 1,1 } |
Diagrama de Coxeter | ↔ |
Células | rr {3,5} r {3,4} {} x {4} |
Caras | triángulo {3} cuadrado {4} pentágono {5} |
Figura de vértice | cuña |
Grupo Coxeter | , [4,3,5] , [5,3 1,1 ] |
Propiedades | Vértice-transitivo |
El panal dodecaédrico cantelado de orden 4 ,, tiene rombicosidodecaedro , cuboctaedro y células cúbicas , con una figura de vértice en cuña .
Panales relacionados
Cuatro panales compactos regulares cantelados en H 3 | |||||||||||||||
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Nido de abeja dodecaédrico cantitruncado de orden 4
Nido de abeja dodecaédrico cantitruncado de orden 4 | |
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Tipo | Panales uniformes en el espacio hiperbólico |
Símbolo de Schläfli | tr {5,3,4} tr {5,3 1,1 } |
Diagrama de Coxeter | ↔ |
Células | tr {3,5} t {3,4} {} x {4} |
Caras | cuadrado {4} hexágono {6} decágono {10} |
Figura de vértice | esfenoides reflejados |
Grupo Coxeter | , [4,3,5] , [5,3 1,1 ] |
Propiedades | Vértice-transitivo |
El panal dodecaédrico cantitruncado de orden 4 ,, tiene icosidodecaedro truncado , octaedro truncado y células cúbicas , con una figura de vértice esfenoidal reflejada .
Panales relacionados
Imagen | ||||
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Simbolos | tr {5,3,4} | tr {4,3,5} | tr {3,5,3} | tr {5,3,5} |
Figura de vértice |
Panal dodecaédrico de orden 4 runcinado
El nido de abeja dodecaédrico de orden 4 runcinado es el mismo que el nido de abeja cúbico de orden 5 de orden runcinado .
Nido de abeja dodecaédrico runcitruncado orden-4
Nido de abeja dodecaédrico runcitruncado orden-4 | |
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Tipo | Panales uniformes en el espacio hiperbólico |
Símbolo de Schläfli | t 0,1,3 {5,3,4} |
Diagrama de Coxeter | |
Células | t {5,3} rr {3,4} {} x {10} {} x {4} |
Caras | triángulo {3} cuadrado {4} decágono {10} |
Figura de vértice | pirámide isósceles-trapezoidal |
Grupo Coxeter | , [4,3,5] |
Propiedades | Vértice-transitivo |
El panal dodecaédrico runcitruncado de orden 4 ,, tiene dodecaedro truncado , rombicuboctaedro , prisma decagonal y células cúbicas , con una figura de vértice piramidal isósceles-trapezoidal .
Panales relacionados
Cuatro panales compactos regulares runcitruncated en H 3 | |||||||||||||||
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Nido de abeja dodecaédrico runcicantellated orden-4
El nido de abeja dodecaédrico de orden-4 runcicantellated es el mismo que el nido de abeja cúbico de orden 5 runcitruncado .
Panal de abeja dodecaédrico de orden 4 omnitruncado
El nido de abeja dodecaédrico omnitruncado de orden 4 es el mismo que el nido de abeja cúbico omnitruncado de orden 5 .
Ver también
- Panales uniformes convexos en el espacio hiperbólico
- Teselaciones regulares de 3 espacios hiperbólicos
- Esfera de homología de Poincaré Espacio dodecaédrico de Poincaré
- Espacio Seifert-Weber Espacio dodecaédrico Seifert-Weber
Referencias
- Coxeter , Politopos regulares , 3er. ed., Dover Publications, 1973. ISBN 0-486-61480-8 . (Tablas I y II: Politopos y panales regulares, págs. 294–296)
- Coxeter , La belleza de la geometría: Doce ensayos , Publicaciones de Dover, 1999 ISBN 0-486-40919-8 (Capítulo 10: Panales regulares en el espacio hiperbólico, Tablas de resumen II, III, IV, V, p212-213)
- Jeffrey R. Weeks La forma del espacio, 2a ediciónISBN 0-8247-0709-5 (Capítulo 16-17: Geometrías en tres colectores I, II)
- Politopos uniformes de Norman Johnson , manuscrito
- NW Johnson : La teoría de politopos uniformes y panales , Ph.D. Disertación, Universidad de Toronto, 1966
- NW Johnson: Geometrías y Transformaciones , (2018) Capítulo 13: Grupos de Coxeter hiperbólico