Grupo generado finitamente
En álgebra , un grupo generado finitamente es un grupo G que tiene algún conjunto generador finito S , de modo que cada elemento de G puede escribirse como la combinación (bajo la operación de grupo) de muchos elementos finitos del conjunto finito S y de inversos de tales elementos. [1]
Por definición, todo grupo finito se genera finitamente, ya que S puede tomarse como el mismo G. Todo grupo infinito generado finitamente debe ser contable , pero los grupos contables no necesitan generarse finitamente. El grupo aditivo de números racionales Q es un ejemplo de un grupo contable que no se genera finitamente.
Cada grupo abeliano se puede ver como un módulo sobre el anillo de números enteros Z , y en un grupo abeliano finitamente generado con generadores x 1 , ..., x n , cada elemento del grupo x se puede escribir como una combinación lineal de estos generadores,
El teorema fundamental de los grupos abelianos finitamente generados establece que un grupo abeliano finitamente generado es la suma directa de un grupo abeliano libre de rango finito y un grupo abeliano finito, cada uno de los cuales es único hasta el isomorfismo.
Un subgrupo de un grupo generado finitamente no necesita generarse finitamente. El subgrupo del conmutador del grupo libre en dos generadores es un ejemplo de un subgrupo de un grupo generado de forma finita que no se genera de forma finita.
Un subgrupo de índice finito en un grupo generado finitamente siempre se genera finitamente, y la fórmula del índice de Schreier da un límite en el número de generadores requeridos. [2]
