En matemáticas , un grupo G se llama la suma directa [1] [2] de dos subgrupos H 1 y H 2 si
- cada H 1 y H 2 son subgrupos normales de G ,
- los subgrupos H 1 y H 2 tienen una intersección trivial (es decir, que solo tienen el elemento de identidad de G en común),
- G = < H 1 , H 2 >; en otras palabras, G es generado por los subgrupos H 1 y H 2 .
De manera más general, G se denomina suma directa de un conjunto finito de subgrupos { H i } si
- cada H i es un subgrupo normal de G ,
- cada H i tiene una intersección trivial con el subgrupo <{ H j : j ≠ i }> ,
- G = <{ H i }>; en otras palabras, G es generado por los subgrupos { H i }.
Si G es la suma directa de los subgrupos H y K, entonces escribimos G = H + K , y si G es la suma directa de un conjunto de subgrupos { H i }, a menudo escribimos G = ∑ H i . Hablando libremente, una suma directa es isomorfa a un producto directo débil de subgrupos.
En álgebra abstracta , este método de construcción puede generalizarse para sumas directas de espacios vectoriales , módulos y otras estructuras; consulte el artículo suma directa de módulos para obtener más información.
Esta suma directa es conmutativa hasta el isomorfismo. Es decir, si G = H + K entonces también G = K + H y por lo tanto H + K = K + H . También se asociativo en el sentido de que si G = H + K , y K = L + M , entonces G = H + ( L + M ) = H + L + M .
Un grupo que puede expresarse como una suma directa de subgrupos no triviales se llama descomponible , y si un grupo no puede expresarse como una suma directa, entonces se llama indecomponible .
Si G = H + K , entonces se puede probar que:
- para todo h en H , k en K , tenemos que h ∗ k = k ∗ h
- para todo g en G , existe una única h en H , k en K tal que g = h ∗ k
- Hay una cancelación de la suma en un cociente; de modo que ( H + K ) / K es isomorfo a H
Las afirmaciones anteriores se pueden generalizar al caso de G = ∑ H i , donde { H i } es un conjunto finito de subgrupos:
- si i ≠ j , entonces para todo h i en H i , h j en H j , tenemos que h i ∗ h j = h j ∗ h i
- para cada g en G , existe un conjunto único de elementos h i en H i tal que
- g = h 1 ∗ h 2 ∗ ... ∗ h yo ∗ ... ∗ h n
- Hay una cancelación de la suma en un cociente; de modo que ((∑ H i ) + K ) / K es isomorfo a ∑ H i .
Tenga en cuenta la similitud con el producto directo , donde cada g se puede expresar de forma única como
- g = ( h 1 , h 2 , ..., h yo , ..., h n ).
Dado que h i ∗ h j = h j ∗ h i para todo i ≠ j , se deduce que la multiplicación de elementos en una suma directa es isomorfa a la multiplicación de los elementos correspondientes en el producto directo; por tanto, para conjuntos finitos de subgrupos, ∑ H i es isomorfo al producto directo × { H i }.
Suma directo
Dado un grupo , decimos que un subgrupo es una suma directa de si existe otro subgrupo de tal que .
En grupos abelianos, si es un subgrupo divisible de, luego es una suma directa de .
Ejemplos de
- Si tomamos está claro que es el producto directo de los subgrupos .
- Si es un subgrupo divisible de un grupo abeliano entonces existe otro subgrupo de tal que .
- Si también tiene una estructura de espacio vectorial entonces se puede escribir como una suma directa de y otro subespacio que será isomorfo al cociente .
Equivalencia de descomposiciones en sumas directas
En la descomposición de un grupo finito en una suma directa de subgrupos indecomponibles, la incrustación de los subgrupos no es única. Por ejemplo, en el grupo Klein tenemos eso
- y
Sin embargo, el teorema de Remak-Krull-Schmidt establece que dado un grupo finito G = ∑ A i = ∑ B j , donde cada A i y cada B j no son triviales e indecomponibles, las dos sumas tienen términos iguales hasta el reordenamiento y isomorfismo.
El teorema de Remak-Krull-Schmidt falla para grupos infinitos; por lo que en el caso de infinito G = H + K = L + M , incluso cuando todos los subgrupos no son triviales y indescomponible, no podemos concluir que H es isomorfo a ya sea L o M .
Generalización a sumas sobre conjuntos infinitos
Para describir las propiedades anteriores en el caso en que G es la suma directa de un conjunto infinito (quizás incontable) de subgrupos, se necesita más cuidado.
Si g es un elemento del producto cartesiano ∏ { H i } de un conjunto de grupos, sea g i el i- ésimo elemento de g en el producto. La suma directa externa de un conjunto de grupos { H i } (escrito como ∑ E { H i }) es el subconjunto de ∏ { H i }, donde, para cada elemento g de ∑ E { H i }, g i es la identidadpara todos menos un número finito de g i (de manera equivalente, solo un número finito de g i no es la identidad). La operación de grupo en la suma directa externa es una multiplicación puntual, como en el producto directo habitual.
De hecho, este subconjunto forma un grupo, y para un conjunto finito de grupos { H i } la suma directa externa es igual al producto directo.
Si G = ∑ H i , entonces G es isomorfo a ∑ E { H i }. Así, en cierto sentido, la suma directa es una suma directa externa "interna". Para cada elemento g en G , hay un conjunto finito único S y un conjunto único { h i ∈ H i : i ∈ S } tal que g = ∏ { h i : i en S }.