Primero y segundo teoremas fundamentales de la teoría invariante

En álgebra , el primer y segundo teoremas fundamentales de la teoría invariante se refieren a los generadores y las relaciones del anillo de invariantes en el anillo de funciones polinomiales para grupos clásicos (aproximadamente el primero se refiere a los generadores y el segundo a las relaciones). ^[1] Los teoremas se encuentran entre los resultados más importantes de la teoría invariante .

Clásicamente, los teoremas se prueban sobre números complejos . Pero la teoría invariante libre de características extiende los teoremas a un campo de características arbitrarias. ^[2]

Primer teorema fundamental

El teorema establece que el anillo de ${\ Displaystyle GL (V)}$ -funciones polinomiales invariantes en ${\ Displaystyle {V ^ {*}} ^ {p} \ times V ^ {q}}$ es generado por las funciones ${\ Displaystyle \ langle \ alpha _ {i} | v_ {j} \ rangle}$ , donde ${\ Displaystyle \ alpha _ {i}}$ estan en ${\ Displaystyle V ^ {*}}$ y ${\ Displaystyle v_ {j} \ in V}$ . ^[3]

Segundo teorema fundamental para grupo lineal general

Deje que V , W sea finito dimensional espacios vectoriales sobre los números complejos. Entonces el único ${\ Displaystyle \ operatorname {GL} (V) \ times \ operatorname {GL} (W)}$ -ideales primos invariantes en ${\ Displaystyle \ mathbb {C} [\ operatorname {hom} (V, W)]}$ son el ideal determinante ${\ Displaystyle I_ {k} = \ mathbb {C} [\ operatorname {hom} (V, W)] D_ {k}}$ generado por los determinantes de todos los ${\ Displaystyle k \ times k}$ - menores . ^[4]

Notas

^ Procesi , cap. 9, párrafo 1.4.
^ Procesi , cap. 13 desarrolla esta teoría.
^ Procesi , cap. 9, párrafo 1.4.
^ Procesi , cap. 11, párrafo 5.1.

Referencias

Ch. II, § 4. de E. Arbarello, M. Cornalba, PA Griffiths y J. Harris, Geometría de curvas algebraicas. Vol. Yo, Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, vol. 267, Springer-Verlag, Nueva York, 1985. MR0770932
Artin, Michael (1999). "Anillos no conmutativos" (PDF) .
Fulton, William ; Harris, Joe (1991). Teoría de la representación. Un primer plato . Textos de Posgrado en Matemáticas , Lecturas en Matemáticas. 129 . Nueva York: Springer-Verlag. doi : 10.1007 / 978-1-4612-0979-9 . ISBN 978-0-387-97495-8. Señor 1153249 . OCLC 246650103 .
Claudio Procesi (2007) Grupos de mentiras: una aproximación a través de invariantes y representación , Springer, ISBN 9780387260402 .
Hanspeter Kraft y Claudio Procesi, Teoría clásica invariante, una introducción
Weyl, Hermann (1939), Los grupos clásicos. Sus invariantes y representaciones , Princeton University Press , ISBN 978-0-691-05756-9, MR 0000255

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[1] Procesi , cap. 9, párrafo 1.4.

[2] Procesi , cap. 13 desarrolla esta teoría.

[3] Procesi , cap. 9, párrafo 1.4.

[4] Procesi , cap. 11, párrafo 5.1.

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