En estadística , el teorema de Fisher-Tippett-Gnedenko (también el teorema de Fisher-Tippett o el teorema del valor extremo ) es un resultado general en la teoría del valor extremo con respecto a la distribución asintótica de las estadísticas de orden extremo . El máximo de una muestra de variables aleatorias iid después de una renormalización adecuada solo puede converger en la distribución a una de las 3 distribuciones posibles, la distribución de Gumbel , la distribución de Fréchet o la distribución de Weibull . El crédito por el teorema del valor extremo y sus detalles de convergencia se le da a Fréchet(1927), [1] Ronald Fisher y Leonard Henry Caleb Tippett (1928), [2] Mises (1936) [3] [4] y Gnedenko (1943). [5]
El papel del teorema de tipos extremos para máximos es similar al del teorema del límite central para promedios, excepto que el teorema del límite central se aplica al promedio de una muestra de cualquier distribución con varianza finita, mientras que el teorema de Fisher-Tippet-Gnedenko solo establece que si la distribución de un máximo normalizado converge, entonces el límite tiene que ser uno de una clase particular de distribuciones. No establece que la distribución del máximo normalizado converja.
Declaración
Dejar ser una secuencia de variables aleatorias independientes e idénticamente distribuidas con función de distribución acumulativa . Supongamos que existen dos secuencias de números reales y tal que los siguientes límites converjan en una función de distribución no degenerada :
- ,
o equivalente:
- .
En tales circunstancias, la distribución límite pertenece a la familia Gumbel , Fréchet o Weibull . [6]
En otras palabras, si el límite anterior converge tendremos asumir la forma: [7]
para algunos parámetros . Sorprendentemente, el lado derecho es la función de distribución acumulada de la distribución de valor extremo generalizado (GEV) con índice de valor extremo , parámetro de escala y parámetro de ubicación . La distribución GEV agrupa las distribuciones Gumbel, Fréchet y Weibull en una sola.
Condiciones de convergencia
El teorema de Fisher-Tippett-Gnedenko es un enunciado sobre la convergencia de la distribución límite sobre. El estudio de las condiciones de convergencia dea casos particulares de la distribución generalizada de valores extremos comenzó con Mises, R. (1936) [3] [5] [4] y fue desarrollado por Gnedenko, BV (1943). [5]
Dejar ser la función de distribución de , y una muestra del mismo. También deja ser el máximo poblacional, es decir . La distribución límite del máximo muestral normalizado, dada porarriba, entonces será: [7]
- Una distribución de Fréchet () si y solo si y para todos .
- En este caso, las posibles secuencias que satisfarán las condiciones del teorema son y .
- Una distribución de Weibull () si y solo si es finito y para todos .
- Las posibles secuencias aquí son y .
- Una distribución de Gumbel () si y solo si con .
- Las posibles secuencias aquí son y .
Ver también
Notas
- ^ Fréchet, M. (1927), "Sur la loi de probabilité de l'écart maximum", Annales de la Société Polonaise de Mathématique , 6 (1): 93-116
- ^ Fisher, RA; Tippett, LHC (1928), "Formas limitantes de la distribución de frecuencias del miembro más grande y más pequeño de una muestra", Proc. Camb. Phil. Soc. , 24 (2): 180-190, Código Bib : 1928PCPS ... 24..180F , doi : 10.1017 / s0305004100015681
- ^ a b Mises, R. von (1936). "La distribución de la plus grande de n valeurs". Rev. Math. Union Interbalcanique 1 : 141–160.
- ^ a b Falk, Michael; Marohn, Frank (1993). "Condiciones de Von Mises revisadas". Los anales de la probabilidad : 1310-1328.
- ^ a b c Gnedenko, BV (1943), "Sur la distribution limite du terme maximum d'une serie aleatoire", Annals of Mathematics , 44 (3): 423–453, doi : 10.2307 / 1968974 , JSTOR 1968974
- ^ Estado de ánimo, AM (1950). "5. Estadísticas de pedidos". Introducción a la teoría de la estadística . Nueva York, NY, EE.UU .: McGraw-Hill. págs. 251-270.
- ^ a b Haan, Laurens; Ferreira, Ana (2007). Teoría del valor extremo: una introducción . Saltador.